2019-2020学年湖北省荆州市高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 18 页 2019-2020 学年湖北省荆州市高一下学期期末数学试题学年湖北省荆州市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 2 0Ax xx， |1Bx x或或0 x ，则（，则（ ） ABA BA B CABR DAB 【答案】【答案】D 【解【解析】析】解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系. 【详解】 解：解不等式 2 0 xx得01x，则 01Axx. 因为 |1Bx x或0 x ，所以AB ， 故选:D. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关系. 2已知已知 0.1 30.2 log 0.2,log0.3,10

2、,abc则（则（ ） Aabc Ba cb Ccab Dbca 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据对数函数与指数函数的单调性,将abc、 、与 0、1比较,即可得出答案. 【详解】 因为 3 logyx在(0,)上单调递增, 所以 33 log 0.2log 10a , 因为 0.2 logyx在(0,)上单调递减, 所以 0.20.20.2 0log1log0.3log0.21b, 因为10 xy 在R上单调递增, 所以 0.10 10101c , 所以abc. 故选：A 【点睛】 本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较 第 2 页 共 18 页

3、 的数与 0、1比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键. 3从从 2 名男同学和名男同学和 3 名女同学中任选名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的 人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的 概率为（概率为（ ） A0.3 B0.4 C0.5 D0.6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设 2 名男生为, a b，3名女生为, ,A B C，则任选 2 人的种数共 10 种，其中恰 有一名女同学共 6种，根据古典概型概率计算公式，即可求出结果. 【详解】 设 2名男生为, a b，3名女生为, ,A B C， 则任选 2 人的种数为 ab aA aB

4、 aC bA bB Bc AB AC BC,共 10 种，其中全是女生为 aA aB aC bA bB Bc,共 6种， 故恰有一名女同学的概率 6 0.6 10 P . 故选：D 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是基础题 4若函数若函数( )(0 x f xa a且且 1)a 在在R上为减函数，则函数上为减函数，则函数log (| 1) a yx的图象的图象 可以是（可以是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据( )(0 x f xa a且 1)a 在R上为减函数可得01a，结合( )g x，

5、再 根据对数函数的图像特征，得出结论. 【详解】 由( )(0 x f xa a且 1)a 在R上为减函数，则01a，令( )log (| 1) a g xx， 函数( )log (| 1) a g xx的定义域为(, 1)(1,) ， ()( )log (| 1) a gxg xx，所以函数为关于y对称的偶函数. 函数( )log (| 1) a g xx的图像，1x 时是函数logayx的图像向右平移一个单位 得到的. 第 3 页 共 18 页 故选 D 【点睛】 本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础 题. 5由于疫情期间大多数学生都进行网上上课，我

6、校高一、高二、高三共有学生由于疫情期间大多数学生都进行网上上课，我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对名，为了了解同学们对“钉钉钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这 1800 名学生中抽取一个容量为名学生中抽取一个容量为 72 的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到 大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( )( ) A800 B750 C700 D650 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设从高三年级抽取的学生人

7、数为 2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法， 求出 x 的值，可得高三年级的学生人数. 【详解】 设从高三年级抽取的学生人数为 2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为 2x- 2， 2x- 4， 由题意可得2(22)(24)72,xxx 13x 设我校高三年级的学生人数为 N,再根据 722 13 1800N 求得650N ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了分层抽样，样本容量，属于容易题. 6在在 ABC中，中，“cos2sinsinABC”是是“ ABC为钝角三角形为钝角三角形”的 的( ) A必要不充分条件必要不充分条件 B充要条件充要条件 C充分不必要条件充分不必要条件 D既不

8、充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【详解】 充分性：由于， 代入已知式子整理得，即，显然必为钝 角；必要性：取，显然cos2sinsinABC不成立综上选 C 第 4 页 共 18 页 7已知已知，是三个两两不重合的平面，是三个两两不重合的平面，m， ，n是两条不重合的直线，则下列命是两条不重合的直线，则下列命 题：题：若若m，n，/ /m，/ /n，则，则/ /；若若m，n，/ /， 则则/mn；若若/m，m，n，则，则/mn；若若 ， m ，则，则m.其中所有正确命题的编号是（其中所有正确命题的编号是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【解

9、析】【解析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可 【详解】 解：若m，n，/ /m，/ /n，则, 平行或相交，故错误； 若m，/ /，则m，而n，所以/mn，故正确； 若/m，m，n，由线面平行的性质定理可得/mn，故正确； 由选项可知正确， 故选：B 【点睛】 此题考查空间中，线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，属于基础题 8已知已知为锐角，且为锐角，且 1 sin 34 ，则，则sin的值为（的值为（ ） A1 3 5 8 B1 3 5 8 C 153 8 D 35 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】通过三角恒等式可求出cos 3 的值，再根据两角和的正

