湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 华师一附中华师一附中 20192019- -20202020 学年度下学期高一期中诚信检测学年度下学期高一期中诚信检测 数学试题数学试题 卷（共卷（共 1616 小题，满分小题，满分 8080 分）分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. .） 1.已知向量(1, 1)a ，( ,3)bx且a b rr ，则|ab的值为（ ） A. 2 B. 7

2、 C. 2 2 D. 2 5 【答案】D 【解析】 【分析】 由ab可求出x的值，从而可得到a b 的坐标，然后可求出模. 【详解】解：因为向量(1, 1)a ，( ,3)bx且ab， 所以1( 1) 30 x ，解得3x ， 所以 (3,3)b r ，所以(4,2)ab， 所以 22 |422 5ab 故选：D 【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2 (2),(1)(3)Ma aNaa，则,M N的大小关系是（ ） A. MN B. MN C. MN D. MN 【答案】A 【解析】 【分析】 通过作差得到MN，根据判别式和开口方向可知0MN，从而得到结

3、果. 【详解】 2 221323MNa aaaaa 4 120 2 230aa，即MN 本题正确选项：A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口 方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO ，若1OB ，那么原 ABO的面积是( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 2 【答案】C 【解析】 试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图， 因为边 O B在 x轴上，所以，在原图形中对应的边应在 x 轴上，且长度不变， O A在 y轴上，所以，在原

4、图形中对应的边应在 y 轴上，且长度增大到 2 倍， 因OB=1，所以 O A= 2，则 OA=22则 SABO= 1 2 OBOA= 1 2 12 2=2 考点：斜二测画法 4.已知等比数列 n a中， 5 118 3a aa，数列 n b是等差数列，且 68 ba，则 48 bb（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【分析】 由等比数列的性质可将 5 118 3a aa转化为 8 2 8 3aa，从而得 8 3a ，所以 6 3b ，再由等差 数列的性质可求出 486 26bbb. 【详解】

5、解：因为数列 n a为等比数列， 5 118 3a aa， 所以 8 2 8 3aa，解得 8 3a ， 因 68 ba，所以 6 3b ， 因为数列 n b是等差数列， 所以 486 26bbb， 故选：B 【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题. 5.已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 3 coscos 2cos c aBbA C ， 1a ， 3b ，则c（ ） A. 6 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 先由正弦定理将 3 coscos 2cos c aBbA C 中的边转化为角，可得 3sin sin() 2

6、cos C AB C ，可 求出角 6 C ，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】解：因为 3 coscos 2cos c aBbA C ， 所以正弦定理得， 3sin sincossincos 2cos C ABBA C 所以 3sin sin() 2cos C AB C ，得 3sin sin 2cos C C C ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 因为sin0C ，所以 3 cos 2 C ， 又因为(0, )C，所以 6 C ， 因为1a ， 3b ， 所以由余弦定理得， 222 3 2cos132 131 2 cababC ， 所以1c 故选：B

7、【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题. 6.九章算术第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思， 通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知, ,A B C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得 奖金 1000 元，则,B C所分得奖金分别为 900 元和 810 元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、 丁攻关成功，共获得奖金 59040 元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且 甲与丙共获得奖金 32800 元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800 元 B. 10%，12800 元 C. 20%，10240 元 D.

8、 10%，10240 元 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列 n a，设“衰分比”为m，则数列的公比为 1 m，而由题意可知 1234 13 59040 32800 aaaa aa ，进而计算可得 3 ,m a的值. 【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列 n a，设“衰分比”为m， 则数列的公比为1 m，则有 1234 13 59040 32800 aaaa aa 则有 24 26240aa， 13 (1)()26240m aa， 解得 10.8m，则0.220%m， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 -

9、因为 13 32800aa 所以 3 3 2 32800 0.8 a a，解得 3 12800a 故选：A 【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 12 B. 1 3 C. 15 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lrS侧rlr 2，S 底 r故选 C 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题 8.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且2BDDC，若 3 4 BE

10、ABAD， 则（ ） A. 5 4 B. 4 3 C. 4 5 D. 3 4 【答案】A 【解析】 【分析】 可设AE xAC ，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出 3 (1) 22 xx BEABAD ，从而根据平面向量基本定理即可得出 (1) 2 33 24 x x ，解出即可 【详解】解：如图， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 设AE xAC ，且2BDDC，则： BEAEABxACAB ()x ADDCAB 1 () 2 x ADBDAB () 2 x xADADABAB 3 (1) 22 xx ABAD ， 3 4 BEAB

