2019-2020学年湖北省荆门市高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 22 页 2019-2020 学年湖北省荆门市高一下学期期末数学试题学年湖北省荆门市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1设集合设集合 1,2,3,4,5U ，1,2,3A ，2,4B ，则，则 U AB （ ） A2 B2,3 C3 D1,3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直接根据集合的补集和交集运算，即可得答案； 【详解】 1,3,5 UB ， U AB 1,3， 故选：D. 【点睛】 本题考查集合的补集和交集运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2要完成下列要完成下列 2 项调查，应采用的抽样方法是（项调查，应采用的抽样方法是（ ） ） 从某社区从某社区

2、125 户高收入家庭，户高收入家庭，280 户中等收入家庭，户中等收入家庭，95 户低收入家庭中选出户低收入家庭中选出 100 户调户调 查社会购买力的某项指标；查社会购买力的某项指标； 从某中学高一年级的从某中学高一年级的 12 名体育特长生中选出名体育特长生中选出 3 人调查学习负担情况人调查学习负担情况. A用简单随机抽样法用简单随机抽样法 用分层抽样法用分层抽样法 B用分层抽样法用分层抽样法 用简单随机抽样法用简单随机抽样法 C、都用简单随机抽样法都用简单随机抽样法 D、都用分层抽样法都用分层抽样法 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据简单随机抽样、分层抽样的特点入手分析即可. 【

3、详解】 对于，某社区共500户家庭的收入有了明显的差异及层次，故选择分层抽样； 对于，个体没有明显差异且总数不多可用简单随机抽样. 故选：B. 【点睛】 本题考查简单随机抽样、分层抽样的选择，属于基础题，解答时，注意两种抽样方式的 特点. 3已知一个奇函数的定义域为已知一个奇函数的定义域为 1,2, , a b，则，则ab（ ） 第 2 页 共 22 页 A3 B3 C0 D1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用奇函数的定义域关于原点对称，即可得答案； 【详解】 奇函数的定义域关于原点对称， 1 2 03a ba b ， 故选：A. 【点睛】 本题考查奇函数的性质，属于基础题. 4如图，

4、在正方体如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，中，M，N分别是分别是 1 BC， 1 CD的中点，则下列 的中点，则下列 说法说法错误错误 的是（的是（ ） AMN与与 1 AC垂直 垂直 BMN与平面与平面 11 ACC A垂直垂直 CMN与平面与平面 1 C BD平行平行 DMN与平面与平面 1 ABD平行平行 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对于选项 A、B、D，利用线线垂直的判定定理及线面垂直的判定定理、线面 平行的判定定理证明即可，对于选项 C，由M 1 BC及 1 BC 平面 1 C BD，即可判断 C选项错误. 【详解】 对于选项 A，连接 1 BC， 11 B D

5、，由三角形中位线知识即可证得 11 /MN B D， 第 3 页 共 22 页 由选项 B 可得 11 BD 平面 11 ACC A，所以MN与 1 AC垂直 对于选项 B，由三角形中位线知识即可证得 11 /MN B D， 正方体中，易得 1111 B DAC及 1 AA 平面 1111 DCBA， 所以 111 AAB D，又 1111 B DAC 所以 11 BD 平面 11 ACC A，所以MN与平面 11 ACC A垂直 对于选项 C，因为M 1 BC， 1 BC 平面 1 C BD，所以MN与平面 1 C BD至少有一个 公共点M，MN与平面 1 C BD不可能平行. 对于选项 D

6、，由 B选项的证明可得 11 /MN B D，又 11 /BD B D， 所以/MN BD，又MN 平面 1 ABD 所以MN与平面 1 ABD平行 故选：C 【点睛】 本题主要考查了点、线、面关系的判断及线线垂直、线面垂直、线面平行的证明，还考 查了推理论证能力，属于中档题. 5华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式， 孪生素数猜想是希尔伯特在孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个问题之一，可以这样描述：存在无穷多 个素数个素数p

