云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末考试质量检测数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 昆明市昆明市 2019 2020 学年高一期末质量检测数学学年高一期末质量检测数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合1,2,3A， |02BxZx，则AB （ ） A. 3 B. 1,2 C. 1,2,3 D. 0,1,2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合 B 的描述确定其中的元素，再由交集运算求AB即可 【详解】由|02BxZx知

2、：0,1,2B ，而1,2,3A AB 1,2 故选：B 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述确定其元素，利用交集运算求集合，属 于简单题 2. 函数( ) lg(21)f xx 的定义域为（ ） A (,) B. 1 , 2 C. (0,) D. 1 , 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据真数大于 0 解不等式可得结果. 【详解】由21 0 x-解得 1 2 x . 所以函数( )lg(21)f xx的定义域为 1 ( ,) 2 . 故选：D. 【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 已知公差

3、为 2 的等差数列 n a满足 14 0aa，则 7 a （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式可求得 1 a，即可求得 7 a. 【详解】由题意知 141 230aaad，因为2d ，可得 1 3a 所以 71 63 129aad . 故选：C 【点睛】本题主要考查了由等差数列的通项公式求数列中的项，属于基础题. 4. 已知向量(0,1)a ，(1, 3)b ，则a与b的夹角为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量数量积的坐标表示，知 1 212 a bx xy y ，又

4、由|cosa ba b，结合(0,1)a ， (1, 3)b 即可求a与b的夹角 【详解】设a与b的夹角为，由(0,1)a ，(1, 3)b ，则 |cos3a ba b，而| 1a ，| 2b 3 cos 2 ，又 0, 故 6 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量数量积的坐标公式求向量夹角，注意向量数量积的两个公式的 应用： 1 212 a bx xy y 、|cosa ba b 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 5. 已知直线l经过点1,0，且与直线 20 xy平行，则l的方程为（ ） A. 220 xy B. 220 xy C. 210 xy D. 21

5、0 xy 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线的点斜式方程求出l的方程， 【详解】直线l经过点1,0，且与直线20 xy平行，则l的方程为 1 1 2 yx ，化简 得210 xy 故选：C 【点睛】本题考查直线的方程，考查点斜式方程的应用，属于基础题 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A. 2 3 3 B. 4 3 C. 4 3 3 D. 8 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图作出原图，即可求出体积. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】 由三视图可知：原几何体如图是正方

6、体的一部分，底面ABCD是边长为2的正方形，平面 EAD 平面ABCD，EDA是等腰三角形，5EAED，2AD 所以体积为： 2 118 2 251 333 ABCD VSh ， 所以该几何体的体积为： 8 3 故选：D 【点睛】本题主要考查了由三视图求原几何体的体积，属于中档题. 7. 若tan3，则tan 4 （ ） A. -2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角差的正切公式可得 1tan tan() 41tan ，结合已知条件即可求tan() 4 的值 【详解】由两角差正切公式，知： 1tan tan() 41tan ，而tan3 1 31 t

7、an() 41 32 故选：B 【点睛】本题考查了利用正切差角公式求函数值，由 tantan tan() 1tantan 展开正切函 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 数式，结合已知条件求函数值 8. 设 3 log 0.4a ， 3 log 0.5b ， 0.2 3c ，则（ ） A. abc B. bac C. cab D. cba 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数函数单调性可比较, a b，再由中间值 0 可得三者的大小关系. 【详解】因为 3 logyx是增函数，所以 33 log 0.4log 0.5，即ab，且都小于零， 0.1 50,1c

8、，因此abc，即cba， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题目. 9. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为：有一 个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地，则第 2 天走了（ ） A. 96 里 B. 48 里 C. 24 里 D. 12 里 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知此人每天走的步数构成 1 2 为公比的等比数列，由求和公式可得首项，再计算可得 答案

9、 【详解】由题意可知此人每天走的里数构成 1 2 为公比的等比数列， 由题意得，利用等比数列的求和公式可得 6 1 1 1- 2 1 1- 2 a 378， 解得 a1192，第此人二天走 192 1 2 96 里. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 故选：A 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属于基础题 10. 己知正方形ABCD的边长为 3，若 2DEEB ，则AE EC （ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】 利用 AE ECABBEEBBC，展开后用数量积的定义即可求解. 【详

10、解】 AE ECABBEEBBCAB EBAB BCBE EBBE BC cos135cos180cos45AB EBBE EBBE BC 22 3222123 22 3 2 34 故选：A 【点睛】本题主要考查了数量积的定义，涉及向量的线性运算，属于基础题. 11. 已知点3,4N，若直线 1 1 :(1)lyx k 与直线 2: (1)lyk x相交于点M，则MN 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 由 1 1k k 得 12 ll，且直线 1 l恒过1,0，直线 2 l恒过1,0，得M是以0,0为圆 高考资源网（） 您身边的高考专家

