河北省唐山市路北区第十一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 路北区第十一中学路北区第十一中学 20192019- -20202020 学年高一下学期期末考试学年高一下学期期末考试 数学学科试卷数学学科试卷 卷卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 题，每题题，每题 5 分）分） 1. 已知ABC 中，c6，a4，B120 ，则 b 等于( ) A. 76 B. 2 19 C. 27 D. 2 7 【答案】B 【解析】 由余弦定理，得 222 2cos=36+16+24=76,2 19bacacBb ，故选 B. 2. 已知2,1A ，6, 3B， 0,5C，则ABC的形状是（ ） A.

2、直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的坐标表示可得AB，AC，BC，再利用向量数量积的坐标表示即可判断. 【详解】根据已知，有(8, 4)AB ，(2,4)AC，( 6,8)BC ， 因为8 2( 4) 40AB AC ， 所以AB AC ，即90BAC 故ABC为直角三角形 故选：A 【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量数量积的坐标表示，属于基础题. 3. 下列不等式中，正确的是 A. 若 ,ab cd ，则acbd B. 若ab，则acbc 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - C. 若 ,

3、ab cd ，则acbd D. 若,ab cd，则 ab cd 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的性质和带特殊值逐一排除 【详解】若ab，则acbc ,故 B 错， 设a3,b1,c1,d2 ,则acbd， ab cd 所以 C、D 错，故选 A 【点睛】本题考查不等式的性质，注意正负号的应用 4. 设等差数列 n a的前n项之和为, n S已知 10 100S，则 47 aa（ ） A. 12 B. 20 C. 40 D. 100 【答案】B 【解析】 分析：由等差数列的通项公式可得 47 aa 1 29ad，由 10 100S可得 1 2920ad，从 而可得结果. 详解：由等差

4、数列的前n项和的公式得： 101 10 9 10100 2 Sad ， 即 1 2920ad， 从而 47111 362920aaadadad，故选 B. 点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基 础题. 5. 记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 23 8 9 a a ， 5 16 3 a ，则（ ） A. 2 3 n n a B. 1 3 n n a C. 31 2 n n S D. 21 3 n n S 【答案】D 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 分析】 设公比为q，则有 23 231 4 51 8

5、 9 16 3 a aa q aa q ，进而可求出 1, a q，结合等比数列的性质，可求出 n a和 n S. 【详解】设公比为q，则有 23 231 4 51 8 9 16 3 a aa q aa q ，解得 1 1 3 2 a q ， 则 1 2 3 n n a ， 1 (1 2 ) 21 3 1 23 n n n S 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，考查学 生的计算求解能力，属于基础题. 6. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测 得点A的仰角为 60，再由点C沿北偏东 15方向走10m

6、到位置D，测得45BDC， 则塔AB的高是（单位：m） （ ） A. 10 2 B. 10 6 C. 10 3 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 设塔高为 x 米，根据题意可知在 ABC 中，ABC=90 ，ACB=60 ，AB=x，从而有 BC= 3 3 x，在 BCD 中，CD=10，BCD=105 ，BDC=45 ，CBD=30 ，由正弦定理可 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 求 BC，从而可求 x 即塔高 【详解】设塔高为 x 米，根据题意可知在 ABC中，ABC=90 ，ACB=60 ，AB=x， 从而有 BC= 3 3 x，AC= 2 3

7、 3 x， 在 BCD 中，CD=10，BCD=60 +30 +15 =105 ，BDC=45 ，CBD=30 由正弦定理可得， sinsin BCCD BDCCBD 可得，BC=10sin45 3 10 2 sin303 x o o . 则 x=10 6； 所以塔 AB的高是 10 6米； 故选 B 【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转 化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进 而选择合适的公式进行求解 7. 若x、y满足约束条件 230 0 1 xy xy y ，则3zxy的最大值为（ ） A. 6 B.

