湖南省长沙市宁乡一中等部分中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 湖南省高一数学试卷湖南省高一数学试卷 考生注意：考生注意： 1 1本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150 分考试时间分考试时间 120120 分钟分钟 2 2请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上 3 3本试卷主要考试内容：人数本试卷主要考试内容：人数A A版必修版必修 1 1，2 2 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.已知集合2,3,4M ，0,2,

2、3,5N ，则MN（ ） A. 2,3 B. 3,4 C. 3,5 D. 4,5 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得23MN，. 故选 A. 考点：集合的运算. 2.已知 3 sin() 4 ，则sin=( ) A. 3 4 B. 3 4 C. 7 4 D. 7 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由诱导公式化简即得 【详解】解： 3 sin() 4 3 sin 4 故选B 【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题 3.已知角终边上一点8,6P ，则sin( ) A. 4 5 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 3 【答案】C 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2

3、- 【解析】 分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值 【详解】角终边上一点8,6P ， 8x，6y ，10rOP，则 3 sin 5 y r ，故选C 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 4.三个数 7 0.3，0.37，log 30.7 的大小关系是（ ） A. 7 0.3log 30.70.3 7 B. 0.3 770.3log 30.7 C. 7 0.30.37log 30.7 D. log30.77 0.30.37 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【详解】解： 0.3 71， 7 00.31， 3 log 0

4、.70 ， 0.37 3 70.3log 0.7， 故选C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 5.已知 2 sin 3 ，则cos( 2 )的值为（ ） A. 5 3 B. 1 9 C. 1 9 D. 5 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】 2 2 21 cos2cos21 2sin1 2 39 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：C. 【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 6.函数( )lg|f xxx的图象

5、可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数 yf x的定义域、奇偶性及其在0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数 lgf xxx的定义域为0 x x ，定义域关于原点对称， lglgfxxxxxf x，函数 yf x为奇函数，排除 A、C 选项； 当01x时，lg0 x ，此时 lg0f xxx，排除 B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、 零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题. 7.设函数 1 2 3 2,2 ( ) log1 ,2 x ex f x xx ，则 2ff

6、的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据分段函数解析式计算可得. 【详解】解： 1 2 3 2,2 ( ) log1 ,2 x ex f x xx 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 2 33 g22log1lo31f 1 1 2122fffe 故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题. 8.要得到函数sin2yx的图象，只需将函数sin(2) 3 yx 的图象（ ） A. 向左平移 3 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度 C. 向左平移 6 个单位长度 D. 向右

7、平移 6 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 把sin(2) 3 yx 变为sin2() 6 yx 就可以看出怎么平移. 【详解】sin(2)sin2() 36 yxx ，把函数sin(2) 3 yx 的图象向右移 6 个单位 就可得到函数sin2yx的图象. 故选 D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题. 9.如图所示，在ABC中，点 D 是边AB的中点，则向量DC （ ） A. 1 2 BABC B. 1 2 BABC C. 1 2 BABC D. 1 2 BABC 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量线性运算法则可求得结果. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版

8、权所有高考资源网 - 5 - 【详解】DQ为AB中点 11 22 DBABBA 1 2 DCDBBCBABC 本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据向量线性运算，用基底表示向量的问题，属于常考题型. 10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇 形制作而成， 设扇形的面积为 1 S， 圆面中剩余部分的面积为 2 S， 当 1 S与 2 S的比值为 51 2 时， 扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A. (35) B. ( 51) C. ( 51) D. ( 52) 【答案】A 【解析】 【分析】 根据扇形与圆面积公式，可知面

9、积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形 的圆心角. 【详解】 1 S与 2 S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设 1 S与 2 S所在扇形圆心角分别为, ， 则 51 2 ，又 2 ，解得(35) 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式： 2 11 22 Srlr，其 中是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长. 11.记max , , x y z表示 , ,x y z中的最大者，设函数 2 ( )max42,3f xxxx x ， 若( )1f m ，则实数m的取值范围是（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A. (

10、1,1)(3,4) B. (1,3) C. ( 1,4) D. (, 1)(4,) 【答案】A 【解析】 【分析】 画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可 【详解】 函数 f x的图象如图， 直线1y 与曲线交点 ( 1,1)A ，1,1B，3,1C，4,1D， 故( )1f m 时，实数m的取值范围是11m 或34m. 故选 A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型. 12.定义在R上的奇函数 f x满足2f xfx，且当0,1x时， 2cos x f xx，则下列结论正确的是（ ） A. 20202019 2018 32 fff B. 20202019 2018

11、 32 fff C. 20192020 2018 23 fff D. 20192020 2018 23 fff 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 f（x）是奇函数，以及 f（x+2）=f（-x）即可得出 f（x+4）=f（x） ，即得出 f（x）的 周期为 4，从而可得出 f（2018）=f（0） ， 2 0 1 91 22 ff ， 20207 312 ff 然后 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 可根据 f（x）在0，1上的解析式可判断 f（x）在0，1上单调递增，从而可得出结果. 【详解】f（x）是奇函数；f（x+2）=f（-x）=-f（x） ；f（x