10、弦即可得出结果. 【详解】 0 2 ， 336 ， 又 1 sin 34 ， 2 1 cos1 sin1 3316 1 4 5 ， 111531 3 5 sinsin 3342428 ， 故选：B. 第 5 页 共 18 页 【点睛】 本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题. 9ABC中，中，AD DC ，点，点 M在在 BD上，且满足上，且满足 3 7 AMABtAC，则实数，则实数 t的的 值为（值为（ ） A 6 7 B 4 7 C 2 7 D 5 9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意，可设DM kDB ，结合条件整理可得 11 (1) 22 AM

11、ACDMk ACkAB，得到关于k与t的方程组，解出t即可 【详解】 如图，因为AD DC ，所以 1 2 ADAC 则 1 2 AMADDMACDM， 因为M在BD上，不妨设 1 ()() 2 DMkDBk ABADk ABAC， 则 1111 ()(1) 2222 AMACDMACk ABACk ACkAB， 因为 3 7 AMABtAC， 所以 3 7 1 (1) 2 k kt ，解得 2 7 t ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用， 意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平 10已知具有线性相关的变量已知具有线性相关的变量 x，y，设其

12、样本点为，设其样本点为 ,(1,2,6) iii P x yi L，回归直线，回归直线 方程为方程为2yxa，若，若 126 (12,18)OPOPOP uuu ruuu ruuu r L（O为坐标原点） ，则为坐标原点） ，则a （ ） 第 6 页 共 18 页 A- -1 B- -6 C1 D6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据向量相等的坐标表示，由此即可计算平均数 , x y，得到样本点的中心的 坐标, x y，代入回归直线方程求出结果 【详解】 因为样本点为,(1,2,6) iii P x yi L且 126 (12,18)OPOPOP uuu ruuu ruuu r L， 所

13、以 126 126 12 18 xxx yyy 所以 123456 112 2 66 xxxxxxx ， 126 118 3 66 yyyy； 又回归直线方程为2yxa过, x y， 3 2 2a $，解得 1a ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了线性回归方程必过样本中心、向量相等的坐标表示等基础知识，属于基 础题. 11若正数若正数 x，y满足满足2 1xy，则，则 12 xy 的最小值为（的最小值为（ ） A4 B32 2 C8 D9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由已知可得 124 222 xy xy xyyx ，然后利用基本不等式可求得 结果 【详解】 解：因为正数 x，y满

14、足21xy， 所以 1244 222428 xyx y xy xyyxyx ， 当且仅当 4xy yx ，即 11 , 42 xy时取等号， 第 7 页 共 18 页 所以 12 xy 的最小值为 8， 故选：C 【点睛】 此题考查基本不等式的应用，利用了“1”的代换，属于基础题 12已知函数已知函数 211,2 log1,2 a axx f x xa x 是定义在是定义在R上的减函数，则实数上的减函数，则实数a的取值的取值 范围为（范围为（ ） A 1 ,1 3 B 1 0, 2 C 1 ,1 2 D 11 , 32 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据分段函数 yf x在R上的单调性可

15、得出关于实数a的不等式组，进而 可求得实数a的取值范围. 【详解】 由于函数 211,2 log1,2 a axx f x xa x 是定义在R上的减函数， 所以， 函数211yax在区间,2上为减函数， 函数log1 a yxa在区 间2,上为减函数，且有2 211log 1 a aa ， 即 210 01 41 a a aa ，解得 11 32 a. 因此，实数a的取值范围是 11 , 32 . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用分段函数的单调性求参数， 要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处 函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题二、填空题 13已知平

16、面向量已知平面向量a，b满足满足(1,3)a ，1b|= ，|2 | 2ab，则，则a与与b的夹角为的夹角为 _. 第 8 页 共 18 页 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】由题得| | 2a r ，再对|2 | 2ab平方化简即得解. 【详解】 由题得| | 2a r ， 因为|2 | 2ab， 所以 22 +4+4=4aba b ， 所以4+4+4 2 1 cos,=4a b ， 所以 1 cos,=, 2 a b 因为 2 ,0, , 3 a ba b . 故答案为： 2 3 【点睛】 本题主要考查向量的模的计算，考查向量的数量积的运算律和计算，意在考查学生对这 些知识的理解掌