8、2 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线3zxy，找出使得该直线在y轴上截距最大时对 应的最优解，代入目标函数计算即可得解. 【详解】作出不等式组 230 0 1 xy xy y 所表示的可行域如下图所示： 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 联立 1 230 y xy ，解得1xy，即点1,1A， 平移直线3zxy，当该直线经过可行域的顶点A时， 该直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即 max 3 1 14z . 故选：C. 【点睛】本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 8

9、. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和 数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以 歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排 来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子 年龄为（ ） A. 8 岁 B. 11 岁 C. 20 岁 D. 35 岁 【答案】B 【解析】 【分析】 九个儿子的年龄成等差数列，公差为 3 【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为 3记最小的儿子年龄为 1 a，则 91 9 8 93207 2 Sa ，解得

10、1 11a 故选 B 【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解 9. 在区间0 4，上随机取两个实数 , x y,使得 2xy 8的概率为（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A. 9 16 B. 1 4 C. 3 16 D. 3 4 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，利用几何概型概率计算公式求得概率. 【详解】画出图像如下图所示，整个区域是正方形区域，符合2xy 8的是阴影部分区域. 故所求的概率为 24 4 3 2 4 44 .故选 D. 【点睛】本小题主要考查几何概型计算，考查线性规划的知识，考查二元一次不

11、等式表示 的区域判断，属于基础题. 10. 某单位为了了解用电量 y（度）与气温 x（）之间的关系，随机统计了某 4天的用电量 与当天气温，并制作了对照表： 气温 x（） 18 13 10 1 用电量 y（度） 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程ybxa中b2， 预测当气温为4时， 用电量的度数约为 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - （ ） A. 58 B. 66 C. 68 D. 70 【答案】C 【解析】 试题分析：由表中数据可知：样本中心点为，在线性回归方程ybxa中b2 所以a=60 即回归方程为y-2x60 所以由此预测当气温为4时，用电

12、量的度数约为 68. 考点：回归直线及样本中心点. 11. 记 n S为等比数列 n a的前n项和，若数列 1 2 n Sa也为等比数列，则 4 3 a a （ ） A. 2 B. 1 C. 3 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列 n a的公比为q，当1q 时， 1111 222 n Sanaana， 则 1 2 n Sa不为等比数列，舍去， 当1q 时， 1 11 111 1 222 111 n n n aq aa Saaqa qqq ， 为了符合题意，需 1 1 20 1 a a q

13、 ，得 1 2 q ，故 4 3 1 2 a q a . 故选 D 【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属 于中档题. 12. 已知样本数据由小到大依次为 2，3，3，7，a，b，12，137，183，20，且样本的中 位数为 10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为（ ） A. 10，11 B. 10.5，9.5 C. 10.4，10.6 D. 10.5，10.5 【答案】D 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【分析】 利用中位数可得21ba，要使该样本的方差最小，只需 22 1010ab最小，将

14、 21ba代入，配方即可求解. 【详解】由于样本共有 10个值，且中间两个数为a，b， 依题意，得10.5 2 ab ，即21ba 因为平均数为23371213.718.320101()0ab， 所以要使该样本的方差最小，只需 22 1010ab最小 又 2222 2 1010102110242221abaaaa， 所以当 42 10.5 22 a 时， 22 1010ab最小，此时10.5b 故选：D 【点睛】本题考查了样本数据、方差，需熟记方差的计算公式，考查了基本知识的掌握情况， 属于基础题. 卷卷 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 5 分）分） 13. 要考察某种

15、品牌的 500 颗种子的发芽率，抽取 60 粒进行实验，利用随机数表抽取种子时， 先将 500颗种子按 001，002，500进行编号，如果从随机数表第 7行第 8列的数 3开始向 右读， 请你依次写出最先检测的 5颗种子的编号： _，_，_，_， _ （下面摘取了随机数表第 7 行至第 9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 3

16、3 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】 (1). 331 (2). 455 (3). 068 (4). 047 (5). 447 【解析】 【分析】 从随机数表第 7 行第 8 列的数 3 开始向右读，第一个小 500的数字为 331，第二个为 572不合 题意，第三个为 455，以此类推，把符合条件的 5个数取出即可 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【详解】解：从随机数表第 7行第 8列的数 3开始向右读，第一个小 500 的数字为 331，

17、第二 个为 572不合题意，第三个为 455，第四个 068，第五个 877，不合题意，第六个 047，第七个 447， 所以取出的 5颗种子的编号依次为 331，455，068，047，447， 故答案为：331，455，068，047，447， 【点睛】此题考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题 14. 在ABC中，3,1,30cbB ，则ABC的面积为_. 【答案】 3 2 或 3 4 【解析】 【分析】 根据正弦定理可求得sinC.分类讨论，即可确定角A，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理可知 sinsin cb CB ， 代入可得 31 sin sin30 C ，解得

