2019-2020学年上海市金山区华东师大三附中高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 14 页 2019-2020 学年上海市金山区华东师大三附中高一下学期期学年上海市金山区华东师大三附中高一下学期期 末数学试题末数学试题 一、单选题一、单选题 1方程方程3sincos0 xx的解集是（的解集是（ ） ） A | ,x xkkZ B |2, 6 x xkkZ C |, 6 x xkkZ D |, 6 x xkkZ 【答案】【答案】C 【解析】【解析】把方程化为 3 tan 3 x ，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答 案. 【详解】 由题意，方程3sincos0 xx，可化为 3 tan 3 x ， 解得, 6 xkkZ ，即方程的解集为 |, 6 x

2、 xkkZ . 故答案为：C. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟记正切函 数的性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2“ 2 acb”是是“a、b、c成等比数列成等比数列”的（的（ ）条件）条件 A充分不必要充分不必要 B必要不充分必要不充分 C充要充要 D既不充分也不既不充分也不 必要必要 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得 2 bac；对于充分性，可 以举一个反例，满足 2 bac，但 a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项. 【详解】 若 a、b、c 成等比数

3、列，根据等比数列的性质可得： 2 bac， 若 2 acb，当0abc时，a、b、c 不成等比数列， 第 2 页 共 14 页 则“ 2 bac ”是“a、b、c 成等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，考查等比中项的性质，属于基础题. 3若函数若函数 sin0,0,f xAxA局部图象如图所示，则函数局部图象如图所示，则函数 yf x的解析式为（的解析式为（ ） A 3 sin 2 26 yx B 3 sin 2 26 yx C 3 sin 2 23 yx D 3 sin 2 23 yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由sinyAx的部

4、分图象可求得 A， T， 从而可得， 再由0 6 f ， 结合的范围可求得，从而可得答案. 【详解】 由图可知， 3 2 A ， 12 2362 T ，T， 2 2 T ； 3 sin 20 626 f ， 3 k ，kZ， 当0k 时，可得： 3 ，此时，可得： 3 sin 2 23 fxx . 故选：D. 【点睛】 本题考查由三角函数的部分图象求函数解析式，属于基础题. 第 3 页 共 14 页 4下列四个命题中正确的是（下列四个命题中正确的是（ ） ） A若若 22 lim n n aA ，则，则limn n aA B若若0 n a ，lim n n aA ，则，则0A C若若limn

5、n aA ，则，则 22 lim n n aA D 若若lim( )0 nn n ab ， 则， 则lim lim nn nn ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】A选项：可能limn n a 不存在； B选项： 1 = n a n ，极限为 0； C选项：根据极限运算法则正确； D选项：若 1 ( 2) ,( 2) nn nn ab n ，则这两个数列极限不存在. 【详解】 对于 A选项：( 1)n n a ，若 2 lim1 n n a ， n a的极限不存在，所以该选项不正确； 对于 B选项： 1 0 n a n ，lim 0 n n a ，不满足题意，该选项不正确； 对于 C选项

6、：根据极限的运算法则，若limn n aA ，则 22 lim n n aA 正确； 对于 D选项：若 1 ( 2) ,( 2) nn nn ab n ，满足lim( )0 nn n ab ，但, nn a b数列极限 不存在. 故选：C 【点睛】 此题考查数列极限及运算法则的辨析，需要熟练掌握数列极限的运算法则，和常见错误 的甄别. 二、填空题二、填空题 5已知已知P 4, 3是角是角终边上一点，则终边上一点，则sin_ 【答案】【答案】 3 5 【解析】【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sin的值 【详解】 解：P 4, 3 是角终边上一点，则x4，y3 ，rOP1695，

7、y33 sin r55 ， 故答案为 3 5 第 4 页 共 14 页 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 6函数函数 arccos(2)yx的定义域是的定义域是_ 【答案】【答案】 3, 1 【解析】【解析】根据反余弦型函数的定义域要求直接求解即可 【详解】 函数arccos(2)yx的定义域是：12 131xx . 故答案为： 3, 1 【点睛】 本题考查了反余弦型函数的定义域,考查了数学运算能力. 7设设tan2，则，则tan 4 _. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】直接利用两角和的正切公式求出tan 4 的值. 【详解】 tan12 1 tan3 41tan

8、12 . 故答案为：3. 【点睛】 本题考查两角和的正切公式，属于基础题. 8已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为 6 , ,面积为面积为 3 , ,则扇形的半径是则扇形的半径是_ 【答案】【答案】2 【解析】【解析】根据扇形的面积公式可以直接求解. 【详解】 设扇形的圆心角为,半径为r,扇形的面积公式为： 222 11 42 232 6 Srrrr . 故答案为：2 【点睛】 本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力. 第 5 页 共 14 页 9设无穷等比数列设无穷等比数列 n a的各项和为的各项和为 1 2 ，则首项，则首项 1 a的取值范围是的取值范围是_. . 【答案】【答