11、AD， (1) 2 33 24 x x ，解得 5 4 ， 故选：A 【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理， 考查了计算能力，属于基础题 9.若正数 a,b 满足 a+b=2,则 14 11ab 的最小值是( ) A. 1 B. 9 4 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 分析】 由2ab可得 114ab，所以可得 411411411 111 4 11411411 ab ab ababab ， 由基本不等 式可得结果. 【详解】2ab， 114ab， 又0a，0b， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 14114

12、11 11411 ab abab 411119 1 454 41144 ab ab ， 当且仅当 411 11 ab ab ， 即 1 3 a ， 5 3 b 时取等号, 14 11ab 的最小值是 9 4 ,故选 B. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不 等式中“正”（即条件要求中字母为正数） 、“定”（不等式的另一边必须为定值） 、“等” （等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 10.对于实数, x x表示不超过x的最大整数.已知正项数列 n a满足 11 2 nn n Sa a ， * nN，其中 n S为数列 n a的前n项和，

13、则 1240 SSS（ ） A. 135 B. 141 C. 149 D. 155 【答案】D 【解析】 【分析】 利用已知数列的前n项和求其 n S得通项，再求 n S 【详解】解：由于正项数列 n a满足 11 2 nn n Sa a ， * nN， 所以当1n 时，得 1 1a ， 当2n时， 1 1 1111 () 22 nnnn nnn SaSS aSS 所以 1 1 1 nn nn SS SS ， 所以 2 n Sn， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 因为各项为正项，所以 n Sn 因为 123485 1,1, 1,2SSSSSS, 05911 3

14、SSS, 161724 4SSS , 252635 5SSS , 363740 6SSS. 所以 1240 SSS1 3+2 5+3 7+4 9+5 11+6 5=155， 故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档 题. 11.已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是APB的角平分线，I为PC 上一点，满足BI BA ACAP ACAP (0) ，4PAPB，10PAPB，则 BI BA BA 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合向量的运算法则可得点 I 为三角形内切圆的

15、圆心，结合三角形内切圆与边长关系 的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定 BI BA BA 的值. 【详解】由BI BA | ACAP ACAP (0) 可得 | ACAP AI ACAP ， 所以 I 在BAP角平分线上，由此得 I 是ABP 的内心， 过 I 作 IHAB 于 H，I 为圆心，IH 为半径，作PAB 的内切圆， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 如图，分别切 PA，PB 于 E，F， | 4,| 10PAPBPAPB，则 10AB ， 11 | |(|)| (|) 22 3 BHBFPBABPAABPAPB， 在直角三角形 BIH 中,

16、 | cos | BH IBH BI ， 所以|cos3 | BI BA BIIBHBH BA . 故选 B. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.设数列 n a的前n项和为 n S已知 * 1 23 nn aannN 且1300 n S ， 若 2 3a ， 则 n的最大值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】 对n分奇偶性分别讨论，当n为偶数时，可得 2+3 2 n nn S ，发现不存在这样的偶数能满足此 式，当n为奇数时，可得 2 1 +34 2

17、 n nn Sa ，再结合 2 3a 可讨论出n的最大值. 【详解】当n为偶数时， 12341 ()()() nnn Saaaaaa (2 1 3)(2 33)2(1)3n 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 2 1 3(1)3 2 n n 2+3 2 nn ， 因为 22 4850 48 +3 48503 50 1224,1325 22 SS ， 所以n不可能为偶数； 当n为奇数时， 123451 ()()() nnn Saaaaaaa 1 (2 23)(2 43)2(1)3an 2 1 34 2 nn a 因为 2 4911 493 494 1272 2 S

18、aa ， 2 5111 513 51 4 1375 2 Saa ， 又因为 2 3a ， 12 5aa，所以 1 2a 所以当1300 n S 时，n的最大值为 49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于 较难题. 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .请将答案写在答题纸上的相应位置请将答案写在答题纸上的相应位置. .） 13.设, , a b c为实数，且0ab，则下列不等式正确的是_.（仅填写正确不等式的序 号） 11 ab ； 22 acbc； ba ab ；

