2019-2020学年广东省韶关市高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年广东省韶关市高一下学期期末数学试题学年广东省韶关市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1设设 16,UxxxN，230Ax xx，则，则 UA= （ ） A4,5 B 1,2,3,4 C1,4,5,6 D1,6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求出集合U，A，根据补集定义求出 UA . 【详解】 解：16,1,2,3,4,5,6UxxxN， 2302,3Ax xx， 1,4,5,6 UA . 故选：C. 【点睛】 本题考查补集运算，属于简单题，解题关键是确定集合的元素 2设平行四边形设平行四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC

2、与 与BD交于点交于点O，AB a ，AD b ，则，则 向量向量OA（ ） A 11 22 ab B 11 22 ab C 11 22 ab D 11 22 ab 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由已知结合向量的线性运算即可求解. 【详解】 解：由题意可得， 111 222 AOACab， 11 22 OAab . 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的线性运算，考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题 3若直线若直线5 3 430m xy 与直线与直线2550 xm y 互相垂直，则互相垂直，则m的值为的值为 （ ） 第 2 页 共 20 页 A1 B15 C1 D3 【答案】【答案】B

3、 【解析】【解析】由题意利用两条直线垂直的条件，求得 m的值. 【详解】 解：直线5 3430m xy 与直线2550 xm y 互相垂直， 2 5 3540mm ，求得15m， 故选：B. 【点睛】 本题考查两直线垂直的充要条件，属于基础题 4若二次函数若二次函数 24f xa xx的图象经过点的图象经过点0, 4，则函数，则函数 f x的最小值的最小值 为（为（ ） A4 B 5 C 9 2 D 13 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意可得40204a ，解得 1 2 a ，可求函数解析式为 2 1 4 2 fxxx，利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】 解：二次函数 2

4、4f xa xx的图象经过点0, 4， 40204a ， 1 2 a ， 所求函数解析式为： 1 24 2 fxxx，即 22 119 4(1) 222 f xxxx， 函数 f x的最小值为 9 1 2 f . 故选：C. 【点睛】 本题考查求二次函数的解析式与最值，属于基础题，二次函数是中学数学的重要内容之 一，务必熟练掌握 5为了得到函数为了得到函数 2sin 6 f xx 的图象，则只需将的图象，则只需将 2sing xx的的图象图象 第 3 页 共 20 页 （ ） A向左平移向左平移 6 个单位长度个单位长度 B向左平移向左平移 12 个单位长度个单位长度 C向右平移向右平移 6

5、个单位长度个单位长度 D向右平移向右平移 12 个单位长度个单位长度 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意利用函数sinyAx的图象变换规律，得出结论. 【详解】 解：只需将 2sing xx的图象向左平移 6 个单位长度， 即可得到函数 2sin 6 f xx 的图象， 故选：A. 【点睛】 本题考查三角函数图象平移变换，属于简单题，解题时需注意如果函数式中自变量x前 面有不为 1 的系数时，平移单位的确定 6已知点已知点1,3A和点和点 5,2B到直线到直线l的距离相等，且的距离相等，且l过点过点3, 1，则直线，则直线l的方程的方程 为（为（ ） A4 10 xy 或或 3x B

6、410 xy 或或3x C4 10 xy D410 xy 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 先求出直线AB的斜率， 由点1,3A和点5,2B到直线l的距离相等， 且l过 点3, 1，得到直线l与直线AB平行，且直线l过点3, 1，或直线l的方程为3x （过线段AB中点） ，由此能求出直线l的方程. 【详解】 解：点1,3A和点5,2B， 231 5 14 AB k ， 点1,3A和点5,2B到直线l的距离相等，且 l过点3, 1， 直线l与直线AB平行，且直线l过点3, 1，或直线l的方程为3x （过线段AB 第 4 页 共 20 页 中点） ， 直线l的方程为： 1 13 4 yx ，或

7、3x ， 整理得：410 xy 或3x . 故选：A. 【点睛】 本题考查求直线方程，考查点到直线的距离问题，利用平行或过线段的中点求解直线方 程，属于基础题 7我国古代数学名著九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为我国古代数学名著九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“ “鳖鳖 臑臑”.现有一鳖臑现有一鳖臑PABC如图所示，如图所示，PB 底面底面ABC，ACBC，4PBAC， 其体积为其体积为 8，则这个鳖臑的表面积为（，则这个鳖臑的表面积为（ ） A44 17 B32 C8 8 5 D248 13 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据三棱锥的体积求出BC的长，再求