11、版权所有高考资源网 - 7 - 心，以 1 为半径的圆，MN表示圆上的点M与N之间的距离，即可求得MN的最大值. 【详解】由直线 1 1 :(1)lyx k 与直线 2: (1)lyk x中的斜率之积 1 1k k 得 12 ll， 且直线 1 l恒过1,0，直线 2 l恒过1,0，所以直线 1 l与直线 2 l的交点M是以0,0为圆心， 以 1 为半径的圆， 且点3,4N，MN表示圆上的点M与N之间的距离，MN的最大值为 22 3 04016 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了两条直线间的垂直关系和圆的轨迹，圆上的点与定点间的距离最大 问题，两点的距离公式的应用，属于中档题. 12. 若函

12、数( ) sin()0,0 2 f xx 同时满足下列三个条件：当 12 1f xf x时， 12 xx最小值为； f x在0, 6 上不是单调函数； f x 在 7 0, 8 上有且仅有一个零点.则实数的取值范围为（ ） A. 0, 6 B. , 6 4 C. , 4 3 D. , 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由可求得2，由知，函数( )sin(2)f xx在(0,) 6 内存在最值，可求得 62 ，由求得函数的零点为 22 k x ，kZ，根据 f x在 7 0, 8 上有且仅 有一个零点，可得 7 28 ，解得 4 ，综合可得 64 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权

13、所有高考资源网 - 8 - 【详解】由知，T，所以 2 2 ， 由知，函数( )sin(2)f xx在(0,) 6 内存在最值，令2 2 xk ，kZ， 得 242 k x ，kZ，所以0 2426 k ，kZ， 所以 62 kk ，kZ， 因为0 2 ，所以0k ， 62 ， 由令2xk，kZ，得 22 k x ，kZ， 当0k 且kZ时， 2 x (0) 2 ，不合题意； 当3k 且kZ时， 3357 222448 x ，不合题意； 当1k 时， 22 x 7 (0,) 8 ， 当2k 时， 2 x 3 (, ) 4 ， 因为 f x在 7 0, 8 上有且仅有一个零点， 且 22 x 一

14、定在 7 0, 8 内， 所以 2 x 不在 7 0, 8 内，所以 7 28 ，解得 4 ， 综上所述： 64 . 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦函数的周期，考查了正弦函数的最值，考查了正弦函数的零点，属 于中档题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知( 3, 7)P 是角终边上一点，则sin( )_. 【答案】 7 4 【解析】 【分析】 利用任意角的三角函数的定义，求得 7 sin 4 ，进而利用诱导公式求出sin( ) 的值 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【详解】( 3

15、, 7)P 是角终边上一点，则 2 2 3,7,374xyr 7 sin 4 sin() 7 sin 4 . 故答案为： 7 4 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及到诱导公式，属于基础题 14. ABC中，D为BC的中点，AB ADAC ，则 _. 【答案】3 【解析】 【分析】 D为BC的中点， 由向量加法的几何含义有 1 () 2 ADABAC， 即 2A BA D A C 结合题 设即可求得、，进而求 【详解】ABC中，D为BC的中点，则有 1 () 2 ADABAC 2ABADAC ，由ABADAC 可知：2，1 3 故答案为：3 【点睛】本题考查了向量的几何应用，根据向

16、量加法的几何应用，利用平行四边形法则得到 向量间的等量关系求得对应参数值，进而求目标代数式的值 15. 已知 f x是偶函数，对xR满足 (2)( )f xf x ，当0,1x时，( )21 x f x .则 3f_；若关于x的方程 ( )(1)(0)f xk xk 恰有四个不相等的实数根，则 k _. 【答案】 (1). 1 (2). 1 4 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【分析】 根据 1 (3)(12)(1)211fff 可得第一个空的答案；转化为函数 ( )yf x与函数 (1)(0)yk xk的图象恰有四个交点，利用图象可得结果. 【详

17、解】因为对xR满足(2)( )f xf x，所以函数 ( )f x的周期为 2， 因为 1 (3)(1 2)(1)21 1fff ，所以 (3)1f， 因为当0,1x时，( )21 x f x ，所以当 1,0)x 时，(0,1x ， 所以( )()21 x f xfx ， 因为关于x的方程( )(1)(0)f xk xk恰有四个不相等的实数根， 所以函数( )yf x与函数(1)(0)yk xk的图象恰有四个交点， 作出函数 ( )f x在 1,1 内的图象，并根据函数 ( )f x的周期性作出函数( )f x的部分图象如图： 由图可知，当直线(1)(0)yk xk经过点(3,1)时，两个函