12、+4）=-f（x+2）=f（x） ； f （ x ） 的 周 期 为4 ； f （ 2018 ） =f （ 2+4504 ） =f （ 2 ） =f （ 0 ）， 20191 22 ff , 20207 312 ff x0， 1时， f （x） =2 x-cosx 单调递增； f(0) 1 2 f 7 12 f 20192020 2018 23 fff ,故选 C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的 定义，属于中档题. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.计算：

13、0 2 lg2lg5 3 的值是_ 【答案】2 【解析】 【分析】 利用指数和对数的运算性质可求得结果. 【详解】 0 2 lg2lg51 lg 2 51 12 3 . 故答案为：2. 【点睛】本题考查指数和对数运算，考查计算能力，属于基础题. 14.若函数 f(x)Asin(2x)(A0， 2 2 )的部分图象如图所示， 则 f(0)_ 【答案】1 【解析】 由图象可知 A2，f 3 2，即 f 3 2sin2 3 2，所以 sin 2 3 1，即 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 2 3 2 2k，kZ，所以 6 2k，kZ.因为 2 2 ，所以当 k0 时

14、， 6 ，所以 f(x)2sin2 6 x ，即 f(0)2sin 6 2 1 2 1. 15.若 1 tan 3 x ，则 sin2cos 2sincos xx xx _ 【答案】1 【解析】 【分析】 在所求分式的分子和分母中同时除以cosx，将分式变形为只含tan x的代数式，代值计算即 可. 【详解】 1 2 sin2costan2 3 1 1 2sincos2tan1 21 3 xxx xxx . 故答案为：1. 【点睛】本题考查正、余弦齐次式的计算，一般利用弦化切思想求解，考查计算能力，属于 基础题. 16.若对定义域内任意x，都有 f xaf x（a为正常数） ，则称函数 f x

15、为“a距” 增函数若 3 1 4 4 fxxx，xR是“a距”增函数，则a的取值范围是_ 【答案】(1,) 【解析】 【分析】 由题中定义得出 f xaf x，作差变形后得出 223 1 330 4 axa xaa对任意的 xR恒成立，结合0a得出，由此可求得实数a的取值范围. 【详解】 3 3223 111 4433 444 fxafxxaxaxxaxaxaa ， 因为函数 yf x是“a距”增函数，所以 223 1 330 4 axa xaa恒成立， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 由0a，所以 22 1 091201 4 aaa 因此，实数a的取值范围是

16、1,. 故答案为：1,. 【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等 题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知集合121Ax axa ，01Bxx （1）若 1 2 a ，求AB； （2）若AB ，求实数a的取值范围 【答案】 （1）01ABxx； （2） 1 ,2, 2 【解析】 【分析】 （1）求出集合A，利用交集的定义可求得集合AB； （2）分A和A 两种情况讨论，结合条件AB 可得出关于a的不等式组，即可

17、解得实数a的取值范围. 【详解】 （1）当 1 2 a 时， 1 2 2 Axx ， 01Bxx ，因此，01ABxx； （2）AB 当A时，即121aa ，2 a； 当A 时，则 121 1 1 aa a 或 121 210 aa a ，解得 1 2 2 a 或2a. 综上所述，实数a的取值范围是 1 ,2, 2 . 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用交集运算结果求参数，考查运算求解能力， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 属于中等题. 18.已知向量( ,1)ak，( 6,7) bk. （1）若a b ，求k的值； （2）若ab，求|2|ab.

18、【答案】 （1） 7 5 ； （2）8 2或3 37. 【解析】 【分析】 （1）根据向量垂直，得到670kk，求解即可得出结果； （2）根据向量共线，求出1k 或6k ；再由向量模的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 （1）因为向量( ,1)ak，( 6,7) bk，a b ， 所以670kk，解得： 7 5 k ； （2）若ab，则760k k，解得1k 或6k ； 因此226,98,8abkk或18,3， 因此264648 2ab或232493 37ab. 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，由向量垂直求参数，以及求向量模，熟记向量 共线、垂直的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于

19、常考题型. 19.已知函数 3sin3 26 x f x （1）指出 f x的周期、振幅、初相、对称轴并写出该函数的单调增区间； （2）说明此函数图象可由 sinyx ，xR上的图象经怎样的变换得到 【答案】 （1）周期4T，振幅3A，初相 6 ，对称轴： 2 2 3 xk，kZ；单 调增区间： 42 4,4 33 kk ，kZ； （2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （1）根据函数 yfx的解析式可写出函数 yf x的周期、振幅、初相，解方程 262 x kkZ 可 得 出 函 数 yfx的 对 称 轴 方 程

20、 ， 解 不 等 式 22 2262 x kkkZ 可得出函数 yf x的单调增区间； （2）根据三角函数的图象变换可得出结论. 【详解】（1） 函数 3sin3 26 x f x 的周期为 2 4 1 2 T ， 振幅3A， 初相 6 ， 解方程 262 x kkZ ，得 2 2 3 xk，kZ， 即函数 yf x的对称轴方程为 2 2 3 xk，kZ， 解不等式22 2262 x kkkZ ，得 42 44 33 kxkkZ ， 所以，函数 yf x单调增区间为 42 4,4 33 kk ，kZ； （2）由函数 sinyx ，xR的图象上各点向左平移 6 个长度单位，得函数sin 6 yx