18、 3 sin 2 C ， 所以60C 或120C ， 当60C 时，90A ，由三角形面积公式可得 113 sin13 1 222 SbcA ， 当120C 时，30A ，由三角形面积公式可得 1113 sin13 2224 SbcA ， 所以ABC的面积为 3 2 或 3 4 ， 故答案为： 3 2 或 3 4 . 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的简单应用，三角形面积公式用法，属于基础题. 15. 如图，在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AHBC 于点 H，M 为 AH 的中点若AM ABBC，则 _ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【答案】

19、2 3 【解析】 【分析】 解直角三角形求得,BH BC的长， 根据 1 2 AMAH， 用,A BB C表示AH， 由此得到AM的 表达式，从而求出, 的值，进而求得的值. 【详解】.因为 AB2，ABC60 ，AHBC，所以 BH1.因为 BC3，所以 BH BC 因为点 M为 AH 的中点，所以 ()，又 ，所以 ， ，所以 . 【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查 了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和 来表示，如本题中的AM这个向量，就转化为了,AB BC这两个向量的线性和的形式，根据 平面向量的

20、基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得, 的值. 16. 若lg lg0 xy ，则49xy的最小值为_. 【答案】12 【解析】 【分析】 由lglg0 xy，得10,0 xyxy，利用基本不等式即可得解. 【详解】因为lglg0 xy，所以10,0 xyxy，所以492 4912xyxy. 等号成立的条件为49xy，即 32 , 23 xy时取得最小值. 故答案为：12 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意 考虑等号成立的条件. 三、解答题（共三、解答题（共 6 题）题） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 17.

21、 城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司 在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所 示（单位：分钟）： 组别 候车时间 人数 一 0,5) 2 二 5,10) 6 三 10,15) 4 四 15,20) 2 五 20,25 1 （1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组 的概率 【答案】 （1）32； （2） 8 15 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟频数和为 8，可

22、估计这 60 名 乘客中候车时间少于 10分钟的人数； （2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到 的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 试题解析： （1）候车时间少于 10分钟的概率为 268 1515 ， 所以候车时间少于 10分钟的人数为 8 6032 15 人 （2）将第三组乘客编号为 1234 ,a a a a，第四组乘客编号为 12 ,b b从 6 人中任选两人包含以 下基本事件： 1213141112 ( ,),( ,),( ,),( ,),( ,)a aa aa aa ba

23、b， 23242122 (,),(,),(,),(,)a aa aa ba b， 343132 (,),(,),(,)a aa ba b， 4142 (,),(,)a ba b， 12 ()b b,， 10分 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 8 15 考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式 18. 已知向量a，b满足5a ，1, 3b ，且 2 abb （1）求向量a的坐标； （2）求向量a与b的夹角 【答案】 （1）(1,2)a 或 ( 2,1)a ； （2） 3 4 . 【解析】 【分析】 （1）设,ax y，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列

24、方程组，解方程组 即可求解. （2）设向量a与b的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解： （1）设,ax y， 因为|5a ，则 22 5xy， 又因为1, 3b ，且(2)abb， 22( , )(1, 3)(21,23)abx yxy， 所以(21,23) (1, 3)21(23)( 3)0 xyxy ， 即350 xy， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 由解得 1 2 x y ，或 2 1 x y ， 所以(1,2)a 或 ( 2,1)a （2）设向量a与b的夹角为， 所以 22 1 62 cos 2| 121 ( 3) a b a

25、b 或 22 232 cos 2| 121 ( 3) a b a b ， 因为0，所以向量a与b的夹角 3 4 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量 的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19. 已知非零数列 n a满足 * 1 3 nn aanN ，且 12 ,a a的等差中项为 6. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 3 2log nn ba，求 1 22 33 41 1111 . nn bbb bb bb b 的值. 【答案】 （1）=3n n a （2） 4(1) n n 【解析】 分析】 （1） 由 * 1 3 nn aa