19、 ba ab ； 22 11 ab 【答案】 【解析】 【分析】 利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c为实数，且0ab， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 对于因为0ab，所以0ab 所以 ab abab ，即 11 ba ，所以不正确； 对于当0c =时，结论不成立，所以不正确； 对于因为0ab，所以 22 ab 因为0ab，所以 22 ab abab ，即 ab ba ，所以不正确，正确； 对于因为 22 0ab，所以 22 11 ab ，所以正确 故答案为： 【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能

20、力，属于基础题. 14.已知向量, a b是平面内的一组基底， 若mxayb， 则称有序实数对( , ) x y为向量m在基 底, a b下的坐标.给定一个平面向量p，已知p在基底, a b下的坐标为(1,2)，那么p在基底 ab，ab下的坐标为_. 【答案】 1 3 , 2 2 【解析】 【分析】 由题可知2pab，若将ab，a b 作为基底，则设()()pm abn ab，然后展开 化简得，()()pmn anm b，从而得 1 2 mn nm ，解出 ,m n的值就得到所求的坐标 【详解】解：由p在基底, a b下的坐标为(1,2)，得2pab， 设p在基底ab，a b 下的坐标为( ,

21、 )m n，则()()pm abn ab 所以()()pmn anm b 所以 1 2 mn nm 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 解得 1 2 3 2 m n ， 所以p在基底ab，a b 下的坐标为 1 3 , 2 2 ， 故答案为： 1 3 , 2 2 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题 15.已知函数( ) 1 e e x f x x （e是自然对数的底数） ，设 ( ),2020, 1 ,2020, 4041 n f nn a fn n ， * nN，数列 n a的前n项和为 n S，则 4039 S的值是_. 【答案】 4039

22、 2 【解析】 【分析】 由题意可得， 1 ( ) 11 ( ) 1 1 1 ( ) e e e x f xx x ，且 11 (1) 1 12 f ，进而可得 1 ( )( )1f xf x ， 结合数列的通项公式可得 4039 111 (1)(2)(2020)()()( ) 202020192 fffffSf 111 (1) (2)( ) (3)( )(2020)() 232020 fffffff， 从而可得答案. 【详解】根据题意， 因为( ) 1 e e x f x x ，所以 1 ( ) 11 ( ) 1 1 1 ( ) e e e x f xx x ， 11 (1) 1 12 f

23、， 所以 1 ( )( )1f xf x ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 因为 ( ),2020, 1 ,2020, 4041 n f nn a fn n 所以 4039 111 (1)(2)(2020)()()( ) 202020192 fffffSf 111 (1) (2)( ) (3)( )(2020)() 232020 fffffff 14039 2019 22 故答案为： 4039 2 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析 1 ( )( )1f xf x ，属于中 档题. 16.如图，在平面四边形ABCD中，135A ，7

24、5BC ，2BC ，则CD的取 值范围是_. 【答案】( 62, 62) 【解析】 【分析】 如图，延长,BA CD交于点E，设 1262 , 224 ADx DEx AEx ABm ，求出 62 + = 6+ 2 4 x m ，即可求出CD的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD交于点E，则 在ADE中，105 ,45 ,30ADEDAEE , 所以设 1262 , 224 ADx DEx AEx ABm ， 因为2BC ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 所以 6+ 2 ()sin151 4 xm ， 所以 62 + = 6+ 2 4 x m ，

25、 所以04x， 因为 6222 62 422 CDxmxx ， 所以CD的取值范围为( 62, 62)， 故答案为：( 62, 62) 【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题. 卷（共卷（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .请将答请将答 案写在答题纸上的相应位置案写在答题纸上的相应位置. .） 17.已知向量 3xkab 和yab，其中( 1,3)a ，(4,2)b ，kR （1）

26、当k为何值时，有x、y平行； （2）若向量x与y的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】 （1）3k ， （2） 11 2 k 且3k 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设xty，则有3()kabt ab，再结合( 1,3)a ，(4,2)b ，可求 出k的值； （2）根据题意，若向量x与y的夹角为钝角，则有0 x y，由数量积的计算公式可得 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 3(12)5(36)0 x ykk ，再结合向量不共线分析可得答案. 【详解】解： （1）因为x、y平行，所以设xty， 所以3()kabt ab，即()(3)kt atb 因为(