9、案】 11 0,1 22 【解析】【解析】由题设可得 1 1 12 a q 且11q 且0q ，由此能够推导出 1 a的取值范围. 【详解】 由 1(1 )1 limlim 12 n n nn aq S q ，可得 1 1 12 a q 且11q 且0q 1 1 (1) 2 aq 11q 且0q 1 01 a且 1 1 2 a 故答案为： 11 0,1 22 【点睛】 本题考查无穷等比数列的极限存在的条件的应用，考查了数学运算能力和逻辑推理能 力，属于一般题目. 10函数函数 cos 2 4 yx 的单调递减区间是的单调递减区间是_. 【答案】【答案】 3 , 88 kkkZ 【解析】【解析】

10、 试题分析：222 4 kxk ， 解得 3 88 kxk ，()kZ. 【考点】三角函数的单调单调区间 11已知已知tan2x , ,则则 22 sin cos 3cossin1 xx xx 的值为的值为_ 【答案】【答案】 1 6 【解析】【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以 2 cos x即可 求出分式的值. 【详解】 第 6 页 共 14 页 2 222222222 2 sin cos sin cossin costan1 cos . 4cos2sin3cossin13cossincossin42tan6 cos xx xxxxx x xxxxxxxxx

11、x 【点睛】 本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力. 12已知数列已知数列 n a的通项公式是的通项公式是246 n an，那么，那么 n S达到最小值时达到最小值时 n为为_. 【答案】【答案】22 或 23. 【解析】【解析】利用数列的单调性求得满足题意的 n 即可. 【详解】 246 n an，数列 n a是递增数列. 令 1 2460 21460 n n an an ，解得：2223n，22n或23n， 则可知 n S达到最小值时 n为 22或 23. 故答案为：22或 23. 【点睛】 本题考查等差数列前 n项和最值的求法，属于基础题. 13 等差数列等差数

12、列 n a与与 n b的前的前n项和分别为项和分别为 n S和和 n T， 且， 且 31 73 n n Sn Tn ， 则， 则 9 9 a b _ 【答案】【答案】 26 61 【解析】【解析】根据等差数列 n a与 n b的前n项和分别为 n S和 n T，有 21 21 n n n n S bT a ，即可求 解. 【详解】 等差数列 n a与 n b的前n项和分别为 n S和 n T， 则有： 1 2 21 1 21221 21 22 n nn n aana aS n n 同理： 21 21 nn nTb 所以 21 21 n n n n S bT a 第 7 页 共 14 页 91

13、7 917 3 17 15226 7 17312261 S T a b 【点睛】 此题考查等差数列的性质，前n项和 n S与通项公式 n a之间的关系，即通过 21 21 nn Sna ，求解两个等差数列特殊项的比值关系. 14ABC中，中， 222 sin Asin Bsin CsinBsinC，则，则 A 的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】0, 3 【解析】【解析】由正弦定理将 sin 2Asin2Bsin2Csin Bsin C 变为 222 bcbca，然 后用余弦定理推论可求 222 1 cos 22 bca A bc ， 进而根据余弦函数的图像性质可求得 角A的取值范围

14、【详解】 因为 sin 2Asin2Bsin2Csin Bsin C，所以 222 abcbc，即 222 bcbca 所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为A0 （， ），所以A0 3 （ ， 【点睛】 在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用条 件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin,sin 22 ab AB RR ，将角化为边 15分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在曼德尔布罗特在 20 世纪 世纪 70 年代创立的一年代创立的一 门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了

15、全新的思路，下图是按照门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照 一定的分形规律生长成一个数形图，则第一定的分形规律生长成一个数形图，则第 13 行的实心圆点的个数是行的实心圆点的个数是_ 【答案】【答案】144 【解析】【解析】观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点, 第 8 页 共 14 页 每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可. 【详解】 由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆 点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和. 即 1

16、2, 3 nnn aaan .故第 1到第 13行中实心圆点的个数分别为： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 故答案为：144 【点睛】 本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系, 属于中等题型. 16 已知等比数列已知等比数列 n a的公比为的公比为q， 它的前， 它的前n项积为项积为 n T， 且满足， 且满足 1 1a ， 20152016 1aa， 20152016 (1)(1)0aa，给出以下四个命题：，给出以下四个命题： 1q ； 20152017 1aa； 2015 T 为为 n T的最大值；的最大值； 使使1 n