26、nN 知数列 n a为以 3为公比的等比数列， 再利用等差中项求出首项， 即可 （2）将=3n n a代入，计算出 1 11 11 =() 41 nn b bnn ，再求和即可得出答案 【详解】 （1）非零数列 n a满足 * 1 3 nn aanN ，数列 n a为以 3 为公比的等比数列； 当 n=1时 21 3aa 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 因为 12 ,a a 的等差中项为 6，所以 12 +=12aa 联立得 1 3a ，3q 所以=3n n a （2）将=3n n a代入 3 2log nn ba得到2 n bn 所以 1 111 11 =

27、() 4 (1)41 nn b bn nnn 所以 1 22 33 41 111111111111 .=(1.)(1) 42231414(1) nn n bbb bb bb bnnnn 【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前 n 项和属于基础题 20. ABC的内角、 、A BC的对边分别为a bc、 、,已知ABC的面积为 2 3sin a A (1)求sinsinBC; (2)若6coscos1,3,BCa求ABC的周长. 【答案】(1) 2 sinsin 3 BC (2) 3 33 . 【解析】 试题分析：（1） 由三角形面积公式建立等式 2 1 sin 23sin a acB A

28、 ， 再利用正弦定理将边化成角， 从 而 得 出sinsinBC的 值 ；（ 2 ） 由 1 c o sc o s6BC 和 2 sinsin 3 BC 计 算 出 1 c o s () 2 BC ，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc的值，从而求出 ABC的周长为333. 试题解析： （1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sin sin 23sin A CB A . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 故 2 sin sin 3 BC . （2）由题设及

29、（1）得 1 cos cossin sin, 2 BCBC ，即 1 cos 2 BC . 所以 2 3 BC ，故 3 A . 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc . 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 39bcbc，得 33bc . 故ABC的周长为333. 点睛:在处理解三角形问题时， 要注意抓住题目所给的条件， 当题设中给定三角形的面积， 可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转 化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求 面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再

30、有另外一个条件， 求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式， 如sin()yAxb，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求 具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 21. 某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐的教师和学生根据这 50 名师 生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 40,50，50,60，90,100 （1）求频率分布直方图中a的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在40,60，60,80，80,100的师生中抽取 10人，则 评分在60,80内的师生应抽取多少人？ 高

31、考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75 分，否则将进行内部整顿用每组数 据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂 是否需要进行内部整顿 【答案】 （1）0.006a； （2）5人； （3）76.2，食堂不需要内部整顿 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于1即可求解. （2）由频率分布直方图求出在这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解. （3）平均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解. 【详解】解： （1）由0.0040.

32、0220.028 0.0220.018101a，解得0.006a （2）由频率分布直方图可知， 评分在40,60，60,80，80,100内的师生人数之比为 0.0040:.006 0.0220.0280.0220.0181:5:4， 所以评分在60,80内的师生应抽取 5 105 154 （人） （3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为 45 0.004 1055 0.006 1065x 0.022 1075 0.028 1085 0.022 1095 0.018 1076.2 因为76.275，所以食堂不需要内部整顿 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、根据频率分布直方图求

33、平均数、分层抽样，考 查了基本运算能力，属于基础题. 22. 在ABC中，abc分别为内角ABC的对边，且a c ，已知 2BA BC uur uuu r ， 1 cos 3 B ，3b，求： （1）a和c的值； （2）cos()BC值. 【答案】 （1）3a ，2c ； （2） 23 27 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （1）运用向量的数量积的定义，结合余弦定理，解a，c的方程，即可求得a，c； （2）由同角三角函数的基本关系求出sinB，再由正弦定理求出sinC，再由两角差的余弦公 式，即可得到所求值 【详解】 （1）在ABC中，A

34、BC， 2BA BC uur uuu r ， 1 cos 3 B ，cos2acB，即6ac ，3b， 由余弦定理得： 222 1 cos 23 acb B ac ， 即 22 94ac， 22 13ac，解得3a ，2c ； （2）在ABC中， 22 12 2 sin1cos1( ) 33 BB， 由正弦定理 sinsin bc BC 得： 22 24 2 sinsin 339 c CB b ， abc，C为锐角， 2 7 cos1 sin 9 CC， 则 172 24 223 cos()coscossinsin 393927 BCBCBC . 【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理和两角差的余弦公式的运用，考 查运算能力，属于中档题