27、 1,3)a ，(4,2)b ，得a与b不共线， 所以30ktt ，得3k ， （2）因为向量x与y的夹角为钝角， 所以0 x y， 因为向量 3xkab 和yab，其中( 1,3)a ，(4,2)b 所以(12,36)xkk ，(3,5)y ， 所以 3(12)5(36)0kk ，解得 11 2 k ， 又因为向量x与y不共线，所以由（1）可知3k 所以 11 2 k 且3k 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量 夹角的关系，属于中档题. 18.在数列 n a， n b中， 11 1ab， 1 421 nnn aban ， * 1 421, nnn

28、 babnnN .等差数列 n c的前两项依次为 23 ,a b. （1）求 n c的通项公式； （2）求数列 nnn abc的前n项和 n S. 【答案】 （1）73 n cn， （2） (1413)313 2 n n n S 【解析】 【分析】 （1）由已知递推式可得 23 ,a b，即为 12 ,c c，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通 项公式； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （2）由 1 421 nnn aban ， 1 421 nnn babn ，.两式相加，结合等比数列的定义 可得 nn ab，从而可得数列 nnn abc的通项公式，

29、再由数列的错位相减法求和即可 【详解】 解： （1） 因为 11 1ab， 1 421 nnn aban ， * 1 421, nnn babnnN ， 可得 211 42 1 14aba ， 211 42 1 12bab ， 所以 322 42 2 1 11bab ， 所以 12 4,11cc，等差数列 n c的公差为 7 所以47(1)73 n cnn （2）因为 1 421 nnn aban ， 1 421 nnn babn ， 所以两式相加得， 11 3() nnnn abab ， 所以数列 nn ab是以 3 为公比，2 为首项的等比数列， 所以 1 2 3 nn n ab ， 所以

30、 11 )2 3(73)(1) 3(46 nn nnn cnnab ， 所以 01221 8 322 336 3(1420) 3(146) 3 n nn nnS ， 1231 8 322 336 3(1420) 3(14633) nn n nSn ， 两式相减得， 1231 8 14 314 314 314 32(146) 3 n nn nS 1231 8 14(3333)(146) 3 nn n 13 (1413)3nn 所以 (1413)313 2 n n n S 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考 查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中

31、档题 19.如图， 已知在东西走向上有甲、 乙两座小山， 一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点 处测得山顶A的仰角为30，该测量车在水平面上向北偏西60方向行驶100 3m后到达点 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为，且BQA，经计算，tan 2，若甲、乙山 高分别为100m、200m，求两山山顶,A B之间的距离. 【答案】100 5 【解析】 【分析】 先在Rt AMP中，利用已知条件求得PM，进而连接QM，在PQM中，60QPM， 求得PQ，可推断出PQM为等边三角形，进而求出QM，从而在Rt AMQ中利用勾股定 理求

32、得AQ，Rt BNQ中，利用tan2，200BN ，求得BQ，最后在BQA中，利用 余弦定理求得BA 【详解】解：在Rt AMP中，30 ,100APMAM， 所以100 3PM ， 连接QM，在PQM中，60QPM，100 3PQ ， 所以PQM为等边三角形， 所以100 3QM ， 在Rt AMQ中，由 222 AQAMQM，得200AQ ， 在Rt BNQ中，tan2，200BN ，得100 5BQ 在BQA中， 2222 2cos(100 5)BABQAQBQ AQ 所以100 5BA 【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题 20.已知ABC的

33、内角、 、A BC所对应的边分别为abc、 、，(sinsin)1RAB（其中R 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 为ABC的外接圆的半径）且ABC的面积 22 ()Scab. （1）求tanC的值； （2）求ABC的面积S的最大值. 【答案】 （1） 8 15 ， （2） 4 17 【解析】 【分析】 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得， （2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出 【详解】解： （1）因为 22 ()Scab， 所以 222 1 sin222cos 2 abCcababababC， 所以 1 sin2

34、(1 cos) 2 CC 2 sincos4sin 222 CCC ， 因为sin0 2 C ，所以cos4sin 22 CC ， 所以 1 tan 24 C ， 所以 2 2tan 8 2 tan 15 1tan 2 C C C （2）因为(sinsin)1RAB，所以由正弦定理得，2ab， 由 8 tan 15 C ，得 8 sin 17 C ， 所以 2 1444 sin 21717217 ab SabCab ，当且仅当1ab时，取等号， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 所以ABC的面积S的最大值为 4 17 【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦

35、定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的 性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21.如图，在ABC 中，已知 CA=1，CB=2，ACB=60 （1）求|AB|； （2）已知点 D 是 AB 上一点，满足AD uuu v =AB，点 E 是边 CB 上一点，满足BE=BC 当 = 1 2 时，求AECD； 是否存在非零实数 ，使得AECD？若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）3； （2） 1 4 2 3 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理求出AB的长即得|AB|； （2） 1 2 时，D E、分别是BCAB，的中点，表示出AE，CD，利用向量的数量积计 算即可；

36、 假设存在非零实数，使得AECD，利用 CB CA 、 分别表示出CD 和 AE， 求出 0AE CD 时的值即可 【详解】 （1） ABCB CA 且 22 =4=1=2 1 cos60 =1CBCACB CA ， 2 22 2= 3ABCBCACBCACBCB CACA 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - （2）=时， =， =， D、E 分别是 BC，AB 的中点， =+=+， =（+） ， =（+）（+） =+ =1 2+ 12cos120+21cos60+2 2 = ； 假设存在非零实数 ，使得， 由=，得=（） ， =+=+（）=+（1）； 又=，

37、=+=（）+（）=（1）； =（1）+（1） 2 （1） =4（1）+（1） 2（1） =3 2+2=0， 解得 = 2 3 或 =0（不合题意，舍去） ； 即存在非零实数 = 2 3 ，使得 【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问 题，是综合性题目 22.已知数列 n a满足 1 1 3 3 nnn aaa ， * nN， 1 1a . （1）若 2 3a ， 3 ax， 4 6a ，求x的取值范围； （2）若 n a是公比为q的等比数列， 12nn Saaa， 1 1 3 3 nn SSS ， * nN，求 q的取值范围； （3）若 12 , k

38、a aa成等差数列，且 12 2020 k aaa，求正整数k的最大值. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 【答案】 （1）92x， （2） 1 2 3 q， （3）4039 【解析】 【分析】 （1）由题意得 232 1 3 3 aaa，又 343 1 3 3 aaa，将已知代入可求出x的范围； （2）先求出通项 1n n aq ，由 121 1 3 3 aaa求出 1 3 3 q，对q分类讨论求出 n S，分别代 入不等式 1 1 3 3 nnn SSS ，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围； （3）由题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得

39、出k取最大值时 12 , k a aa的公差 【详解】解： （1）由题意得， 232 1 3 3 aaa，所以19x， 又因为 343 1 3 3 aaa，所以 1 63 3 xx，得218x， 综上所述，92x （2）由已知得， 1n n aq ， 121 1 3 3 aaa 所以 1 3 3 q， 当1q 时， n Sn， 1 1 3 3 nnn SSS ，即 1 13 3 nnn ，成立， 当13q时， 1 1 n n q S q ， 1 1 3 3 nnn SSS ，即 1 1111 3 3111 nnn qqq qqq ， 1 11 3 31 n n q q ，得 1 1 320 3

40、20 nn nn qq qq ， 因为1q ，故 1 32(31)2220 nnnn qqqqq ， 对于不等式 1 320 nn qq ，令1n ，得 2 320qq， 解得12q， 又当12q，30q ， 所以 1 32(3)2(3)2(1)(2)0 nnn qqq qq qqq 成立 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 所以12q， 当 1 1 3 q时， 1 1 n n q S q ， 1 1 3 3 nnn SSS ， 即 1 1 111 3 3 111 nnn qqq qqq ， 所以 1 1 320 320 nn nn qq qq ， 因为310,30qq ， 所以 1 32(31)2220 nnnn qqqqq ， 1 32(3)2(3)2(1)(2)0 nnn qqq qq qqq ， 所以当 1 1 3 q时，不等式恒成立， 综上所述，q的取值范围为 1 2 3 q （3）设 12 , k a aa的公差为d，由 1 1 3 3 nnn aaa ，且 1 1a ， 得 11 ( 1) 131 (1) ,1,2,3,1 3 ndndndnk ， 即 (21)2 ,1,2,1 (23)2 nd nk nd ， 当1n 时， 2 2 3 d， 当2,1nk时，由 22 2123nn