专题20 解三角形-高中数学经典错题深度剖析及针对训练.doc

1、 【标题 01】不能灵活运用正弦定理进行推理解答 【习题 01】 在ABC中， 角A、B、C所对应的变分别为a、b、c， 则ab“”是sinsinAB“”的 （ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【经典错解】sinsinabABAB 不能推出,sinsinABabAB侈侈?,所以ab“”是 sinsinAB“”的必要非充分条件，故选C. 【详细正解】由正弦定理得2 sinsin ab R AB （其中R为ABC外接圆的半径） ，则2 sinaRA， 2 sinbRB，2 sin2 sinsinsinabRARBAB，因此ab“”是sinsinA

2、B“”的充分必 要条件，故选A. 【习题 01 针对训练】ABC内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知cos()cosACB1，2ac，则 C( ) A 6 或 5 6 B 6 C 3 或 2 3 D 3 【标题 02】在三角形中解三角正弦方程出现错误 【习题 02】ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 其中 0 4,4 3,30abA，B= _ 【经典错解】由正弦定理得 B sin 34 30sin 4 0 ,解得 2 3 sinB,所以 0 60B? . 【详细正解】由正弦定理得 B sin 34 30sin 4 0 ,解得 2 3 sinB;又因

3、为ab，所以AB,则 00 12060 或B.故填 00 60120 .或 【深度剖析】 （1）经典错解错在在三角形中解三角正弦方程出现错误.（2）三角方程 3 sin 2 B =在三角形 中有两解，不是一解. 3 cos 2 B =是一解， 3 tan 3 B =是一解.学科网 【习题 02 针对训练】在ABC中，已知32a，6b， 30A，求B及 S ABC . 【标题 03】锐角三角形的定义理解错误来源:Z#xx#k.Com 【习题 03】在ABC中，下列些结论中正确的有_句. 若 222 cba，则ABC为钝角三角形； 若 222 cba，则ABC为直角三角形； 若 222 cba，则

4、ABC为锐角三角形； 若4:3:2:cba，则4:3:2:CBA. A1 B2 C3 D4 【经典错解】正确，所以选择C. 【详细正解】对于选项 A， 222 02cos0cos0bcabcAA,所以角A是钝角，所以ABC 为钝角三角形；对于选项 B，由勾股定理得 B 正确；对于选项 C， 222 02cos0bcabcA， cos0A所以角A是锐角，但是由于角 B,C 并不知道它们的大小情况，所以无法判断三角形的形状；对 于选项 D，只能根据正弦定理得到sin:sin:sin2:3:4ABC ，不能得到4:3:2:CBA.所以选择 B. 【习题 03 针对训练】在ABC中，4,5,6,abc

5、则此三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【标题 04】解三角形时出现多解没有注意检验 【习题 04】在ABC中，已知 0 3,60 ,c1,bB求C 【经典错解】 0 3,60 ,c1,bB 由正弦定理可得， sinsin bc BC 3 1 1 2 sin 23 C 0 30C 或 0 150. 【详细正解】 0 3,60 ,c1,bB由正弦定理可得，sin sin bc BC 3 1 1 2 sin 23 C cb 0 60CB 00 30 ,90 ,22CAac 【习题 04 针对训练】 在ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a

6、 b c， 且 0 1 0 ,8 ,3 0abB， 那么ABC 的解的情况是（ ） A无解 B一解 C两解 D一解或两解 【标题 05】忽略了等式的性质在等式两边随便乘除导致漏解 【习题 05】在ABC中，2c ， 222 sinsinsinsinsinABCAB，若 sinsin()2sin2CBAA，求ABC面积. 【经典错解】由题意知 222 1 cos 23 abcabCC 由sinsin()2sin2CBAA得 sincos2sinAcosABA所以2ba 代入 222 abcab得 241 242 3333sin3 332 3333 ABC abS 【详细正解】由题意知 222 1

7、 cos 23 abcabCC 由sinsin()2sin2CBAA得sincos2sinAcosABA （1）若cos0A 则 2 3 23 ABC AS （2）若cos0A2ba 代入 222 abcab得 24 33 33 ab 1 242 33sin3 2 3333 ABC S 综合得 2 3 3 ABC S 【深度剖析】 （1）经典错解错在忽略了等式的性质在等式两边随便乘除导致漏解.(2)等式 sincos2sinAcosABA的两边不能同时除以cosA,因为当 0 90A 时，cos0A,所以如果同时除以 cosA时，导致解题不够严谨,在有的地方会导致漏解.(3)解数学题，始终要牢

8、记，不能随便乘除，如果要 乘除，必须认真考虑这个数是什么数，如果不能确定，可以讨论，也可以寻找其它方法解答. 【习题 05 针对训练】在ABC中，cossinsincos()0CABAB,判断ABC的形状.学科网来源:Zxxk.Com 来源:学_科_网 【标题 06】化简三角方程时忽略了角的范围和正弦函数的图像和性质 【习题 06】在ABC中，若 cos cos Ab Ba ，则ABC的形状（ ）来源:学#科#网Z#X#X#K A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 【经典错解】由 cos cos Ab Ba 得coscossincossincosaAbBAABB 所以si