17、握水平. 14设函数设函数 2 22 cos 2 ( ) xxe f x xe 的最大值为的最大值为 M，最小值为，最小值为 m，其中，其中 e为自为自 然对数的底数，则然对数的底数，则 2020 (1)Mm的值为的值为_. 【答案】答案】1 【解析】【解析】函数 22 sin2 1 xex f x xe ，然后根据奇偶性的性质可求解Mm，然后 得出 2020 (1)Mm的值. 【详解】 函数 2 22 2222 cos sin2 2 xxe xxeex f x xexe 22 sin2 1 xex xe ， 第 9 页 共 18 页 令 22 sin2xex g x xe ，则 2222 s

18、in2sin2xexxex gxg x xexe ， 即 g x为奇函数，故 maxmin 0gxgx 所以 maxmin 112Mmgxgx ，所以 2020 11Mm. 故答案为：1. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性及应用，难度一般，灵活转化是关键. 15在矩形在矩形 ABCD 中，中，1AB ，3AD .将将BCD沿对角沿对角线线 BD翻折，得到三棱锥翻折，得到三棱锥 ABCD，则该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥外接球的表面积为_. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】 作出图示， 因为在矩形 ABCD 中，1AB ，3A

19、D .则2ACBD， 连接ACBD， 交于点O， 则1AOBOCODO，设该三棱锥外接球的半径为R，则1R ， 所以该三棱锥外接球的表面积 2 44SR， 故答案为：4. 【点睛】 本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于 中档题. 三、双空题三、双空题 16定义在定义在 R上的函数上的函数 ( )f x在 在(, 1) 上单调递增，且上单调递增，且 (1)f x 为偶函数为偶函数.（1）已知）已知 1 2 log 8af ， 1 3 2bf ，比较大小：，比较大小：a_b（填，（填，） ； （） ； （2）若）若 对一切实数对一切实数 x，不等式，不等式(

20、2sin1)(sin)fxfxm恒成立，则实数恒成立，则实数 m的取值范围是的取值范围是 _. 第 10 页 共 18 页 【答案】【答案】 (,2 )( 4,) 【解析】【解析】由题意可得 f x在1， 上单调递减，可得 1af，根据单调性可得 结果，将不等式转化为sin1mx或sin3mx恒成立，求出最值可得结果. 【详解】 (1)f x 为偶函数，函数 f x的图象关于直线1x对称， 又 f x在(, 1) 上单调递增， f x在1， 上单调递减， 1 2 log 831afff ， 1 3 2bf ，且 1 0 3 221 ， ab. n11si x ，2sin131x ， 对一切实数

21、x，不等式2sin1sinfxfxm恒成立， sin1xm或sin3xm，即sin1mx或sin3mx， minsin12mx或maxsin34mx， 实数m的取值范围是 24 ， 故答案为：ab， 24 ， 【点睛】 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用， 将抽象函数的恒成立问题转化为函数的最 值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17已知函数已知函数 log 1log3 01 aa f xxxa . （1）求函数）求函数 f x的定义域的定义域; （2）求函数）求函数 f x的零点的零点; （3）若函数）若函数 f x的最小值

22、为的最小值为4,求求a的值的值 【答案】【答案】（1）3,1 .（2）13 （3） 2 2 【解析】【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集 合或区间表示出来； （2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由 =0f x，即 第 11 页 共 18 页 2 23=1xx，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内； （3）把函数解析式化简 后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的 最小值log 4 a ，得log 44 a 利用对数的定义求出a的值 【详解】 （1）由已知得 10, 30, x x , 解得31x 所以函数 f

23、 x的定义域为3,1 . （2） 2 log1log3log13log23 aaaa f xxxxxxx,令 =0f x,得 2 23=1xx ,即 2 22=0 xx ,解得 13x ,13(-3,1) ,函数 f x的零点是13 （3）由 2 知, 2 2 log23log14 aa f xxxx , 31x , 2 0144x . 01a, 2 log14log 4 aa x , minlog 44 a f x, 1 4 2 4 2 a . 【点睛】 本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的 复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形

24、式是关键 18因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难.为了改变现状，该企业欲借助 为了改变现状，该企业欲借助 电商和电商和“网红网红”直播带货扩大销售直播带货扩大销售.受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果.现现 将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直 方图：方图： 第 12 页 共 18 页 请根据图中所给数据，求：请根据图中所给数据，求： （1）实数）实数 a的值；的值； （2）该企业网