21、 的图象； 由函数sin 6 yx 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） ，得函数 sin 26 x y 的图象； 由函数sin 26 x y 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变） ，得函数 3sin 26 x y 的图象； 由函数3sin 26 x y 的图象上各点向上平移3个长度单位，得函数3sin3 26 x y 的图象 【点睛】本题考查由正弦型函数的解析式求函数的周期、振幅、初相、对称轴和单调增区间， 同时也考查了三角函数的图象变换，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 20.已知向量sin ,cosaxx r ，3

22、, 1b ， f xa b （1）若5 ,6x，求函数 f x的对称中心； （2）若3 6 f ，0,，求 【答案】 （1）对称中心为 31 ,0 6 ； （2） 3 或 2 3 【解析】 【分析】 （1）利用平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想化简函数 yf x的解析式为 2sin 6 f xx ，然后求出方程 6 xkkZ 在5 ,6x上的解，即可得出 结果； （2）由3 6 f 得出 3 sin 2 ，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】 （1）由题意得 3sincos2sin 6 f xa bxxx . 由 6 xk ，kZ，得 6 xk ，kZ 又5 ,6x， 31 6

23、x 即当5 ,6x时，函数 yf x图象的对称中心为 31 ,0 6 ； （2）3 6 f ，2sin3， 3 sin 2 又0,， 3 或 2 3 【点睛】本题考查正弦型函数的对称中心的求解，同时也考查了由三角函数值求角，涉及平 面向量数量积的坐标运算和辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 21.某种蔬菜从 1 月 1 日起开始上市， 通过市场调查， 得到该蔬菜种植成本Q（单位： 元/10kg） 与上市时间t（单位：10 天）的数据如下表： 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 时间t 5 11 25 种植成本Q 15 10.8 15 （1）根据上表数据

24、，从下列函数：Qatb， 2 Qatbtc， t Qa b，logbQat 中（其中0a） ，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系； （2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 【答案】 （1） 2 1385 2024 Qtt； （2）该蔬菜上市 150 天时，该蔬菜种植成本最低为 10（元 /10kg）. 【解析】 【分析】 （1）先作出散点图，根据散点图分布即可判断只有模型 2 Qatbtc符合，然后将数据 代入建立方程组，求出参数, ,a b c. （2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得

25、上市 时间. 【详解】解： （1）以上市时间t（单位：10 天）为横坐标，以种植成本Q（单位/10kg）为 纵坐标，画出散点图（如图）. 根据点的分布特征，Qatb， t Qa b，logbQat这三个函数模型与表格所提供的 数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好， 所以选取函数模型 2 Qatbtc进行描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系. 将表格所提供的三组数据分别代入 2 Qatbtc， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 得 15255, 10.812111, 1562525. abc abc abc 解得 1 , 20 3 , 2 8

26、5 . 4 a b c 所以，描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为 2 1385 2024 Qtt. （2）由（1）知 2 2 13851 1510 202420 Qttt， 所以当15t 时，Q的最小值为 10， 即该蔬菜上市 150 天时，该蔬菜种植成本最低为 10（元/10kg）. 【点睛】判断模型的步骤： （1）作出散点图； （2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断； 二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域. 22.定义在D上的函数 yf x，如果满足：对任意xD，存在常数0M ，都有 fxM成立，则称函数 yf x是D上的有界函数，其中M称为

27、函数的上界已知函 数 2 11 1 22 xx f xa （1）当2a时，求函数 yf x在,0上的值域，并判断函数 yf x在,0上 是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数 yf x在0,上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围 【答案】 （1）不是有界函数，理由见解析； （2）5,1. 【解析】 【分析】 （1）求出函数 yf x在区间,0上的值域，结合题中定义判断即可； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）由题意可得 3fx ，换元 1 0,1 2 x t ，将问题转化为 2 313att 对任 意的0,1t恒成立，结合参变量分离法可求得实数

28、a的取值范围. 【详解】 （1）当2a时， 2 2 111 211 222 xxx f x ， 当,0 x 时， 1 1, 2 x ，则 2 1 1 2 4, x f x ， 所以，函数 yf x在,0上的值域为 4,， 故不存在常数0M ，使得 fxM成立， 因此，函数 yf x在,0上不是有界函数； （2）函数 yf x在0,上是以3为上界的有界函数，即 3fx ， 令 1 2 x t ，则 11 313 24 xx a ，即 2 313att ，01t 由 2 13att得 2 01att t ， 令 2 01h ttt t ，则函数 yh t在0,1上单调递减，所以 11h th； 由 2 13att 得 4 01att t ， 令 4 01g ttt t ，函数 yg t在0,1上单调递增，所以 15g tg. 所以51a . 因此，实数a的取值范围是5,1. 【点睛】本题考查函数新定义，将问题转化为函数不等式恒成立是解答的关键，考查化归与 转化思想的应用，属于中等题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -