圆锥曲线的相关结论192条.pdf

1、1 结论结论 1：过圆 222 2ayx上任意点P作圆 222 ayx的两条切线，则两条切线垂直 结论结论 2：过圆 2222 bayx上任意点P作椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）的两条切线， 则两条切线垂直 结论结论 3：过圆 2222 bayx（0 ba）上任意点P作双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两条切 线，则两条切线垂直 结论结论 4：过圆 222 ayx上任意不同两点A，B作圆的切线，如果切线垂直且相交于P， 则动点P的轨迹为圆： 222 2ayx 结论结论 5：过椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）上任意不同两点A，B作椭圆的切线，如

2、果切 线垂直且相交于P，则动点P的轨迹为圆 2222 bayx 结论结论 6：过双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）上任意不同两点A，B作双曲线的切线，如 果切线垂直且相交于P，则动点P的轨迹为圆 2222 bayx 结论结论 7：点M（ 0 x， 0 y）在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）上，过点M作椭圆的切线方 程为1 2 0 2 0 b yy a xx 结论结论 8：点M（ 0 x， 0 y）在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）外，过点M作椭圆的两条切 线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为1 2 0 2 0 b yy a

3、xx 结论结论 8： （补充）（补充）点M（ 0 x， 0 y）在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）内，过点M作椭圆 的弦AB（不过椭圆中心） ，分别过BA、作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程 为直线：1 2 0 2 0 b yy a xx 2 结论结论 9：点M（ 0 x， 0 y）在双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）上，过点M作双曲线的 切线方程为1 2 0 2 0 b yy a xx 结论结论 10：点M（ 0 x， 0 y）在双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）外，过点M作双曲线 的两条切线，切点分别为A，B，则切

4、点弦AB的直线方程为1 2 0 2 0 b yy a xx 结论结论 10： （补充补充）点M（ 0 x， 0 y）在双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）内，过点M作 双曲线的弦AB（不过双曲线中心） ，分别过BA、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1 2 0 2 0 b yy a xx 结论结论 11：点M（ 0 x， 0 y）在抛物线pxy2 2 （0p）上，过点M作抛物线的切线方 程为)( 00 xxpyy 结论结论 12：点M（ 0 x， 0 y）在抛物线pxy2 2 （0p）外，过点M作抛物线的两条切 线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线

5、方程为)( 00 xxpyy 结论结论 12： （补充补充）点M（ 0 x， 0 y）在抛物线pxy2 2 （0p）内，过点M作抛物线的 弦AB，分别过BA、作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线： )( 00 xxpyy 结论结论 13：点M（ 0 x， 0 y）在椭圆 1 2 2 2 2 b ny a mx 上，过点M作椭圆的切线方程 为1 )()( 2 0 2 0 b nyny a mxmx 结论结论 1414：点M（ 0 x， 0 y）在双曲线 1 2 2 2 2 b ny a mx 上，过点M作双曲线的切线 方程为 1 2 0 2 0 b nyny a mxmx 3 结论

6、结论 1515：点M（ 0 x， 0 y）在抛物线mxpny2 2 上，过点M作抛物线的切线方 程为mxxpnyny2 00 结论结论 1616：点M（ 0 x， 0 y）在椭圆 1 2 2 2 2 b ny a mx 外，过点M作椭圆的两条切线， 切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为1 )()( 2 0 2 0 b nyny a mxmx 结论结论 1717：点M（ 0 x， 0 y）在双曲线 1 2 2 2 2 b ny a mx 外，过点M作双曲线的两条 切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为 1 2 0 2 0 b nyny a mxmx 结论结论 1818：点M（ 0

7、 x， 0 y）在抛物线mxpny2 2 外，过点M作抛物线的两条切 线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为 mxxpnyny2 00 结论结论 1616： （补充）（补充）点M（ 0 x， 0 y）在椭圆 1 2 2 2 2 b ny a mx 内，过点M作椭圆的 弦AB（不过椭圆中心） ，分别过BA、作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为 直线：1 )()( 2 0 2 0 b nyny a mxmx 结论结论 1717： （补充）（补充）点M（ 0 x， 0 y）在双曲线 1 2 2 2 2 b ny a mx 内，过点M作双曲 线的弦AB（不过双曲线中心） ，分别过BA、