25、上销售日销售额的众数和中位数；）该企业网上销售日销售额的众数和中位数； （3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数. 【答案】【答案】 （1）0.012； （2）55 万元，57万元； （3）57.4 万元. 【解析】【解析】 （1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a； （2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值能求出众数的近似值，由频率分 布直方图的性质能求出中位数； （3）由频率分布直方图的性质能求出日销售额的平均值. 【详解】 （1）由频率分布直方图知： (0.0080.0160.0200.0180.0100.0042 )

26、 101a，解得：0.012a ； （2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值，得众数为 55 万元； 因为第一个小矩形的面积为 0.08，第二个小矩形的面积为 0.12， 第三个小矩形的面积为 0.16，0.08 0.120.160.36， 设第四个小矩形中底边的一部分长为 x，则0.0200.5 0.36x，解得7x ， 所以中位数为50757万元； （3）依题意，日销售额的平均值为： 25 0.08 35 0.1245 0.16 55 0.20 65 0.18 75 0.12 85 0.10 95 0.0457.4 所以该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数为

27、 57.4万元. 【点睛】 本题考查平均数、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考 查运算求解能力，属于基础题. 19 在在ABC中， 角中， 角 A，B， C所对的边分别为所对的边分别为 a， ，b， c， 满足， 满足(2)coscosbcAaC， 1c . （1）若）若ABC的面积的面积3S ，求，求 a的值；的值； （2）若）若ABC为锐角三角形，求为锐角三角形，求 b的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）13； （2） 1 2 2 b. 【解析】【解析】 （1）利用正弦定理和已知得到 3 A ，再由面积和1c得到4b，再由余弦 第 13 页 共 18

28、页 定理可得到答案； （2）由（1）得到 2 3 BC ，再由 311 2 sin 2tan2 bRB C ，利用角 C的范围 得到b的范围. 【详解】 （1）ABC中，(2)coscosbcAaC 由正弦定理得：2sincossincossincosBACAAC 2sincossincossincossin()sinBACAACACB sin0B， 1 cos 2 A，0A 3 A 由 1 sin3 2 ABC bcSA，1c得4b， 由余弦定理得： 222 2cos13abcbcA ，13a . （2）在ABC中， 3 A ，1c，设ABC的外接圆半径为 R. 1c，2 sin1RC ，则

29、 1 2 sin R C 3 A ， 2 3 BC ，则 2 3 BC ， 2 31 sin cossin 3113 22 2 sin sinsin2tan2 C CC bRB CCC ABC为锐角三角形，且 3 A ， 62 C ，则 3 tan, 3 C ， 1 (0, 3) tanC ， 1 2 2 b. 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理对已知进行化简解三角形，注意角的范围. 20设向量设向量sin ,1 3 mx u r ，1,2cos 6 nx r ，函数，函数( )f xm n，其，其 中中03，已知，已知3 6 f . （1）求）求的值及函数的值及函数 ( )f x的单调

30、递减区间； 的单调递减区间； 第 14 页 共 18 页 （2）将函数）将函数( )yf x的图象上各点的横坐标伸长到原来的的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将倍（纵坐标不变） ，再将 得到的图象向右平移得到的图象向右平移 4 个单位，得到函数个单位，得到函数( )yg x的图象，求的图象，求( )g x在在 3 , 44 上的上的 最值最值. 【答案】【答案】 （1）2， 2 , 63 kkkZ ； （2）最小值为 3 2 ，最大值为 3. 【解析】【解析】 （1）根据数量积的坐标公式可得 33 ( )sincos 22 f xxx，然后根据 6 f 以及范围可得，

31、最后使用整体法可得函数单调递减区间. （2）根据伸缩平移变换得到( )g x，然后使用整体法以及正弦函数的性质，可得结果. 【详解】 （1）由题可知： 33 ( )sin2cossincos 3622 f xxxxx 3 6 f ，sin1 66 ， 2Z 662 kk 122k， 03，2， ( )3sin 2 6 f xx 令 3 222, 262 kxkkZ ，则 2 63 kxk ， 故 ( )f x的单调递减区间为 2 , 63 kkkZ . （2）由（1）( )3sin 12 g xx ， 3 44 x ， 2 3123 x ， 3 sin1 212 x ， 3 3sin3 212

32、 x ， 第 15 页 共 18 页 故 ( )f x的最小值为 3 2 ，最大值为 3. 【点睛】 本题考查三角函数的性质，审清题意，细心计算，着重对整体法的考查，掌握最基本的 三角函数的性质，属中档题. 212020 年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者白衣执甲，逆行出征，为保护人民生 命健康做出了重大贡献命健康做出了重大贡献.荆州市某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有荆州市某医院的呼吸科、急诊科、免疫科分别有 4 名、名、2 名、名、2 名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作名医生主动请缨，申请进入隔离病房参与救治工作