7、使得使得2p是素数，素数对是素数，素数对,2p p称为孪生素数称为孪生素数.从从 15 以内的素数中任取以内的素数中任取 两个，其中能构成孪生素数的概率为（两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A 1 15 B 1 5 C 1 3 D 1 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】15以内的素数共有 6个，从中选两个共包含 2 6 15nC个基本事件，利用列 举法求出 15以内的孪生素数包含 3个基本事件，由此能求出从 15 以内的素数中任取两 个，其中能构成字生素数的概率 【详解】 依题意，15 以内的素数共有 6个，从中选两个共包含 2 6 15nC个基本事件， 而孪生素数有(3,5)，(

8、5,7)，(11,13)，共 3对，包含 3 个基本事件， 所以从 15 以内的素数中任取两个， 第 4 页 共 22 页 其中能构成字生素数的概率为 31 155 p 故选：B 【点睛】 题考查概率的求法， 考查古典概型、 列举法等基础知识， 考查运算求解能力， 是基础题 6设设, l m是两条不同的直线，是两条不同的直线， , 是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为 是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为 （ ） 若若,lm则则/lm 若若, l 则则l 若若/ / ,/ / ,mml 则则/ml 若若,lm m则则/l A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】

9、利用线面垂直的性质定理可判断；利用面面垂直的性质定理可判断；利用 线面平行的性质定理可判断；根据线面垂直的性质定理可判断. 【详解】 对于，若,lm由线面垂直的性质定理可得/lm，故正确； 对于，若, l 由面面垂直的性质定理可得l，故正确； 对于，若/ / ,/ / ,mml 由线面平行的性质定理可得/ml，故正确； 对于，若,lm m则/l或l，故不正确. 故选：C 【点睛】 本题考查了线面之间的关系，考查了空间想象能力，属于基础题. 7已知已知 248 0,0,logloglog (43 )mnkmnmn，则，则k （ ） A-2 B2 C 1 2 D 1 2 【答案】【答案】B 【解析

10、】【解析】首先根据对数运算公式化简为同底数的对数，再化简为真数相等的等式，求 ,m n的值，以及k的值. 【详解】 由已知化简为 222 11 logloglog43 23 mnmn， 第 5 页 共 22 页 所以 22 22 2loglog 3loglog43 mn mmn ， 即 2 3 43 mn mmn ，整理为 32 43mmm， 因为0m，所以 2 340mm， 解得：4m或1m（舍） ， 当4m时，16n， 2 log 42k . 故选：B 【点睛】 本题考查对数的化简，重点考查计算能力，属于基础题型. 8已知函数已知函数 ( )sin()0,0, 2 f xAxA 的部分图象

11、如图所示，则的部分图象如图所示，则 1232021ffff（ ） A 2 B2 2+2 C 2+2 D 22 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由函数的图象可确定( )sin()0,0, 2 f xAxA 的解析式， 然后利用函数的周期性求解 1232021ffff的值. 【详解】 由( )sin()0,0, 2 f xAxA 的图象可知，2A，8T ，故 2 4T ， 第 6 页 共 22 页 又 00f且 2 ，则可得出0，故( )2sin 4 f xx . 又根据函数的对称性可知 13572ffff ， 262ff， 480ff 所以 12380ffff， 所以 1232021ffff

12、 2521238201720182021fffffff 20172018202112345ffffffff 2220222 . 故选：C. 【点睛】 本题考查根据三角函数的图象确定三角函数的解析式， 考查利用三角函数的周期性求函 数值问题，难度一般. 9如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 （1）BM/ /ED （2）CN与与 BE是异面直线是异面直线 （3）CN与与 BM成成60角角 （4）DMBN （5）BN平面平面 DEM 以上五个命题中，正确命题的序号是（以上五个命题中，正确命题的序号是（ ） A(3)(4)(5) B(2)(4)(5)