8、作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨 迹方程为直线： 1 2 0 2 0 b nyny a mxmx 结论结论 1818： （补充）（补充）点M（ 0 x， 0 y）在抛物线mxpny2 2 内，过点M作抛物线 的弦AB，分别过BA、作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线： mxxpnyny2 00 结论结论 1919：过椭圆准线上一点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直 线必过相应的焦点F，且MF垂直切点弦AB 结论结论 2020：过双曲线准线上一点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB 4 的直线必过相应的焦点F，且MF垂直切点弦AB 结论结论

9、 2121：过抛物线准线上一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB 的直线必过焦点F，且MF垂直切点弦AB 结论结论 22:22:AB为椭圆的焦点弦，则过A，B的切线的交点M必在相应的准线上 结论结论 23:23:AB为双曲线的焦点弦，则过A，B的切线的交点M必在相应的准线上 结论结论 24:24:AB为抛物线的焦点弦，则过A，B的切线的交点M必在准线上 结论结论 25:25:点M是椭圆准线与长轴的交点，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B， 则切点弦AB就是通径 结论结论 26:26: 点M是双曲线准线与实轴的交点， 过点M作双曲线的两条切线， 切点分别为A， B，则切点

10、弦AB就是通径 结论结论 27:27:M为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦AB就是其通径 结论结论 28：过抛物线pxy2 2 （0p）的对称轴上任意一点)0 ,( mM （0m）作抛物 线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线必过点)0 ,(mN 结论结论 29：过椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）的对称轴上任意一点),(nmM作椭圆的两条切 线，切点分别为A，B （1）当0n，am 时，则切点弦AB所在的直线必过点)0 ,( 2 m a P； （2）当0m，bn 时，则切点弦AB所在的直线必过点), 0(

11、2 n b Q 结论结论 30：过双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的实轴上任意一点)0 ,(mM（am ）作 双曲线 （单支） 的两条切线， 切点分别为A，B， 则切点弦AB所在的直线必过点)0 ,( 2 m a P 结论结论 31： 过抛物线pxy2 2 （0p） 外任意一点M作抛物线的两条切线， 切点分别为A， B，弦AB的中点为N，则直线MN必与其对称轴平行 结论结论 32：若椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）与双曲线1 2 2 2 2 n y m x （0m，0n）共 焦点，则在它们交点处的切线相互垂直 结论结论 33：过椭圆外一定点P作其一

12、条割线，交点为A，B，则满足BPAQBQAP 的动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上 结论结论 34： 过双曲线外一定点P作其一条割线， 交点为A，B， 则满足BPAQBQAP 5 的动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上 结论结论 35： 过抛物线外一定点P作其一条割线， 交点为A，B， 则满足BPAQBQAP 的动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上 结论结论 36：过双曲线外一点P作其一条割线，交点为A，B，过A，B分别作双曲线的切线 相交于点Q， 则动点Q的轨迹就是过P作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方

13、程上 结论 37：过椭圆外一点P作其一条割线，交点为A，B，过A，B分别作椭圆的切线相交 于点Q，则动点Q的轨迹就是过P作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上 结论结论 38：过抛物线外一点P作其一条割线，交点为A，B，过A，B分别作抛物线的切线 相交于点Q， 则动点Q的轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上 结论结论 39：从椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨 迹为圆： 222 ayx 结论结论 40：从1 2 2 2 2 b y a x （00ba，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的 轨迹为圆： 222

14、 ayx 结论结论 4 41：是椭圆（）的一个焦点，是椭圆上任意一点，则焦 半径 结论结论 4 42：是双曲线（）的右焦点，是双曲线上任意一点 （1）当点在双曲线右支上，则焦半径； （2）当点在双曲线左支上，则焦半径 结论结论 4 43：是抛物线（）的焦点，是抛物线上任意一点，则焦半径 = 结论结论 44：椭圆上任一点处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的切线 6 平分过该点的两条焦半径的夹角的外角） ，亦即椭圆的光学性质 结论结论 4 45：双曲线上任一点处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的法 线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角） ，亦即双曲线的光学性质 结论结论 4

15、 46：抛物线上任一点处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角， 亦即抛物线的光学性质 结论结论 4 47：椭圆的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且 结论结论 4 48：双曲线的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且 结论结论 4 49：抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且 结论结论 50：椭圆上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交椭圆于， 则必与该椭圆相切，且 结论结论 51：双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于 ，则必与该双曲线相切，且 结论结论 52：抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则 必与该抛物线相切，且

16、 结论结论 53：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴）上三点，的焦半径成等差数列 的充要条件为，的横坐标（纵坐标）成等差数列 结论结论 54：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴）上三点，的焦半径成等差数 列的充要条件为，的横坐标（纵坐标）成等差数列 结论结论 55：焦点在轴上的抛物线（或焦点在轴）上三点，的焦半径成等差数 列的充要条件为，的横坐标（纵坐标）成等差数列 结论结论 56：椭圆上一个焦点关于椭圆上任一点处的切线的对称点为，则直线必过 该椭圆的另一个焦点 结论结论 57：双曲线上一个焦点关于双曲线上任一点处的切线的对称点为，则直线 必过该双曲线的另一个焦点 7 结论结论 58： 椭圆上任一点（非

17、顶点） ， 过的切线和法线分别与短轴相交于， ， 则有， ，及两个焦点共于一圆上 结论结论 59：双曲线上任一点（非顶点） ，过的切线和法线分别与短轴相交于，则 有，及两个焦点共于一圆上 结论结论 60：椭圆上任一点（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点，的切线相交于， ，则必得到以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点 结论结论 61： 双曲线上任一点 （非顶点） 处的切线与过实轴两个顶点，的切线相交于， ，则必得到以为直径的圆经过该双曲线的两个焦点 结论结论 62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆 结论结论 63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆 结论结论 64：

18、以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切 结论结论 65：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴上）上任一点（非短轴顶点）与短轴的两 个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，则（或） 结论结论 66：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点（非顶点）与实轴的两个 顶点，的连线分别交轴（或轴）于，则（或） 结论结论 67：为焦点在轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点） ，则与边（或） 相切的旁切圆与轴相切于右顶点（或左顶点） 结论结论 68：为焦点在轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则的内切圆与轴 相切于右顶点（或左顶点） 结论结论 69：是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径） ，弦的 中垂线交轴于，则=

19、结论结论 70：是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为 8 单支弦） ，弦的中垂线交轴于，则= 结论结论 71：是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径） ，弦的中 垂线交轴于，则= 结论结论 72：为抛物线的焦点弦，分别过，作抛物线的切线，则两条切线的交点在 其准线上 结论结论 73：为椭圆的焦点弦，分别过，作椭圆的切线，则两条切线的交点在其相 应的准线上 结论结论 74：为双曲线的焦点弦，分别过，作双曲线的切线，则两条切线的交点在 其相应的准线上 结论结论 75：为过抛物线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其准线相切 结论结论 76：为过椭圆焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相离（当然

20、 与另一条准线更相离） 结论结论 77：为过双曲线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相交，截 得的圆弧度数为定值，且为 结论结论 78：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必 为抛物线 结论结论 79：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必 为椭圆 结论结论 80：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必 为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为 结论结论 81：为过抛物线（）焦点的焦点弦，（，） ，（， ） ，则= 结论结论 82：为过椭圆（） 焦点的焦点弦， （，） ， （， 9 ） ，则= 结论结论

21、 83：为过双曲线（）焦点的焦点弦，（，） ， （，） 若为单支弦，则=；若为双支弦，则 = 结论结论 84：为抛物线的焦点，是抛物线上不同的两点，直线交其准线 于， 则平分的外角 结论结论 85：为椭圆的一个焦点，是椭圆上不同的两点， 直线交其相应的准线 于 ，则平分的外角 结论结论 86：为双曲线的一个焦点，是双曲线上不同的两点（同一支上） ，直线交 其相应的准线 于，则平分的外角 结论结论 87：为双曲线的一个焦点， ， 是双曲线上不同的两点 （左右支各一点） ， 直线 交其相应的准线 于，则平分 结论结论 88：是椭圆（）过焦点的弦，点是椭圆上异于 的任一点，直线、分别交相应于焦点的准

22、线 于、，则点与点的纵 坐标之积为定值，且为 结论结论 89：是双曲线（）过焦点的弦，点是双曲线上异 于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线 于、，则点与 点的纵坐标之积为定值，且为 结论结论 90：是抛物线（） 过焦点的弦，点是抛物线上异于的 任一点，直线、分别交准线 于、，则点与点的纵坐标之积为定值， 10 且为 结论结论 9 91：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长 轴顶点） ，若直线，分别交直线（）于，则为 定值，且有 结论结论 9 92：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 9 93：，为

23、椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 9 94：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 9 95：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， 11 ，则为定值，且有= 结论结论 9 96：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 9 97：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点

24、） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 9 98：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 9 99：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有 结论结论 100：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 12 ，则为定值，且有= 结论结论 101：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有= 结论结论 102：，为双曲线（

25、）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有= 结论结论 103：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有= 结论结论 104：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有= 结论结论 105：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 13 ，则为定值，且有= 结论结论 106：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且

26、有= 结论结论 107：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长 轴顶点） ，若直线，分别交直线于，则为定值，且有 = 结论结论 108：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长 轴顶点） ，若直线，分别交直线于，则为定值，且有 = 结论结论 109：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长 轴顶点） ，若直线，分别交直线于，则为定值，且有 = 结论结论 110：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长 轴顶点） ，若直线，分别交直线于，则为定值，且有 14 = 结论结论 111：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，

27、且有= 结论结论 112：，为椭圆（）的长轴顶点， （） ， 为椭圆任一点 （非长轴顶点） ， 若直线，分别交直线于， ，则为定值，且有= 结论结论 113：，为椭圆（）的任一直径（中心弦） ，为椭圆上任 一点（不与，点重合） ，则为定值，且有= 结论结论 114：，为椭圆（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平 行） ，为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有 = 结论结论 115：为椭圆（）的任一弦（不与对称轴平行） ，若平行于 的弦的中点的轨迹为直线，则有= 结论结论 116： 过椭圆（） 上任意一点(不是其顶点)作椭圆的切线， 15 则有= 结论结论 117：椭圆（）及定点， （） ，过的弦

28、的 端点为，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，直线 与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有 结论结论 118：椭圆（）及定点， （） ，过任作一条 弦，为椭圆上任一点，连接，且分别与准线相交于，则有 = 结论结论 119： 椭圆（） 及定点， （，） ， 过 任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，且分别与直线相交于， ，则有= 结论结论 120：，为双曲线（） 的顶点，为双曲线上任一点（非 实轴顶点） ，若直线，分别交直线（）于，则为定 值，且有= 结论结论 121：，为双曲线（） 的顶点，为双曲线上任一点（非 实轴顶点） ，若直线，分别交直线（）于，则为定 值，且有= 16 结论结论 122：，

29、为双曲线（） 的顶点，为双曲线上任一点（非 实轴顶点） ，若直线，分别交直线（）于，则为定 值，且有= 结论结论 123：，为双曲线（） 的顶点，为双曲线上任一点（非 实轴顶点） ，若直线，分别交直线（）于，则为定 值，且有= 结论结论 124：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有= 结论结论 125：，为双曲线（）的顶点， （） ，为双曲线上任一点（非长轴顶点） ，若直线，分别交直线于 ，则为定值，且有= 结论结论 126：为双曲线（）的任一直径，为双曲线上任一点 （不与，点重合） ，则为定值，且有= 结论结论 127：为双

30、曲线（）的任一弦（不过原点且不与对称轴 17 平行） ，为弦的中点， 若与均存在， 则为定值， 且有= 结论结论 128：为双曲线（）的任一弦（不与对称轴平行） ，若平 行于的弦的中点的轨迹为直线，则有= 结论结论 129：过双曲线（）上任意一点(不是其顶点)作双曲线的切 线，则有= 结论结论 130： 双曲线（） 及定点， （或） ， 过 的弦的端点为， ， 过， 分别作直线的垂线， 垂足分别为， ， 直线 与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有 结论结论 131：双曲线（）及定点， （） ，过任作一 条弦，为双曲线上任一点，连接，且分别与准线相交于， 则有= 结论结论 132： 双曲线（）

31、及定点， （或） ， 过 任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，且分别与直线相交于， ，则有= 结论结论 133：抛物线（）及定点， （） ，过的弦的端点为， ，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，直线与轴相交 18 于，则直线与恒过的中点，且有 结论结论 134：抛物线（）及定点， （） ，过任作一条弦， 为抛物线上任一点， 连接， 分别与准线相交， 则= 结论结论 135：抛物线（）及定点， （） ，过任作一条弦， 为抛物线上任一点， 连， 分别与直线相交， 则= 结论结论 136：过抛物线（）的焦点（，0）的弦（焦点弦）与抛物线相 交于，过作直线与轴平行，且交准线于，则直线必过原点（即其准

32、线与轴交点与焦点的线段的中点） 结论结论 137：为椭圆（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交 点为， 过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于， 则直线， 均过线段的中点 结论结论 138：为双曲线（）的焦点的弦，其相应的准线与 轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，则直线， 均过线段的中点 结论结论 139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线， 垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点 结论结论 140： AB 为垂直于椭圆长轴上的动弦，其准线与轴 相交于，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该椭圆上

33、 结论结论 141： AB 为垂直于双曲线实轴的动弦，其准线与轴相交于， 则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该双曲线上 19 结论结论 1 142： AB 为垂直于抛物线对称轴的动弦，其准线与轴相 交于，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该抛物线上 结论结论 143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆） （或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线） ） 的动弦，其准线与轴相交于，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该 圆锥曲线上 结论结论 144：圆锥曲线的焦点弦 AM（不为通径，若双曲线则为单支弦） ，则在 x

34、轴上有且只 有一点 Q 使 结论结论 145：过 F 任作圆锥曲线的一条弦 AB（若是双曲线则为单支弦） ，分别过 A B 作准线 l 的垂线（是其相应准线与轴的交点） ，垂足为，则直线与直线都经过 QF 的中点 K，即及三点共线 结论结论 146：若 AM、BM 是圆锥曲线过点 F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双 曲线）或对称轴（抛物线）)，如图 5，则四线共点于 K 结论结论 147：，分别为椭圆（）的右顶点和左顶点，为椭圆任 一点（非长轴顶点） ，若直线，分别交直线于，则以线段为直 径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为（，0）及椭圆内定点为 （，0） 结论结论 148：，分别

35、为双曲线（）的右顶点和左顶点，为双 曲线上任一点（非实轴顶点） ，若直线，分别交直线（）于， 则以线段为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为（，0）及 双曲线外定点为（，0） 20 结论结论 149：过直线（）上但在椭圆（）外一点向椭 圆引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有 结论结论 150：过直线（）上但在双曲线（）外（即双曲 线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点 ，且有 结论结论 151：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线 所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点 ，且有 结论结论 152：设点是圆锥曲线的准线上一点（不在

36、双曲线的渐近线上） ，过点向圆锥曲 线引两条切线，切点分别为，则直线必过准线对应的焦点，且 结论结论 153：过直线上但在椭圆（）外一点向椭圆引 两条切线，切点分别为，则直线必过定点 结论结论 154：过直线上但在双曲线（）外（即双曲线中 心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点 结论结论 155：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线 准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点 21 结论结论 156：， 是椭圆（） 的左右顶点， 点是直线（， ）上的一个动点（不在椭圆上） ，直线及分别与椭圆相交于，则直 线必与轴相交于定点 结论结论 157： ，

37、 是在双曲线（） 的顶点， 点是直线（， ）上的一个动点（不在双曲线上） ，直线及分别与双曲线相交于， 则直线必与轴相交于定点 结论结论 158：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若直线过 定点（，0） ，则，且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值 结论结论 159：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若， 则直线必过定点（，0） ，且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值 结论结论 160：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若， 过作，则动点的轨迹方程为（） 结论结论 1 161：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若， 则= 结论结论 162：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦， 则 的充要

38、条件是直线过定点（，） 结论结论 163：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦， 则=（）的充要条件是直线过定点（，） 22 结论结论 164： 过椭圆（） 上任一点（，） 作两条弦， 则的充要条件是直线过定点（，） 特别地， （1）当为左、右顶点时，即=，=0 时，的充要条件是 直线过定点（，） （2）当为上、下顶点时，即=0，=时，的充要条件是直线 过定点（0，） 结论结论 165：过双曲线（，）上任一点（，）作两条弦， ，则的充要条件是直线过定点（，） 特别地，当为左、右顶点时，即=，=0 时，的充要条件是直线 过定点（，0） 结论结论 166： 过二次曲线：（， ， ， 为常数，） 上任

39、一点（，）作两条弦，若，则直线恒过定点 值得注意的是：在结论 166 中 （1）令，就是结论 159； （2）令，就是结论 162； （3）令，就得到结论 164； （4）令，就得到结论 165 23 结论结论 167：，是椭圆（）上不同的两个动点，若， 则 += 结论结论 168：，是椭圆（）上不同的两个动点，若， 则有+=，+= 结论结论 169：，是双曲线（）上不同的两个动点（在同一支上） ， 若，则有+= 结论结论 170：在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点 的任意弦恒有 结论结论 171：在椭圆（）的长轴上存在定点，使得 过该点的任意弦恒有= 结论结论 172：在双曲线（

40、）的实轴上存在定点，使 得过该点的任意弦恒有= 结论结论 173：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于， 与轴相交于，若，则为定值，且 结结论论174： 过双曲线（） 的焦点作一条直线与双曲线相交于， 24 ， 与轴相交于， 若， 则为定值， 且 结论结论 175：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于， 与轴相交于，若，则为定值，且 结论结论 176：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于， 与相应准线相交于，若，则为定值，且 结结论论177： 过双曲线（） 的焦点作一条直线与双曲线相交于， ， 与相应准线相交于， 若， 则为定值， 且 结论结论 178：过抛物线（）的焦点作一条直线与

41、抛物线相交于， 与准线相交于，若，则为定值，且 结论结论 179：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点 的动点，直线，分别交轴于，若，则 为定值，且 结论结论 180：是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上 异于顶点的动点，直线，分别交轴于，若， 则为定值，且 结论结论 181：是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点 的动点，直线，分别交轴于，若，则 为定值，且 结论结论 182：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点 25 的动点， 直线，分别交轴于， 为长轴顶点， 若， 则为定值，且 结论结论 183：是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上 异于顶点的动点，直线，分别交

42、轴于，为实轴顶点，若， ，则为定值，且 结论结论 184：是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点 的动点，直线，分别交轴于，为抛物线焦点，若， ，则为定值，且 结论结论 185（补充（补充） ：点是椭圆（）上任意一点，弦、分别 过定点、， （） ，且，则为 定值，且 结论结论 186（补充补充） ：点是双曲线（，）上任意一点，弦、 分别过定点、， （） ， 且， 则 为定值，且 结论结论 187： （补充补充） ：、是圆：（）上任意两点，点关于轴 对称点为，若直线、与轴分别相交于点、，则为定值， 且 结论结论 188： （补充补充） ：、是椭圆：（）上任意两点，点关 于轴对称点为，若

43、直线、与轴分别相交于点、，则为 26 定值，且 结论结论 189： （补充补充） ：、是双曲线：（，）上任意两点，点 关于轴对称点为， 若直线、与轴分别相交于点、， 则 为定值，且 结论结论 190（补充（补充） ：、是椭圆：（）上关于轴对称的任意 两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒 过轴上的定点，且定点为 结论结论 191（补充（补充） ：、是双曲线：（，）上关于轴对称 的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线 恒过轴上的定点，且定点为 结论结论 192（补充补充） ：、是抛物线：（）上关于轴对称的任意两个 不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上 的定点，且定点为