9、n2sin2AB，又22ABAB=?，所以ABC的形状是等腰三角形，故选D 【详细正解】由 cos cos Ab Ba 得coscossincossincosaAbBAABB 所以sin2sin2AB，2 ,2(0,2 ),2222223ABABABAB或或ppp蝄=+=+= 3 22 ABABAB所以或或（舍） pp =+=+=，所以ABC的形状是等腰或直角三角形，故选B 【习题 06 针对训练】在ABC中，若 2 2 tan tan b a B A ，则ABC的形状是（ ）. A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 【标题 07】求三角函数的范围时忽略了角的取值范围 【

10、习题 07】在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为cba ,，已知 C c A a sincos3 ， （1）求A的大小； （2）若6a，求cb的取值范围. 【经典错解】 （1）由已知条件结合正弦定理有： A a C c A a sinsincos3 ，从而有： 3tan,sincos3AAA， 3 ,0 AA. （2）由正弦定理得：34 sinsinsin A a C c B b ，CcBbsin34,sin34， 4 3sin4 3sin4 3 sinsin()12sin() 36 bcBCBBB 因为 b+c0,sin() 6 B p +的最大值为1，所以bc的范围是(0,12.

11、【详细正解】 （1）由已知条件结合正弦定理有： A a C c A a sinsincos3 ，从而有： 3tan,sincos3AAA， 3 ,0 AA. （2）由正弦定理得：34 sinsinsin A a C c B b ，CcBbsin34,sin34， 4 3sin4 3sin4 3 sinsin()12sin() 36 bcBCBBB 5 ,612sin()12 6666 BB ，即： 6,12bc . 【习题 07 针对训练】在锐角ABC中，3sincos1AA （1）求角A的大小;（2）求cos24cossinBAB的取值范围 【标题 08】误判直线 BC 是水平方向没有经过严

12、格的证明 【习题 08】在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为31 海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75的方向， 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 103海里/小时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜， 问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？并求出所需要 的时间(注：62.449) 【经典错解】 设缉私船追上走私船所需时间为 t 小时， 如图所示， 则有 CD103t 海里， BD10t 海里 在 ABC 中， AB(31)海里，AC2 海里，BAC4575120， 根据余弦定理可得 BC 220 ( 3-1

13、) +2 -2 2 ( 3-1)cos1206海里 在BCD 中，根据正弦定理可得： sinBCD sinBDCBD CD 0 10t sin120 10 3t 1 2 ， BCD30，BDC30.BDBC6海里. 则有 10t6，t 6 10 0.245 小时14.7 分钟 故缉私船沿北偏东 60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船学科网 sinABC 0 sin120AC BC 3 2 2 6 2 2 . ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直 从而CBD9030120. 在BCD 中，根据正弦定理可得： sinBCD sinBDCBD CD 0 10t sin120 10 3t 1

14、 2 ， BCD30，BDC30.BDBC6海里. 则有 10t6，t 6 10 0.245 小时14.7 分钟 故缉私船沿北偏东60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船 【习题 08 针对训练】在某海岸 A 处，发现北偏东 30方向，距离 A 处）（13 n mile 的 B 处有一艘走私船 在 A 处北偏西 15的方向，距离 A 处6n mile 的 C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截走私船. 此 时，走私船正以 5 n mile/h 的速度从 B 处按照北偏东 30方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上 走私船，并指出缉私船航行方向. 高中数学经典错题深度剖析及针

15、对训练 A C B 30 15 第 20 讲：解三角形参考答案 【习题 01 针对训练答案】B 【习题 01 针对训练解析】cos()cos1ACB，cos()cos(A C)AC1, 2sinsin1AC 又由已知2ac， 根据正弦定理， 得sin2sinAC ， sinC 1 2 ， C 6 或 5 6 ac，AC，C 6 故选B.学%科%网来源:Zxxk.Com 【习题 03 针对训练答案】A 【习题 03 针对训练解析】因为cba，所以最大角是C，由余弦定理得 22 45361 cos0 2 4 58 C ,所以ABC是锐角三角形. 【习题 04 针对训练答案】C 【习题 04 针对训

16、练解析】由正弦定理 B b A a sinsin 结合已知数据可求得 8 5 sinA,A可能为钝角，也可 能为锐角，当A为锐角时，BA显然满足条件，当A为钝角时，因为 150sinsin 2 1 8 5 A,由 函数的单调性可知 150A，也满足BA，所以三角形由两个解，正确选项为C.故选C. 【习题 05 针对训练答案】ABC是直角三角形或等腰三角形. 【习题 05 针对训练解析】由题得cossinsincos0CABC 所以cos(sinsin)0CAB 所以 cos0C 或sinsinAB 所以 0 90C 或ab， 所以ABC是直角三角形或等腰三角形. 【习题 06 针对训练答案】B

17、 【习题 06 针对训练解析】 B b A a x x x sinsin , cos sin tan, 2 2 tan tan b a B A 可化为 B A BA BA 2 2 sin sin sincos cossin ,即 BBAAcossincossin,即BA2sin2sin,所以2222223ABABAB或或, 即 3 22 ABABAB 或或（舍），所以三角形是等腰或直角三角形. 则cos24cossinBAB的取值范围为 3 (1, ) 2 学%科网 【习题 08 针对训练答案】缉私船至少经过 5 2 h 可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东 60. 【习题 08 针对训练解析】设缉私船至少经过t h 可以在D点追上走私船，则tCD35 ，tBD5 在ABC中，由余弦定理得，4)3015cos(2 222 ACABACABBC,2 BC 由正弦定理得， ABC ACBC sin45sin ， 2 3 sin ABC， 60 ABC 点 B 在 C 的正东方向上， 120 DBC A C B 30 15 D