17、 T 成立的最大的正整数成立的最大的正整数n为为 4031；则其中正确命题的序号为；则其中正确命题的序号为 _ 【答案】【答案】 【解析】【解析】利用等比数列的性质，可得 20152016 1,1aa，得出1q ，进而判断， 即可得到答案. 【详解】 中，由等比数列 n a的公比为q，且满足 1 1a ， 20152016 1aa， 20152016 (1)(1)0aa， 可得 20152016 1,1aa，所以 2016 2015 1 a q a ，且0q 所以是错误的； 中，由等比数列的性质，可得 2 201520172016 1aaa，所以是正确的； 中，由 20152016 1,1aa

18、，且 1 1a ，01q，所以前n项之积的最大值为 2015 T， 所以是正确的； 中， 2015 403112403114031140302015201720162016 () ()()1Ta aaa aa aaaaa， 所以正确. 综上可得，正确命题的序号为. 第 9 页 共 14 页 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理推算是 解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题三、解答题 17 在在ABC中，中，, , a b c分别为内角分别为内角, ,A B C所对的边， 且满足所对的边， 且满足a bc，2 s

19、inbaB. . （1 1）求）求A的大小；的大小； （2 2）若）若2,2 3ab，求，求ABC的面积的面积. . 【答案】【答案】(1) 6 A (2) 2 3S 【解析】【解析】试题分析： （1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内 角范围求A的大小； （2）先由余弦定理求4c ，再根据三角形面积公式求面积 试题解析：解： （1）2 sinbaB， 由正弦定理化简得：sin2sin sinBAB， sin0B， 1 sin 2 A ， abc， A为锐角，则 6 A . （2）2a，2 3b ， 3 cos 2 A ， 由余弦定理得： 222 2cosabcbcA，即

20、2 3 4122 2 3 2 cc ， 整理得： 2 680cc ， 计算得出：2c （舍去）或4c ， 则 111 sin2 342 3 222 SbcA . 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条 件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方 向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 第 10 页 共 14 页 18已知数列已知数列 n a中，中， 1 3a ， 1 21 nn aa ，设，设1 n

21、n ba . （1）求证：数列）求证：数列 n b是等比数列；是等比数列； （2）设数列）设数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S，求满足，求满足2019 n S 的的 n的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）10n. 【解析【解析】 （1）将数列的递推公式变形，可得 1 121 nn aa ，即可得到结论； （2）先求数列1 n a 的通项，再求数列 n a的通项公式；利用分组求和，即可求数 列 n a的前 n项和. 【详解】 （1）证明： * 1 21 nn aanN ， 1 121 nn aa ， 1 3a 1 n a是以 1 12a 为首项，2 为公比的

22、等比数列； 数列 n b是等比数列； （2）解：由（1）知，12n n a ，21 n n a； 可得： 1 2(1 2 ) 222019 1 2 n n n Snn ，解得：9n， 满足2019 n S 的 n的最小值：10n. 【点睛】 本题考查等比数列的证明、分组求和法和等比数列求和，考查逻辑推理能力、运算求解 能力. 19已知关于已知关于x的方程的方程 2 sincos0 xxm， 0,2 )x ； （1）当）当1m时，解此方程；时，解此方程； （2）试确定）试确定m的取值范围，使此方程有解；的取值范围，使此方程有解； 【答案】【答案】 （1）x ； （2） 5 ,1 4 m 【解析】

23、【解析】 （1）当1m时，将 2 sincos0 xxm变形为 2 1 coscos10 xx ， 解出cosx的值，再求出0,2 )x的解； （2）关于x的方程 2 sincos0 xxm， 0,2 )x 有解，即0,2 )x， 2 coscos1mxx有解，求出 2 coscos1,0,2 )yxxx的值域即可. 第 11 页 共 14 页 【详解】 （1）当1m时，将 2 sincos10 xx 即 2 1 coscos10 xx ， 2 coscos20 xx，解得：cos1x或cos2x（舍去） ， 0,2 )x 所以x； （2）关于x的方程 2 sincos0 xxm， 0,2 )

24、x 有解， 即0,2 )x， 2 coscos1mxx有解， 考虑 2 coscos1,0,2 )yxxx的值域， 令cos , 1,1tx t ， 22 15 1(), 1,1 24 ytttt 所以其值域为 5 ,1 4 . 即 2 coscos1mxx， 0,2 )x 有解，则 5 ,1 4 m 使关于x的方程 2 sincos0 xxm， 0,2 )x 有解 所以 5 ,1 4 m 【点睛】 此题考查与三角函数有关的复合函数的值域问题，解方程的根的问题，合理使用换元法 准确进行换元有利于解题，其中换元法注意换元的取值范围. 20如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边如图，一个半圆

25、和长方形组成的铁皮，长方形的边 AD为半圆的直径， 为半圆的直径，O为半圆的为半圆的 圆心，圆心，1AB ，2BC ， 现要将此铁皮剪出一个等腰三角形， 现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN， 其底边， 其底边MNBC， 点点 P在边在边 AB上，设上，设MOD； （1）若）若30，求三角形铁皮，求三角形铁皮 PMN的面积；的面积； （2）求剪下的三角形铁皮）求剪下的三角形铁皮 PMN面积的最大值面积的最大值. 【答案】【答案】 （1） 63 3 8 ； （2） 32 2 4 . 【解析】【解析】 （1）利用锐角三角函数求出MN和BN的长度，然后以MN为底边、以BN为 高，利用三角形面积公式

26、求出三角形PMN的面积； 第 12 页 共 14 页 （2）以锐角为自变量将MN和BN的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形 PMN的面积的表达式 1 sincossincos1 2 PMN S，利用sin cos与 sincos之间的关系 2 sincos12sincos ，令sincost将三 角形PMN的面积的表达式表示为以t为自变量的二次函数， 利用二次函数的单调性求出 三角形PMN的面积的最大值，但是要注意自变量t的取值范围作为新函数的定义域. 【详解】 （1）由题意知 111 21 222 OMADBC， 3 sinsin1 sin301 2 MNOMMODCDOMMODAB ，

27、 323 cos1 1 cos301 22 BNOAOMMOD ， 1132363 3 22228 PMN SMN BN ， 即三角形铁皮PMN的面积为 63 3 8 ； （2）可知0，sinsin1MNOMCD， coscos1BNOMOA， 111 sin1cos1sincossincos1 222 PMN SMN BN， 令sincos2sin 4 t ，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，故 可只分析0, 2 的情况， 由于0 2 ，所以 3 444 ， 则有 2 sin1 24 ，所以1 2t ， 且 2 2 sincos12sincost ，所以 2 1 sincos 2 t ，

28、 故 2 2 2 1111 1211 2244 PMN t Stttt ， 而函数 21 1 4 yt在区间1,2 上单调递增， 第 13 页 共 14 页 故当 2t 时，y取最大值，即 2 max 132 2 21 44 y ， 即剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值为 32 2 4 . 【点睛】 本题考查三角形的面积，考查三角函数的最值，考查二次函数的最值，属于较难题. 21已知数列已知数列 n a的前的前 n项和项和 2* 92 n SnnnN . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）设）设 123nn Raaaa，求，求 n R； （3）设）设 * 1 12

29、n n bnN na ， 123nn Tbbbb，是否存在最小的自然数，是否存在最小的自然数 0 n，使得不等式，使得不等式 0 32 n n T 对一切正整数对一切正整数 n总成立？如果存在，求出总成立？如果存在，求出 0 n；如果不存在，；如果不存在， 说明理由说明理由. 【答案】【答案】 （1） 10,1 102 ,2 n n a n n ； （2） 2 942nn； （3）存在 0 24n ，理由见解 析. 【解析】【解析】 （1）利用1n 时， 11 aS，2n时， 1nnn aSS 可求解； （2）可知当5n时，0 n a ；当5n时，0 n a ，则 5 2 nn RSS . （

30、3）利用裂项相消法求出 n T，满足 0 lim 32 n n n T 即可. 【详解】 （1）1n 时， 11 10aS， 2n时， 2 2 1 921912102 nnn aSSnnnnn ， 10,1 102 ,2 n n a n n ； （2）由 n a的通项公式可知，当5n时，0 n a ；当5n时，0 n a ， 123nn Raaaa 1234567n aaaaaaaa 1234567n aaaaaaaa 第 14 页 共 14 页 555 2 nn SSSSS 222 92259 52942nnnn ； （3）当1n 时， 1 1 2 b ， 11 1 2 Tb， 当2n时， 11 11 2121 n b n nnn ， 11 11111131 22 23341422 n T nnn ， n T随n的增大而单调递增， 要使不等式 0 32 n n T 对一切正整数 n 总成立， 则满足 0 lim 32 n n n T ， 3 lim 4 n n T ， 0 3 432 n ，即 0 24n ， 则存在最小的自然数 0 24n . 【点睛】 本题考查利用 n a和 n S关系求通项公式，考查含绝对值数列的前 n项和的求解，考查裂 项相消法求数列前 n 项和，属于中档题.