2019-2020学年湖北省武汉市钢城第四中学高一下学期5月学习质量检测数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 15 页 2019-2020学年湖北省武汉市钢城第四中学高一下学期学年湖北省武汉市钢城第四中学高一下学期5月学月学 习质量检测数学试题习质量检测数学试题 一、单选题一、单选题 1下面结论正确的是（下面结论正确的是（ ） A若若ab，则有，则有 11 ab B若若ab，则有，则有a cb c C若若ab，则有，则有a b D若若ab，则有，则有1 a b 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对于 A,B,D，可举出反例，从而可选择正确答案. 【详解】 解：A:若1,1ab ，则满足ab，但此时 11 ab ，故 A 不对； B:若0c =，则此时 0a cb c，故 B 不对；

2、C:由aa，则若a b，则必有ab，故 C对； D:若1,1ab ，此时满足ab，但11 a b ，故 D不对. 故选:C. 【点睛】 本题考查了不等式的性质.对于判断不等式是否成立问题，通常可举出反例说明错误. 2集合集合 2 20Ax xx， 2 230Bx xx ，则，则AB （ ） A3,1 B 3, 2 CR D3, 20,1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合AB 【详解】 解： 2 |20, 20,Ax xx ， 2 |230( 3,1)Bx xx ， 则ABR， 故选：C 【点睛】 本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公

3、式的灵活运用，属于基础 第 2 页 共 15 页 题 3已知等差数列已知等差数列 n a的公差为的公差为0d d ，且，且 1 a、 3 a、 6 a成等比数列，则成等比数列，则 1 a d （ ） A2 B3 C4 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答. 【详解】 由 136 ,a a a成等比数列得 2 316 aaa，即 2 111 25ada ad， 已知0d ，解得 1 4 a d . 故选：C. 【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算. 4已知已知2 2Ma a，132Naa，则，则M，N的大小关系是（的大小关系是（ ）

4、AMN BM N CMN DMN 【答案】【答案】B 【解析】【解析】通过作差得到MN，可得0MN，从而得到结果. 【详解】 2 2 2213 +22101MNa aaaaaa ， 所以MN， 故选：B. 【点睛】 本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差后配成完全平方式，判断符号，属于基 础. 5在数列在数列 n a中，中， 1 5a ， 1 1 11 n n an a ，则，则 2020 a的值为（的值为（ ） A 1 4 B5 C 4 5 D以上都不对以上都不对 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将 1 5a 代入递推关系，依次得到 2 a， 3 a， 4 a，可观察得数列 n a是

5、周 期为 3 的数列，从而得解. 【详解】 第 3 页 共 15 页 在数列 n a中，由 1 5a ， 1 1 11 n n an a ， 可得： 23 2 1411 11 554 aa a ， 456 35 11411 1511 554 aaa aa ， 所以数列 n a是周期为 3 的数列，所以 20201 5aa. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查数列的递推公式和数列的周期， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分 析推理能力，属于中档题. 6 水平放置的水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示， 若的斜二测直观图如图所示， 若11 2AC ， 111 A B C 的面积为的面积为 2，

6、 ， 则则AB的长为（的长为（ ） A2 2 B2 17 C2 D2 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据 111 A BC 的面积为 2，求得1 1 2B C ，再由斜二测画法的规则，得到 4,2BCAC ，且ACBC，利用勾股定理，即可求解. 【详解】 由题意，因为 111 A B C 的面积为 2， 所以 111111 112 sin4522 222 SACBCBC ，解得 1 1 2B C ， 根据斜二测画法的规则，可得4,2BCAC，且ACBC， 由勾股定理可得 2222 422 5ABACBC . 第 4 页 共 15 页 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了斜二测画法，以