8、出三棱锥的表面积. 【详解】 解：三棱锥PABC的体积为V三棱锥 11 4 48 32 P ABC BC ， 所以3BC ，所以5ABPC， 又PB 平面ABC，所以PBAC， 又ACBC，所以AC 平面PBC， 所以ACPC，所以 1 3 46 2 PBCABC SS ， 1 5 410 2 PACPAB SS ， 所以这个鳖臑的表面积为 6 6 10 1032S . 第 5 页 共 20 页 故选：B. 【点睛】 本题考查求棱锥的表面积，考查棱锥的体积，掌握棱锥的体积公式和表面积公式是解题 基础 8已知圆已知圆 22 1: 420Cxyx，圆，圆 2 C与与 1 C关于直线关于直线50 x

9、y对称，设对称，设A，B 分别是圆分别是圆 1 C、 2 C上的动点，则上的动点，则AB的最小值为（的最小值为（ ） A 2 B3 2 C5 2 D7 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离已经对称性推出结果即可. 【详解】 由题意可知：圆 22 1: 420Cxyx，圆心2,0，半径为 2， 1 C到直线50 xy的距离为： 253 2 22 d ， 由对称行可知22ABdr. 故选：A. 【点睛】 本题考查了圆关于直线对称，考查了点到直线距离公式，同时考查了转化思想，属于中 档题. 9 已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数 f x， 且当， 且

10、当0 x时时 f x是增函数， 设是增函数， 设 3 log5af， 3 1 log 2 bf ，ln3cf，则，则a，b，c的大小关系为（的大小关系为（ ） Acba Bbca Cabc Dcab 【答案】【答案】D 【解析】【解析】比较出对数的大小，然后结合已知奇偶性及单调性即可比较大小. 【详解】 解： f x为奇函数且0 x时， f x单调递增， 所以 333 11 logloglog 2 22 bfff ， 因为 33 log5loln3 1g 20 ， 第 6 页 共 20 页 所以cab. 故选：D. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性、单调性，掌握对数函数的单调性是解题关键 10在

11、在ABC所在的平面上有一点所在的平面上有一点P，满足，满足PAPBPCAB ，设，设BA a ， BCb ，则，则BP （ ） A 12 33 ab B 12 33 ab C 21 33 ab D 21 33 ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义， 可得P为线段AC的一个三等 分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案. 【详解】 解：PA PBPCAB ， 2PCPAABPBAPABBPAP ； 即 2PCAP uuu ruu u r ； 故点P是CA边上的第二个三等分点； 112121 333333 BPBAAPBAACBABCBABABC

12、ab； 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的线性运算，掌握向量的加减法和数乘法则是解题基础 二、多选题二、多选题 11设设l，m，n表示不同的直线，表示不同的直线， ，表示不同的平面，给出下列四个命题，表示不同的平面，给出下列四个命题， 其中正确命题的有（其中正确命题的有（ ） A若若/ml，且，且m，则，则l B若若/ml，且，且/m，则，则/l C若若 l ， m ，nI，则，则/lmn D若若 m ， l， ，nI，且，且/ /n，则，则/lm 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】 对于 A， 由线面垂直的判定定理判断； 对于 B，/l或l； 对于 C，/lmn 第 7 页 共 20

13、页 或l，m，n三条直线交于一点；对于 D，由线面平行的判定定理、性质定理和公理 4 判断. 【详解】 由l，m，n表示不同的直线，表示不同的平面，知： 对于 A，若/ml，且m，则由线面垂直的判定定理得l，故 A正确； 对于 B，若/ml，且/m，则/l或l，故 B 错误； 对于 C，若l， m ，nI，则/lmn或l，m，n三条直线交 于一点，故 C 错误； 对于 D，若m，l，nI，且/ /n，则由线面平行的判定定理、 性质定理和公理 4得到/lm，故 D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题主要考查，线线、线面关系命题的判断，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属 于基础题. 12已知函