33、.现医院根据需要选派现医院根据需要选派 2 名医生进入名医生进入 隔离病房工作隔离病房工作. （1）求选派的）求选派的 2 名医生来自同一个科室的概率；名医生来自同一个科室的概率； （2）求选派的）求选派的 2 名医生中至少有名医生中至少有 1 名呼吸科医生的概率名呼吸科医生的概率. 【答案】【答案】 （1） 2 7 ； （2） 11 14 . 【解析】【解析】 （1）利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果； （2）利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】 设呼吸科的 4名医生分别记为(1,2,3,4) i A i ，急诊科的 2名医生分别记为 (1,2) j Bj ； 免疫科的

34、 2 名医生分别记为(1,2) k C k . 现从这 8名医生中选派 2名医生，所有的选派方法有： 12 ,A A， 13 ,A A， 14 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 11 ,A C ， 12 ,A C ， 23 ,A A， 24 ,A A， 21 ,A B， 22 ,A B， 21 ,A C ， 22 ,A C ， 34 ,A A， 31 ,A B， 32 ,A B， 31 ,A C， 32 ,A C， 41 ,A B， 42 ,A B， 41 ,A C， 42 ,A C， 12 ,B B， 11 ,B C ， 12 ,B C ， 21 ,B C ， 22 ,B C，

35、 12 ,C C共 28 个基本事件 （1） 记“这 2 名医生来自同一个科室”为事件 A， 它包括： 12 ,A A， 13 ,A A， 14 ,A A， 23 ,A A， 24 ,A A， 34 ,A A， 12 ,B B， 12 ,C C共 8个基本事件. 因为每一种情况被抽取的可能性都相等，所以由古典概型的概率计算公式可知， 事件 A发生的概率为 82 ( ) 287 P A （2）记“选派的 2 名医生中至少有 1 名呼吸科医生为事件 B”，所有的选派方法有： 第 16 页 共 18 页 12 ,A A， 13 ,A A， 14 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 11

36、,A C， 12 ,A C， 23 ,A A， 24 ,A A， 21 ,A B， 22 ,A B， 21 ,A C， 22 ,A C ， 34 ,A A， 31 ,A B， 32 ,A B， 31 ,A C， 32 ,A C， 41 ,A B， 42 ,A B， 41 ,A C， 42 ,A C。共 22 个基本事件. 因为每一种情况被抽到的可能性都相等，由古典概型的概率计算公式可得， 事件 B发生的概率为 2211 ( ) 2814 P B . 【点睛】 本题考查了利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题. 22如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PBPD ，4PAPC，底面是边

37、长为，底面是边长为 2 的菱形，的菱形， 且且60ABC，E，F，G分别是分别是 PA，PC，DC的中点的中点. （1）求证：平面）求证：平面EFG 平面平面 PBD； （2）若）若 M是线段是线段 AC上一点，求三棱锥上一点，求三棱锥MEFG的体积的体积. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 8 . 【解析】【解析】 （1）首先证明EFBD和OPEF，可得EF 平面 PBD，从而得证平面 EFG 平面 PBD. （2）因为/EFAC，得到/AC平面 EFG，从而得到 MEFGA EFGG AEF VVV ， 进一步求出答案. 【详解】 （1）证明：E，F分别为 PA，P的中点/

38、EFAC，又四边形 ABCD为菱形， 第 17 页 共 18 页 ACBD， EFBD.设AC与BD交于点O， 连接OP， 则O A O C， 又P A P C OPAC，OPEF. OPBDO，且 OP，BD 平面 PBD，EF 平面 PBD EF 平面 EFG 平面EFG 平面 PBD. （2）由（1）/EFAC， /AC平面 EFG， M到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG的距离 MEFGA EFGG AEF VVV PBPD，POBD，ACBD， BD 平面 PAC， BD 平面 PEF，DO 平面 PEF. 11 24 AEFPAFPAC SSS ， 60ABC，120BAD， 在RT AOB中，30ABO，1AO，2ABAD3DO . 2 4115PO ， 11 1 15 215 3 88 3 28 G AEFD PAC VV ， 5 8 MEFG V . 【点睛】 第 18 页 共 18 页 本题考查空间几何体的相关知识点，涉及到面面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考 查了空间思维能力和计算能力,属于中等题.