7、及三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记斜二测画 法的规则是解答的关键，属于基础题. 7已知等比数列已知等比数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 5 10S ， 10 40S，则，则 15 S（ ） A130 B150 C170 D190 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据等比数列片段和性质计算可得； 【详解】 解： 等比数列 n a的前n项和为 n S， 5 10S ， 10 40S， 所以 5 S， 105 SS ， 1510 SS 依然成等比数列，所以 2 51510105 SSSSS，即 2 15 104040 10S，所 以 15 130S 故选：A 【点睛】 本题考查

8、等比数列前n项和的性质的应用，属于基础题. 8在在ABC中，中，100a ，80b ，45A，则此三角形解的情况是（，则此三角形解的情况是（ ） A一解一解 B两解两解 C一解或两解一解或两解 D无解无解 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据正弦定理可判断. 【详解】 根据正弦定理有 sinsin ab AB ， 则 sin2 2 sin 5 bA B a =， ab，AB， 这样的 B 只有一个，即此三角形有一个解. 故选：A. 【点睛】 本题考查三角形解的个数的判断，属于基础题. 9若两等差数列若两等差数列 n a， n b前前n项和分別为项和分別为 n A， n B，满足，满足 *

9、73 N 416 n n An n Bn ， 第 5 页 共 15 页 则则 10 10 a b 的值为（的值为（ ）. A 7 4 B 3 2 C 4 3 D 34 23 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意利用等差数列的性质，及前n项和公式，求得 10 10 a b 的值 【详解】 解：两等差数列 n a， n b前n项和分別为 n A， n B，满足 * 73 () 416 n n An nN Bn ， 即 1 1 73 46 n n aan bbn ，则 10101 10101 1 19 9 27 19334 24 191623 aaaa bbbb ， 故选：D 【点睛】 本题主

10、要考查等差数列的性质，及前n项和公式，属于基础题 10小蚂蚁的家住在长方体小蚂蚁的家住在长方体 1111 ABCDABC D的的A处，小蚂蚁的奶奶家住在处，小蚂蚁的奶奶家住在 1 C处，三处，三 条棱长分别是条棱长分别是 1 2AA ，3AB ，4AD，小蚂蚁从，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小点出发，沿长方体的表面到小 蚂蚁奶奶家蚂蚁奶奶家 1 C的最短距离是（的最短距离是（ ） A53 B3 5 C29 D41 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 根据题意知蚂蚁所走的路线有三种情况， 利用勾股定理能求出小蚂蚁从A点出 发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家 1 C的最短距离 【详解】 第

11、6 页 共 15 页 解：根据题意知： 蚂蚁所走的路线有三种情况，如下图所示， 由勾股定理得： 图中， 22 1 5363AC ， 图中， 22 1 7253AC， 图中， 22 1 4145AC 故小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家 1 C的最短距离是 41 故选：D 【点睛】 本题考查最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结 合思想、函数与方程思想，属于中档题 11在区间在区间1,2上，不等式上，不等式 2 40 xmx有解，则有解，则m的取值范围为（的取值范围为（ ） A4m

12、B4m C5m D5m 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由已知将原问题等价于在区间1,2上， 4 +mx x 有解，令函数 4 ( )f xx x ，根据函数在1,2上的单调性，得出函数的值域，再从不等式的解 的存在性上得出范围. 【详解】 因为(1,2)x，所以不等式 2 40 xmx等价于 4 +mx x ， 第 7 页 共 15 页 设 4 ( )f xx x ，则 f x在(1,2)上单调递增，所以 12ff xf，即 54f x ， 要使在区间1,2上，不等式 2 40 xmx有解，等价于在区间 1,2上， 4 +mx x 有解，所以4m， 故选：B 【点睛】 该题考查的是有关根

13、据不等式在某个区间上有解求参数的取值范围的问题， 对不等式进 行参变分离，构造合适的函数，从函数的单调性，值域上得以求解，属于中档题. 12数列数列 n a中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行 1 项，排项，排 1 a；第二行；第二行 2 项，项， 从左到右分别排从左到右分别排 2 a， 3 a；第三行；第三行 3 项项以此类推，设数列以此类推，设数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，则，则 满足满足1000 n S 的最小正整数的最小正整数n的值为（的值为（ ） A22 B21 C20 D19 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意由等

14、比数列求和公式得各行的和，再利用分组求和法得 n S，最后解 不等式1000 n S 得结果. 【详解】 第i行的和为 4(13 ) 2(31) 13 i i ， 设满足1000 n S 的最小正整数为n， 项 n a在图中排在第i行第j列（ * , i jN且j i ） ， 所以有 21 2 3 12 312 312 31 ij n S 231 2 3333212 31 ij i 33212 31 ij i 第 8 页 共 15 页 32 3231000 ij i，则6i ， 5j ， 即图中从第6行第5列开始，和大于1000. 因为第6行第 5列之前共有1 2 3+4 5+520 项， 所

15、以最小正整数n的值为20. 故选：C. 【点睛】 本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和，属于较 难题. 二、填空题二、填空题 13长方体长方体 1111 ABCDABC D的的 8 个顶点在同一个球面上，且个顶点在同一个球面上，且 2AB ，3AD ， 1 4AA ，则球的表面积为，则球的表面积为_ 【答案】【答案】23 【解析】【解析】根据球的直径等于长方体的对角线长，可求得球的半径，再利用球的表面积公 式可得结果. 【详解】 因为长方体 1111 ABCDABC D的 8 个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体 的对角线长， 设球的半径为R，因为2AB

16、 ，3AD ， 1 4AA ，所以 2 222 423423R ， 球的表面积为 2 423R， 故答案：23. 【点睛】 本题主要考查长方体的性质以及球的几何性质，考查了球的表面积公式，意在考查对基 础知识的掌握与应用，属于中档题. 14已知已知0a，0b，且，且31ab，则，则ab的最大值为 的最大值为_ 【答案】【答案】 1 12 【解析】【解析】直接由基本不等式求解 【详解】 第 9 页 共 15 页 0a，0b， 312 3abab ， 即 1 12 ab ， 当且仅当3ab， 即 11 , 26 ab 时等号成立所以ab的最大值为 1 12 故答案为： 1 12 【点睛】 本题考查

17、用基本不等式求最值，属于基础题 15已知已知1 1xy ，12xy，则，则3xy的取值范围是的取值范围是_ 【答案】【答案】1,5 【解析】【解析】令3()()xys xyt xy，求得s，t，利用不等式的性质可求3x y 的 取值范围 【详解】 解：令3 ()()()()xys xyt xyst xst y 则 3 1 st st ， 1 2 s t ， 又 11xy剟 ， 12xy剟 ， 2 24xy剟 得1 35xy剟 故答案为：1,5 【点睛】 本题考查简单线性规划问题，可以作图利用线性规划知识解决，也可以用待定系数法， 利用不等式的性质解决，属于中档题 16等差数列等差数列 n a前

18、前n项和为项和为 n S，若，若 18 0S， 19 0S， 当当 n S取得最大值时，取得最大值时，n的值的值 为为_ 【答案】答案】9. 【解析】【解析】 根据题意推导出数列 n a为单调递减数列， 且当9n时，0 n a ， 当9n时， 第 10 页 共 15 页 0 n a ，由此可得出结果. 【详解】 118 18118910 18 +0 2 aa Saaaa ， 119 1910 19 190 2 aa Sa ， 9 0a， 10 0a， 所以，等差数列 n a的公差 109 0ada，则数列 n a为单调递减数列. 当9n时，0 n a ，当9n时，0 n a ，因此，当9n时，

19、 n S取最大值. 故答案为：9. 【点睛】 本题考查利用等差数列前n项和的最值求对应的n的值，主要分析出数列的单调性，考 查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17已知已知 2 1Rf xaxbxx （1）若）若 0f x 的解集是的解集是14xx，求实数，求实数a和和b的值；的值； （2）当）当2b时，对于一切实数时，对于一切实数x， 0f x 恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 1 4 a ， 5 4 b ； （2）1a . 【解析】【解析】 （1）由1,4是方程 2 10 axbx的两根可求得 , a b； （2）

20、2+2 10f xaxx 恒成立，分类讨论，0a时不成立，0a时，由二次函 数的性质可得 【详解】 解： （1）由题得 1和 4 是方程 2 10 axbx的两个根， 所以 14, 1 4 b a a ，解得 1 4 a ， 5 4 b ； （2）因为 2 210 f xaxx恒成立， 当0a时，210 x 不满足恒成立； 第 11 页 共 15 页 当0a时，则 0 0 a ，即440a，解得1a ； 综上：实数a的取值范围是1a 【点睛】 本题考查解一元二次不等式，考查含参数的一元二次不等式恒成立问题掌握“三个二 次”之间的关系是正确求解一元二次不等式的基础 一元二次不等式恒成立问题常常通

21、 过二次函数的性质求解，属于中档题 18已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 25 16aa， 5 35S . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）设）设 1 21 nn a b n ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1）21 n an； （2） 21 n n T n . 【解析】【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d，依题意得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得 1111 212 2121 n n b annn ，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】 解： （1）设等差数列 n a的

22、公差为d， 由题意得 251 531 2516 551035 aaad Saad ， 解得 1 3, 2, a d 3 2121 n ann （2）由（1）得 11111 2121 212 2121 n n b annnnn 12 1 111111 2 13352121 nn Tbbb nn 1 11 2 12121 n nn 【点睛】 第 12 页 共 15 页 本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题. 19如图四边形如图四边形ABCD为梯形，为梯形，/AD BC，90ABC，求图中阴影部分绕 ，求图中阴影部分绕AB旋旋 转一周所形成的几何体的表面积和体积转一周所形成的

23、几何体的表面积和体积 【答案】【答案】246 13S 表 ；体积 68 3 【解析】【解析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体 积公式，可求其表面积和体积 【详解】 解：圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球，圆台母线长为 22 3213 2 1 428 2 S 半球 ， 24136 13S 圆台侧 16S 圆台底 故所求几何体的表面积86 1316246 13S 表 2222 1 2244328 3 V 圆台 3 4116 2 323 V 半球 故所求几何体的体积 1668 28 33 VVV 半球圆台 【点睛】 本题考查组合体的面积、 体积问题， 考查

24、空间想象能力， 数学公式的应用， 属于中档题 20习近平总书记指出：习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山我们既要绿水青山，也要金山银山”新能源汽车环保、节能， 新能源汽车环保、节能， 以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部 表示，到表示，到 2025 年中国的汽车总销量将达到年中国的汽车总销量将达到 3500 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量万辆，并希望新能源汽车至少占总销量 的五分之一山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台的五分之一山东某新能源公司年初购入

25、一批新能源汽车充电桩，每台 16200 元，第元，第一一 年每台设备的维修保养费用为年每台设备的维修保养费用为 1200 元，以后每年增加元，以后每年增加 400 元，每台充电桩每年可给公元，每台充电桩每年可给公 司收益司收益 7000 元元 第 13 页 共 15 页 （1）表示出每台充电桩第）表示出每台充电桩第n年的累计利润函数年的累计利润函数 f n . （2）每台充电桩第几年开始获利？）每台充电桩第几年开始获利？ （3）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大 【答案】【答案】 （1） f n 2 2003081nn ； （2）第 4年； （3）第 9

26、年. 【解析】【解析】 （1）根据年利润等于总收益减去总保养费以及固定投入,结合等差数列的求和 公式即可得结果. （2）利用一元二次不等式的解法解不等式 0f n ,结合n是整数，从而可得结果. （3）每台充电桩的平均利润为 81 20030 f n n nn , 再结合基本不等式的性质 即可得解,注意取等号的条件. 【详解】 （1） 由题意知每年的维修保养费用是以 1200 为首项， 400 为公差的等差数列， 设第n年 时累计利润为 f n， 70001200 160040080016200f nnn 7000200100016200nnn 2 200600016200nn 2 20030

27、81nn ， （2）若开始获利即 0f n ，即 2 30810nn， 解得327n， 公司从第 4年开始获利； （3）每台充电桩年平均利润为 81 20030200 2 81302400 f n n nn ， 当且仅当 81 n n ，即9n 时，等号成立 即在第 9年时每台充电桩年平均利润最大为 2400 元 【点睛】 本题考查等差数列和基本不等式在解决实际问题中应用,利用等差数列的前 n项和公式 求出前 n年的累计维修费是解题的关键， 考查学生的逻辑推理能力和运算能力, 属于中 档题. 第 14 页 共 15 页 21在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c

28、，满足，满足 2 2cos ab B c . （1）求角）求角C的大小；的大小； （2）若）若ABC的面积为的面积为 3 4 Sc ，求，求ab的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1） 3 C ； （2）1. 【解析】【解析】 （1）根据余弦定理，可将 2 2cos ab B c 化为 222 2 2 2 acbab acc ，化简 整理即得； （2）ABC的面积为 3 4 Sc，由（1）和三角形的面积公式可得 313 sin 424 ScabCab，即得cab，再利用余弦定理和基本不等式，计算 即得. 【详解】 （1）由 2 2cos ab B c 得， 222 2 2 2 acbab

29、acc ，即 222 abcab， 则 222 cos 1 22 abc C ab ，又0C，故 3 C （2）由ABC的面积为 313 sin 424 ScabCab，得cab，将其代入 222 abcab得， 2222 aba bab， 则 2222 2a bababab， 22 a bab，所以1ab，当且仅当1ab，1c时， ab取最小值 1 【点睛】 本题考查余弦定理，三角形的面积公式和运用基本不等式求最值，属于中档题. 22在数列在数列 n a中，已知中，已知 1 1a ， * 1 21N nn aSnn . （1）证明数列）证明数列2 n a 是等比数列，并求出数列是等比数列，并

30、求出数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）若）若 1 312 n n nn ba ，问是否存在实数，问是否存在实数，使得对任意，使得对任意 * Nn都有都有 1nn bb ？若存在，求出？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由 第 15 页 共 15 页 【答案】【答案】 （1）证明见解析， 1 22 n n a ； （2）存在，32 . 【解析】【解析】 （1）根据退位相减得到 1 22 nn aa ，得到 1 2 2 2 n n a a ，得到答案. （2） 1 3( 1)2 nnn n b ，根据单调性得到 11 3 ( 1)( ) 2 nn

31、恒成立，讨论n的奇 偶性得到答案. 【详解】 （1）由 * 1 21N nn aSnn ，得 1 232 nn aSnn ， 得 1 2 nnn aaa ，即 1 222 nn aan ， 1 2222 nn aan ， 由 1 21 nn aSn 得 2 0a ， 所以 2 22a ， 1 21a ， 所以 21 222aa成 立， 所以 * 1 222N nn aan ，又 1 210a ，所以20 n a ， 1 2 2 2 n n a a ，数列2 n a 是首项为 1，公比为 2的等比数列 11 21 22 nn n a ，数列 n a的通项公式是 1 22 n n a （2） 1

32、1 312 n nn n b ， 1 1 312 n nn n b ， 要使 1nn bb 恒成立，只需 1 1 1 2 33120 n nn nn bb 恒成立，即 1 13 12 2 n n 恒成立， 当n为奇数时， 1 3 2 2 n 恒成立，而 1 3 2 n- 骣 琪 琪 桫 的最小值为 1，2 当n为偶数时， 1 3 2 2 n 恒成立 而 1 3 2 n- 骣 琪 琪 桫 最小值为 3 2 ，3 ，3 综上所述，的取值范围是32 ，使得对任意 * Nn都有+1nn bb 【点睛】 本题考查了等比数列的证明，根据数列的单调性求参数，意在考查学生对于数列公式方 法的综合应用，属于较难题.