13、C(1)(2)(3) D(2) (3) (4) 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用空间中的线线的位置关系、 线面垂直的判断定理、性质定理逐一判断即可. 【详解】 由已知中正方体的平面展开图， 第 7 页 共 22 页 可以得到正方体的直观图，如图： （1）BM与 ED垂直，错误； （2）CN与 BE是平行直线，故 CN与 BE是异面直线，错误； （3）CN与 BM 成60角， 连接AC，AN，/ /BMAN， 0 60ANC，正确； （4）DMBN ， 第 8 页 共 22 页 连接,DM BN，由 DMCN BCDMDM BCCNC 平面BCN， BN 平面BCN，DMBN ，正确；

14、（5）BN平面 DEM，由（4）可得 DMBN ， 由正方体的性质可得ME 平面BFND， 由线面垂直的性质定理可得MEBN， 又MEDMM，所以 BN平面 DEM，正确； 故选：A 【点睛】 本题考查了异面直线的定义、异面直线所成的角、线面垂直的判定定理、线面垂直的性 质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题. 10已知已知 cos25 3 2sin() 4 ，则，则 1 tan tan 等于（等于（ ） A 9 2 B 2 9 C 9 - 2 D 2 - 9 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先利用cos2sin 2 2 结合 cos25 3 2sin() 4 得出 10 cos 4

15、6 的值，然后利用二倍角公式得到 2 4 cos 22cos1 249 ， 即 4 s i n2 9 ， 又 12 tan tansin2 ， 将 4 sin2 9 代入便可解出答案. 【详解】 因为 sin 22sincos cos2244 2cos 4 2sin()2sin2sin 444 ， 第 9 页 共 22 页 所以 5 2cos 43 ，则 10 cos 46 ， 所以 2 4 cos 22cos1 249 ， 又 4 cos 2sin2 29 ，所以 4 sin2 9 ， 所以 1sincos1229 tan 4 tancossinsincossin22 9 . 故选：A. 【

16、点睛】 本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的 变形运用是关键. 11函数函数 2 2 1 ( ) 2 x f xe (e 为自然对数的底数为自然对数的底数)，则不等式，则不等式 ( )(21)f xfx 解集为解集为 （ ） A1, B -1， C 1 ,1, 3 D 1 ,1 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由已知函数解析式可得函数的奇偶性与单调性，然后把已知不等式转化为一元 二次不等式求解 【详解】 解：函数 2 2 1 ( ) 2 x f xe 是偶函数， 由复合函数的单调性可知，该函数在0， )上为减函数， 则 22 ( )(21)(|)

17、(|21|)| |21|(21)f xfxfxfxxxxx 剟， 由 22 (21)xx，得 2 3410 xx ，解得 1 1 3 x 不等式( )(21)f xfx 解集为 1 ,1 3 故选：D 【点睛】 本题考查函数的性质及其应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题 第 10 页 共 22 页 12 在三棱锥在三棱锥DABC中，中，ABC是边长为是边长为 2 的正三角形， 的正三角形，ADBD， 2 3DC ， DC与平面与平面ABC所成的角为所成的角为 60 ，则三棱锥，则三棱锥DABC的外接球的表面积为（的外接球的表面积为（ ） A 50 9 B 112 9 C20 D2

18、4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 取AB的中点E， 连接ED，CE， 根据题意， 得到DCE是DC与平面ABC 所成的角，即60DCE o，求出 10ADBD，设三棱锥DABC外接球的球心 为O，过点O作OFDE于F，OGCE于G，得到OGEF为矩形，在DAB中， 求出 3 sin 5 ADB，设 DAB外接圆半径为 r，三棱锥DABC的外接球半径为R， 根据 2222 ROBOGBG，再由球的表面积公式，即可求出结果. 【详解】 如图，取AB的中点E，连接ED，CE， 根据ACBC，ADBD，得CEAB，DEAB， 又DECEE，,DE CE 平面DCE，所以AB 平面DCE， 又A

19、B平面ABC，则平面DCE 平面ABC， 可得DCE是DC与平面ABC所成的角，即60DCE o. 又在DCE中，3EC ，2 3DC ，所以3DE ， DEEC故，所以10ADBD， 设三棱锥DABC外接球的球心为O，过点O作OFDE于F，OGCE于G， 根据球的性质，可得点F，G分别是DAB，ABC的外接圆的圆心， 则OGEF为矩形，在DAB中， 11 sin 22 DAB AD DBADBAB DE S，所以 3 sin 5 ADB， 设DAB外接圆半径为 r，三棱锥DABC的外接球半径为R， 则 10 2 sin3 AB r ADB ， 故 5 3 DFr ， 54 3 33 OGEF

20、 ， 因此 2 2 2222 42 328 339 ROBOGBG ， 则三棱锥DABC的外接球的表面积为 2 112 4 9 SR. 第 11 页 共 22 页 故选：B 【点睛】 本题主要考查求三棱锥外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征 即可，属于常考题型. 二、填空题二、填空题 13已知已知(1,2),(1, 3),ab则则b在在a方向上的投影为方向上的投影为_. 【答案】【答案】5 【解析】【解析】根据向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义即可求解. 【详解】 由(1,2),(1, 3),ab 则b在a方向上的投影 22 1 123 cos ,5 12 a b

21、 ba b a . 故答案为：5 【点睛】 本题考查了向量数量积的坐标表示、向量数量积的几何意义，属于基础题. 14一支医疗队有男医一支医疗队有男医生生 45 人，女医生人，女医生m人，用分层抽样抽出一个容量为人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本， 的样本， 在这个样本中随机取一人担任队长，每个个体被抽到的概率为在这个样本中随机取一人担任队长，每个个体被抽到的概率为 1 25 ，且样本中的男医生，且样本中的男医生 比女医生多比女医生多 5 人，则人，则m_. 第 12 页 共 22 页 【答案】【答案】30 【解析】【解析】由在样本中每个个体被抽到的概率为 1 25 可得样本容量为 25，再样

22、本中的男医 生比女医生多 5 人，列式即可求得男女医生数，再根据分层抽样方法即可得解. 【详解】 由在样本中每个个体被抽到的概率为 1 25 可得：样本容量为 25， 设男、女医生分别有 x、y人， 则 25 5 xy xy ，解得： 15 10 x y ， 所以 10 30 15 45 m . 故答案为：30. 【点睛】 本题考查了分层抽样，考查了通过概率求总体数，有简单的计算，属于基础题. 15如图，如图，在在ABC 中，中，E为边为边 AC上一点，且上一点，且3ACAE ，P为为 BE上一点，且满足上一点，且满足 (0,0)APmABnAC mn，则，则 21 mn 的最小值为的最小值为

23、_ 【答案】【答案】52 6 【解析】【解析】利用向量共线的推论可得31mn，再由 2121 3mn mnmn ，利 用基本不等式即可求解. 【详解】 由 3ACAE ，所以3(0,0)APmABnACmABnAE mn， 又因为, ,B P C三点共线， 所以31mn， 所以 212166 355252 6 nmn m mn mnmnmnmn ， 第 13 页 共 22 页 当且仅当62m ， 36 3 n 时取等号. 故答案为：52 6 【点睛】 本题考查了基本不等式求最值、向量共线定理的推论，在利用基本不等式求最值时，需 验证等号成立的条件，属于基础题. 16已知已知 3 10 ( )

24、log0 xx f x xx ，若方程，若方程 0f xa有四个根有四个根 1234 ,x x x x且且 1234 xxxx，则，则 1234 xxxx的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 4 0 3 ， 【解析】【解析】作出函数 f x的图象，结合图象得出 12 2xx ， 3334 loglogxx，得 到 3 4 1x x ，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意，作出函数 3 10 ( ) log0 xx f x x x 的图象，如图所示， 因为方程 0f xa有四个根 1234 ,x x x x且 1234 xxxx， 由图象可知 12 2xx ， 3334 l

25、oglogxx，可得 3 4 1x x ， 则 123434 2xxxxxx ， 设 3334 log,logxtxt ，所以 34 33 tt xx ， 因为01t ，所以133 t ，所以 10 233 3 tt ， 所以 4 0233 3 tt ，即 1234 4 0 3 xxxx， 即 1234 xxxx的取值范围是 4 0 3 ，. 故答案为： 4 0 3 ，. 第 14 页 共 22 页 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数 函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 三、解答题三、解答题 17已知关于已

26、知关于x的不等式：的不等式： 2 230kxkx （1）若不等式的解集为）若不等式的解集为 3 ,1 2 ，求，求k的值；的值； （2）若不等式的解集为）若不等式的解集为R，求，求k的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）1k ； （2）24,0. 【解析】【解析】 （1）由题可知 3 2 和 1 是方程 2 230kxkx的两个实数根，利用韦达定理 即可求解； （2）可知0k 成立，0k 时，利用判别式进行求解. 【详解】 （1）因为关于x的不等式： 2 230kxkx的解集为 3 ,1 2 ， 所以 3 2 和 1是方程 2 230kxkx的两个实数根， 由韦达定理可得: 33 1

27、22k ，得1k （2）因为关于x的不等式 2 230kxkx的解集为R 当0k 时，-30 恒成立. 当0k 时，由 2 20, 240 k kk ，解得：240k 故k的取值范围为24,0 第 15 页 共 22 页 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中 档题. 18已知已知 22 2 3sin cossincosf xxxxx （1）求函数）求函数 f x取最大值时取最大值时x的取值集合；的取值集合； （2）设）设锐角锐角 ABC的角的角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c， 1f C ，3c ， 求求ABC的面积的面积S的最

28、大值的最大值. 【答案】【答案】 （1）, 3 x xkkZ ； （2） 63 3 4 . 【解析】【解析】 （1）先化简函数解析式，得到 2sin 2 6 f xx ，令 22, 62 xkkZ ，求解，即可得出结果； （2）先由 1f C ，根据题中条件，求出 6 C ，结合余弦定理，以及基本不等式 得出3(23)ab ，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】 （1） 22 2 3sin cossincos3sin2cos22sin 2 6 f xxxxxxxx . 令22, 62 xkkZ ，即() 3 xkkZ 时， f x取最大值; 所以，此时x的取值集合是, 3 x xkkZ

29、 ； （2）由 1f C ，得 1 sin 2 62 C ， 因为0 2 C ，所以 5 2 666 C ，所以2 66 C ，则 6 C ； 在ABC中，由余弦定理 222 2coscababC， 得 22 33(23)ababab，即3(23)ab ，当且仅当ab时取等号， 所以ABC的面积 3(23) 3(23) 111 sin 2224 SabC 因此ABC的面积S的最大值为 63 3 4 . 【点睛】 第 16 页 共 22 页 本题主要考查正弦型三角函数的最值问题，以及求三角形面积的最值问题，涉及基本不 等式求最值，属于常考题型. 19 如图， 已知如图， 已知ABC是边长为是边长

30、为 4的正三角形，的正三角形， D， ， E分别为分别为 AC， AB的中点， 把的中点， 把ADE 沿沿 DE折起，使点折起，使点 A到达点到达点 P的位置，且平面的位置，且平面 PDE平面平面 BCDE. （1）求）求 PB与平面与平面 BCDE所成角的正弦值；所成角的正弦值； （2）求点）求点 E到平面到平面 PBC的距离的距离. 【答案】【答案】 （1） 30 10 ； （2） 6 2 . 【解析】【解析】 （1）取 ED 中点 O，连接 PO，证明 PO底面 BCDE，连接 BO，可得PBO 为 PB与平面 BCDE 所成角，再由已知求解三角形即可； （2） 分别求出三角形 EBC与

31、三角形 PBC的面积， 然后利用等体积法求点 E 到平面 PBC 的距离 【详解】 （1）如图，取 ED中点 O，连接 PO，则 POED， 平面 PDE平面 BCDE，且平面 PDE平面 BCDEED， PO平面 BCDE连接 BO，则PBO为 PB与平面 BCDE 所成角 由 D，E 分别为 AC，AB的中点，得 PEPD2 在等边三角形 PDE中，求得 PO3， 在BEO中，OE1，BE2，BEO120， 则 222 1 2cos120142 1 27 2 OBOEBEOE BE 22 3 710PBOBPO ， 330 sin 1010 PO PBO PB . 第 17 页 共 22

32、页 （2）连接 CE，E到 BC的距离等于 O到 BC的距离为2 333， 则 1 432 3 2 EBC S ，在PBC中，由（1）可得 PBPC 10，BC4， 则 P 到 BC 的距离为1064， 1 462 6 2 PBC S 设点 E到平面 PBC 的距离为 h，则由 VPEBCVEPBC，得 11 2 332 6h 33 ， 即 h 6 2 点 E 到平面 PBC的距离为 6 2 【点睛】 本题考查直线与平面所成角的求法，考查利用等体积法求点到平面的距离，考查空间想 象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题 20“己亥末，庚子春，荆楚大疫，染者数万己亥末，庚子春，荆楚大疫，染者

33、数万.众惶恐，举国防，皆闭户，道无车舟，万 众惶恐，举国防，皆闭户，道无车舟，万 巷空寂巷空寂.幸，医无私，警无畏，民齐心，能者竭力，万民同心幸，医无私，警无畏，民齐心，能者竭力，万民同心.”为了响应教育部门为了响应教育部门“停课停课 不停学不停学”的号召，各学校纷纷开展网络授课活动的号召，各学校纷纷开展网络授课活动.某学校为了解该校高一年级学生某学校为了解该校高一年级学生“停课停课 不停学不停学”期间期间学习情况，对某次考试成绩进行分析，从中抽取了学习情况，对某次考试成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样名学生的成绩作为样 本进行统计本进行统计.该校全体学生的成绩均在该校全体学生的成绩

34、均在60，140） ，按照） ，按照60，70） ，） ，70，80） ，） ，80，90） ，） ， 90，100） ，） ，100，110） ，） ，110，120） ，） ，120，130） ，） ，130， ，140）的分组作出频率分布直）的分组作出频率分布直 方图如图（方图如图（1）所示，样本中分数在）所示，样本中分数在70，90）内的所有数据的茎叶图如图（）内的所有数据的茎叶图如图（2）所示）所示 （1）求）求n和频率分布直方图中的和频率分布直方图中的 x，y的的值；值； （2）在选取的样本中，从）在选取的样本中，从60，70）和）和130，140）两个分数段的学生中随机抽取）两个

35、分数段的学生中随机抽取 2 名名 学生进行调研，求抽取的两名学生的分数都在学生进行调研，求抽取的两名学生的分数都在130，140）内的概率）内的概率. 第 18 页 共 22 页 【答案】【答案】 （1）50n；x0.01；y 0.014； （2） 3 10 . 【解析】【解析】 （1） 根据茎叶图可知70,80的人数为 3人， 频率分布直方图可得频率为 0.06， 可得 3 0.06 n ；由图中数据可得 5 001 50 10 x ，再根据频率分布直方图可得y. （2）利用分层抽样求出60，70）和130，140）抽取的人数，再进行标记，列举基本事 件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求

36、解. 【详解】 解:（1）由题意可知，70,80的人数为 3人，频率为：0.00610=0.06， 故样本容量 3 50 0.06 n ， 解得 5 0.01 50 10 x ， 1004006 201 20 203 0.014 10 y （2）在选取的样本中，分数在60,70的人数为：500.00410=2人，记为：A，B， 分数在130140,的人数为：500.00610=3 人，记为：a，b，c， 从这 5 个人中抽取 2人的所有情况有 ,A BA aA bA cB aB bB ca ba cb c 其中，两名学生的分数都在130140,的所有情况有： ,a ba cb c 故两名学生的

37、分数都在130140,内的概率为 3 10 P . 【点睛】 本题考查了频率分布直方图、茎叶图的应用、分层抽样以及古典概型的概率计算公式， 考查了数据分析能力，属于基础题. 21如图，如图，P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，是单位圆（圆心在坐标原点）上一点， 4 xOP ，作，作PMx轴于轴于M， PNy 轴于轴于N，AOB的两边交正方形的两边交正方形OMPN的边的边 PM，PN于于A，B两点，且两点，且 4 AOB ，设，设(0) 4 AOM ，( )fOA OB 第 19 页 共 22 页 （1）若）若= 6 ，求，求( )f的值；的值； （2）求）求( )f的取值范围的取值范围 【答案

38、】【答案】 （1）( )f 3 =1 3 ； （2） 1 21, 2 . 【解析】【解析】 （1）根据条件先求出 22 , 22 P ， 22 ,tan 22 A ， 22 tan, 242 B ，计算出( )fOA OB的表达式，将= 6 代入可得答 案. （2）由（1）得： f 2 1 1tan 2 1tan ，令1 tan1,2x ，则tan1x, 则 12 1 2 fx x ,根据单调性可得答案. 【详解】 解： （1）由 4 xOP 得 22 , 22 P ， 22 ,tan 22 A 22 tan, 242 B 故 111 1tan tantan(tan) 2422 1a ( t

39、n )fOA OB 2 1 1tan 2 1tan 第 20 页 共 22 页 故= 6 时，( )f 1 1 13 3 =1 233 1 3 （2）由（1）得： 1 1tan (tan) 2 1tan f 2 1 1tan 2 1tan 令1 tan1,2x ，则tan1x， 故( )f 2 1 1tan 2 1tan = 2 2 11112212 1 222 xxx x xxx 又 12 ( )1 2 g xx x 在12 ，上单调递减，在2 2 ，上单调递增. minmax 1 221,12 2 g xgg xgg 故 1 2 1, 2 fOA OB 【点睛】 考查平面向量与三角函数的综

40、合运用，考查向量的数量积，三角恒等变换，考查对知识 的灵活应用，属于中档题. 22一块边长为一块边长为 8 的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长为的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长为 2x的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥 S-ABCD (注：底面为正方形，顶点注：底面为正方形，顶点 在底面上的射影是底面中心的四棱锥） ，在底面上的射影是底面中心的四棱锥） ，F为底边为底边 CD的中点的中点. （1）过棱锥的高及点）过棱锥的高及点 F作棱锥的截面（如图） ，设截面三角形面积为作棱锥的截面（如图） ，

41、设截面三角形面积为 y， 求求 y的最大的最大 值及值及 y取最大值时对应的取最大值时对应的 x 值；值； （2）在（）在（1）中）中 y取最大值时，是否存在动点取最大值时，是否存在动点 Q，它在该棱锥的表面（包含底面，它在该棱锥的表面（包含底面 ABCD） 运动，且运动，且 FQSC?若存在，计算其运动轨迹的长度；若不存在，说明理由若存在，计算其运动轨迹的长度；若不存在，说明理由. 【答案】【答案】 （1）8； 2 2x ； （2）存在，轨迹长度为 4+ 8 3 3 . 第 21 页 共 22 页 【解析】【解析】 （1）由条件可知2EFx，4SF ，根据三角形面积公式表示截面面积y， 再根

42、据基本不等式求最值； （2）由垂直关系找到过点F与直线SC垂直的平面，再说明满足条件的Q点的运动轨 迹，并求其长度. 【详解】 解： （1）由条件可知2EFx，4SF ，由题意，SO 平面 ABCD，故SO EF 22 22 16 11 (2 )16168 222 xx yEF SOxxxx 当且仅当 22 16xx 即 2 2x 时等号成立. (2) ABCD 为正方形， BDAC 又SO 平面 ABCD，BD平面 ABCD，故 BDSO 又 SOAC=O， BD 平面 SAC， 过 F 作 FG/BD 则FG平面 SAC， 又 SC平面 SAC，故FGSC 过 F 作FT SC则 SC平面 FGT 故只要 Q 在平面 FGT 内运动，都有 FQSC Q点的轨迹即为平面 FGT与棱锥表面的交线，即 FGT 在FGT中， 4 2 24 3 32 6 TFTG ， 1 4 2 GFBD 第 22 页 共 22 页 FGT的周长即点 Q 的轨迹长度为 4+ 8 3 3 . 【点睛】 本题考查垂直关系，立体几何中的轨迹，重点考查逻辑推理，属于中档题型，本题的难 点是第二问，需根据垂直关系找到与直线SC垂直的平面.