14、数已知函数 sin 6 f xx （0）在）在0,有且仅有有且仅有 3 个零点，下列结论个零点，下列结论 正确的是（正确的是（ ） A函数函数 f x的最小正周期的最小正周期T B函数函数 f x在在0,上存在上存在 1 x， 2 x，满足，满足 12 2f xf x C函数函数 f x在在 0, 2 单调递增单调递增 D的取值范围是的取值范围是 13 19 , 66 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】设 f x在0,有且仅有 3个零点 1 a， 2 a， 3 a，且 123 0aaa. A，最小正周期 31 Taa即可判断； B，取 12 1 2 aa x ， 23 2 2 aa x

15、，满足 1 1f x， 2 1f x，即可判断； D，结合正弦函数的零点，计算可得函数在y轴右侧的前 4 个零点分别是 6 ， 7 6 ， 第 8 页 共 20 页 13 6 ， 19 6 ，再列出不等式 13 6 19 6 ，解之即可判断； C，由选项 D可知，可取3，此时 sin 3 6 f xx ，比较 6 f 和 3 f 的 大小即可判断. 【详解】 解：设 f x在0,有且仅有 3 个零点 1 a， 2 a， 3 a，且 123 0aaa， 对 A，最小正周期 31 Taa，即 A正确； 对 B，在0,上存在 12 1 2 aa x ， 23 2 2 aa x ，满足 1 1f x，

16、 2 1f x，所 以 12 2f xf x可以成立，即 B 正确； 对 D，令 6 xk ，kZ，则函数的零点为 61 6 k x ，kZ， 所以函数在y轴右侧的前 4个零点分别是 6 ， 7 6 ，13 6 ， 19 6 ， 因为函数 f x在0,有且仅有 3个零点，所以 13 6 19 6 ，解得 13 19 , 66 ，即 D正确； 对 C，由 D选项可知， 13 19 , 66 ，不妨取3，此时 sin 3 6 f xx ， 所以 3 sin 6262 f ， 1 sin 362 f ，即 63 ff ， 并不满足在0, 2 单调递增，即 C错误. 故选：ABD. 【点睛】 本题考查

17、三角函数的性质，结合正弦函数性质，只要把 x 作为一个整体，与正弦 函数对比即可得出相应性质 第 9 页 共 20 页 三、填空题三、填空题 13已知已知 12 sin 13 ，且，且是第二象限角，则是第二象限角，则cos_. 【答案】【答案】 5 13 【解析】【解析】由已知直接利用同角三角函数基本关系式即可计算求解. 【详解】 解： 12 sin 13 ，且是第二象限角， 2 2 125 cos1 sin1 1313 . 故答案为： 5 13 . 【点睛】 本题考查同角间的三角函数关系，在用平方关系求正余弦函数值时需确定角的范围，以 确定函数值的正负 14 已知圆心为已知圆心为 (0, 2

18、)C，且被直线 且被直线230 xy截得的弦长为截得的弦长为4 5，则圆则圆C的方程的方程 为为_ 【答案】【答案】 22 (2)25xy 【解析】【解析】由题意可得弦心距 d=5，故半径 r=5， 故圆 C的方程为 x2+（y+2）2=25， 故答案为 x2+（y+2）2=25 15在正方体在正方体 1111 ABCDABC D中，直线中，直线 1 AB与平面与平面 11 ABC D所成的角的大小为所成的角的大小为_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】连结 1 BC，交 1 BC于点E，连结AE， 1 ABBC， 11 BCBC， 1 BC 平 面 11 ABC D，从而 1 B AE

19、是直线 1 AB与平面 11 ABC D所成角，由此能求出直线 1 AB与 平面 11 ABC D所成的角的大小. 【详解】 解：连结 1 BC，交 1 BC于点E，连结AE， AB 平面 11 BBCC， 1 BC 平面 11 BBCC， 1 ABBC， 在正方形 11 BBCC中， 11 BCBC， 第 10 页 共 20 页 1 BCABB=， 1 BC 平面 11 ABC D， AE是 1 AB与平面 11 ABC D内的射影， 1 B AE是直线 1 AB与平面 11 ABC D所成角， 在 1 RtAB E中， 1 1 1 1 sin 2 B E B AE AB ， 1 6 B A