18、数的图象恰有四个交点， 所以 11 3 14 k . 故答案为：1 1 4 ；. 【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础 题. 16. 如图，正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别是棱 11 AD， 1 AA，AB的中点.下 列四个结论： 1/ / CDFG； /AC平面EFG； 平面BAC 平面EFG； 1 B DEG. 其中正确结论的编号是_. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 对于，根据 11 / /CDBA， 1/ / BAFG，可得 1/ / CDFG； 对于，

19、延长EF交DA的延长线于H， 连HG， 通过证明/HGAC可证/AC平面EFG； 对于，平面EHG与平面ABC所成二面角不是直角可知平面BAC与平面EFG不垂直； 对于，可证 1 B D 平面FHG，从而可得 1 B DEG. 【详解】 对于，在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 / /CDBA， 1/ / BAFG，所以 1/ / CDFG，故 正确； 对于，延长EF交DA的延长线于H，连HG，则 1 AHAEAG， 所以/HGAC，又HG平面EFG，AC 平面EFG，所以/AC平面EFG，故正 确； 对于，平面BAC与平面EFG不垂直；故不正确； 对于，在正方体中，因为 11

20、B DCD， 1/ / CDFG，所以 1 B DFG， 因为 1 B DAC， /ACHG，所以 1 B DHG，因为FGHGG， 所以 1 B D 平面FHG，又EG 平面FHG，所以 1 B DEG，故正确. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 故答案为： 【点睛】本题考查了直线与直线的平行关系，考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与 平面垂直的判定与性质，考查了平面与平面垂直，属于中档题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ABC的角A，B，C的对边分别为

21、a，b，c，已知sinabA. （1）求B； （2）若2c ，5a ，D是AC边上异于A的点，且2BD ，求BCD的面积. 【答案】 （1）90； （2） 5 9 . 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理可得sin1B，可得90B ； （2）在直角三角形ABC中，求出 5 cos 3 C ，在BCD中，由余弦定理得 1 3 CD ，根据 面积公式可得解. 【详解】 （1）在ABC中，sinabA，由正弦定理得sinsinsinAAB， 因为sin0A，所以sin1B， 因为0B，所以90B . （2）在ABC中，3b， 5 cos 3 C ， 在BCD中，由余弦定理得 222 2cosBDB

22、CCDBC CDC， 所以 2 5 452 5 3 CDCD，即 2 31030CDCD，解得 1 3 CD 或3CD. 因为D不与A重合，所以 1 3 CD ， 所以BCD面积 2 11155 sin51 () 22339 SBC CDC . 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 18. 已知数列 n a满足 5 4a ， 1 2,3 4,3 n n n a n a an ， * nN. （1）求 1 a； （2）求数列 n a前 20 项的和. 【答案】 （1）1； （2）401

23、. 【解析】 【分析】 （1） 由 5 4a 和 54 4aa求出 4 a， 利用数列 n a的前 4 项是公比为 2 的等比数列， 得到 1 a； （2）分别利用等比数列和等差数列的求和公式计算即可 【详解】 （1）由题意知数列 n a的前 4 项是公比为 2 的等比数列，从第 5 项开始是公差为-4 的等差数列. 因为 54 4aa，所以 4 8a ，又 3 41 2aa，所以 1 1a . （2） 1234520 16 15 (1248) 16 4( 4) 2 aaaaaa 15 416401. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查分组求和公式，属于中档题 19. 如

24、图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 底面ABCD是菱形，60ABC， E为CD的中点. （1）证明：CD平面PAE； （2）若F为PD的中点，是否存在点GPA，使平面/EFG平面PBC？若存在，指出点 G的位置，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，G为PA的中点，证明见解析. 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （1）由已知可得PACD，在底面ABCD中证明AECD，利用线面垂直的判定定理即 可得到证明. （2） 存在满足题意的G， 且G为PA的中点， 分别证明/ /EF平面PBC，/FG平面

25、PBC， 由面面平行的判定定理即可得证明. 【详解】 （1）证明：因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD， 所以PACD， 连接AC，因为底面ABCD是菱形，60ABC， 所以ACD为正三角形，又因为E为CD的中点， 因此AECD. 又因为PAAEA，PA，AE 平面PAE， 所以CD平面PAE. （2）存在满足题意的G，且G为PA的中点. 证明如下：连接EF，FG，EG， 因为E、F分别为CD、PD的中点，所以/EFPC. 又因为EF 平面PBC，PC 平面PBC， 所以/ /EF平面PBC. 同理可证：/FGAD，又因为/ /ADBC， 所以/FGBC，又因为FG 平面PBC，BC 平

26、面PBC. 所以/FG平面PBC，又因为EFFGF，EF，FG 平面EFG， 所以平面/EFG平面PBC. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和面面平行的判定定理的应用，考查分析推理和空间 想象力，属于基础题. 20. 已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1f xxxx. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （1）求 f x在区间0, 2 的最小值； （2）将 f x的图象向左平移 6 个单位后得到函数 ( ) yg x=的图象，求 g x的单调递减区 间. 【答案】 （1）-1； （2）, 2 kk ，kZ 【解析】 【分析】 (1)根据正余弦的倍

27、角公式、辅助角公式化简 f x，确定它在0, 2 内的最值，即可求得最 小值；(2)根据图象的平移得到( )2cos2g xx，由于2yx为增函数，根据复合函数的单调 性及余弦函数的性质有 g x在222kxk上单调递减，即可求得递减区间 【详解】 （1）解：( )3sin2cos22sin 2 6 f xxxx ， 当0, 2 x 时， 7 2 666 x ，有12sin 22 6 x 当 2 x 时， f x在区间0, 2 的最小值为-1. （2）由题意知：( ) 6 g xfx ( )2sin 22sin 22cos2 662 g xxxx ， 由222kxk，kZ解得 2 kxk ，k

28、Z. 因此，函数 g x的单调递减区间为, 2 kk ，kZ 【点睛】本题考查了三角函数，根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式，并求区 间最值，由函数图象平移得到新函数解析式，结合复合函数的单调性求单调区间 21. 已知圆 22 :4O xy，经过点0,5P的直线l与圆O交于不同的两点A，B. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （1）若直线l的斜率为 2，求| |AB； （2）求 22 |PAPB的取值范围. 【答案】 （1）2 3； （2）(2,18. 【解析】 【分析】 （1）写出直线l的方程，求出弦心距，利用勾股定理可以求弦长| |AB. （2）

29、当l的斜率不存在时，可直接求 22 |PAPB；当l的斜率存在时；设:5l ykx， 与圆的方程联立后消参，由，可以得k的取值范围，利用两点间距离公式将 22 |PAPB用k表示出来，结合k的取值范围即可求解. 【详解】 （1）由已知得直线l的方程为25yx，即250 xy. 设圆心到直线l的距离为d，则 22 |5 | 1 2( 1) d ， 因为圆O的半径2r =，所以 22 | 3 2 AB rd， 所以| 2 3AB （2）解法一：当l的斜率不存在时，:0l x ，此时，0, 2A，0,2B， 22 |18PAPB. 当l的斜率存在时，设直线l的斜率为k， 11 ,A x y， 22

30、,B x y，则:5l ykx， 由 22 5 4 ykx xy ，消y得 22 12 510kxkx ， 因为直线与圆有不同的两个交点，则，即 2 1 4 k ， 所以 12 2 2 5 1 k xx k ，而 1212 2 5yyk xx，所以 12 2 2 5 1 yy k . 又 22 11 4xy， 22 22 4xy， 所以 22 2222 1122 |55PAPBxyxy 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 2222 112212 2 20 2 51018 1 xyxyyy k . 因为 2 1 4 k ，所以 2 20 21818 1k ， 综上

31、可得： 22 |(2,18PAPB. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了求弦长，属于中档题. 22. 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆， 在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道 里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来 自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种 的！” （1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四 斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此

32、得到如下结论：一次购买的 斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论； （2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：投资金额固定；投资年 数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；投资年数 * x xN与总回报y的关系， 可选择下述三种方案中的一种：方案一：当3x 时，6y ，以后x每增加1时，y增加2； 方案二： 2 1 3 yx；方案三： 3 3 x y .请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个 最佳投资方案. 【答案】 （1） * 1 15, x f xxx x N； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价

33、为 f x元，根据题意可得出 * 1 15, x f xxx x N，化为 1 1f x x ，利用该函数的单调性可得出结论； （2）求出方案一中函数模型的解析式，列表得出三种方案所有年数的总回报，根据表格中的 数据可得出结论. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 【详解】 （1）设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为 f x元， 由题意知： * 1 15, x f xxx x N， 因为 11 1 x f x xx ，所以 yf x在1,5为单调递减函数. 说明一次购买的斤数越多，单价越低； （2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案. 由

34、题意可知方案一对应的解析式为：6322yxx. 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关 系，进而可得出如下结论： 投资年数x 总回报y 3 4 5 6 7 8 9 10 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方案二 3 16 3 25 3 12 49 3 64 3 27 100 3 方案三 3 3 4 3 5 3 3 9 3 7 3 8 3 3 27 10 3 3 当投资年数为35年时，选择方案一最佳； 当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳； 当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为10年时，选择方案三最佳. 【点睛】本题考查函数模型的选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.