20、E ， 直线 1 AB与平面 11 ABC D所成的角的大小为 6 . 故答案为： 6 . 【点睛】 本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是：作出直线与平行所成的角，并证明，然 后在三角形中求解 四、双空题四、双空题 16定义：如果函数定义：如果函数 yf x在定义域内给定区间在定义域内给定区间 , a b上存在上存在 0 x（ 0 axb） ，满） ，满 足足 0 f bf a f x ba ，则称函数，则称函数 yf x是是, a b上的上的“平均值函数平均值函数”， 0 x是它是它 的一个均值点的一个均值点.已知已知 4 f xx是是1,1上的平均值函数，则它的均值点为上的平均值函数，

21、则它的均值点为_；若函数；若函数 2 1g xxmx是是1,1上的平均值函数，则实数上的平均值函数，则实数m的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】0 0,2 【解析】【解析】 由已知中的公式即可求得函数 4 f xx的均值点； 函数 2 1g xxmx 是区间1,1上的平均值函数，故有 2 11 1 11 gg xmxm 在 1,1 内有实 第 11 页 共 20 页 数根，求出方程的根，让其在 1,1 内，即可求出实数m的取值范围. 【详解】 解：对于 4 f xx， 11 00 11 ff f ，故它的均值点为 0. 2 1g xxmx是1,1上的平均值函数， 11 11 gg m

22、 ， 关于x的方程 2 1xmxm 在 1,1内有实数根， 即 2 10 xmxm 在 1,1内有实数根. 解得方程的根为 1 1x ，或 2 1xm， 11 1m ，即02m， 实数m的取值范围是0,2. 故答案为：0，0,2. 【点睛】 本题主要是在新定义下考查二次方程的根的问题，在做新定义的题目时，要认真研究定 义理解定义，按定义做题，属于中档题. 五、解答题五、解答题 17设非零向量设非零向量a，b不共线不共线. （1）若）若,1at，5,bt，且，且 /ab，求实数 ，求实数t的值；的值； （2）若）若OA ab ， 2OBab ， 3OCab .求证：求证：A，B，C三点共线三点共

23、线. 【答案】【答案】 （1）5； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t的值； （2）根据条件得到 2ACAB 且有公共点A,即可得到结论. 【详解】 解： （1）,1at，5,bt，且 /ab， 故 2 505tt ， 即实数t的值为：5； （2）证明：OA ab ， 2OBab ， 3OCab . 第 12 页 共 20 页 AB OB OAb ， 2ACOCOAb ， 即 2ACAB 且有公共点A， 故A，B，C三点共线 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题 18已知角已知角的终边过点的终边过点 1,2

24、P . （1）求）求cos和和tan的值；的值； （2）若）若tantan，求，求 cos 2 sincos 的值的值. 【答案】【答案】 （1） 5 cos 5 ，tan2= -； （2） 2 3 . 【解析】【解析】 （1）利用任意角的三角函数的定义，求出cos，tan的值即可求解结果. （2）由已知利用诱导公式可求tan2，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系 式化简所求即可求解. 【详解】 （1）因为角的终边过点1,2P ， 所以 2 2 125rOP ， 所以 15 cos 55 x r ， 所以 2 tan2 1 y x （2）tantantan， 所以tan2， cos sin

25、tan222 sincossincostan12 13 【点睛】 本题主要考查了三角函数的定义以及通过诱导公式化简求式子的值，属于基础题. 第 13 页 共 20 页 19已知函数已知函数 1 2sin 5 f xx（0，0 2 ）的最小正周期为）的最小正周期为 4， 且且 yf x的图象经过点的图象经过点 1 4 , 3 5 P . （1）求）求和和的值；的值； （2）求函数）求函数 f x的的单调增区间；单调增区间； （3）求）求 1232020ffff的值的值. 【答案】【答案】 （1） 2 ， 3 ； （2）单调增区间为 51 4,4 33 kk ，kZ； （3）404. 【解析】【解

26、析】 （1）由周期求出，由特殊点的坐标求出，可得函数的解析式. （2）由题意利用正弦函数的单调性，求得函数 f x的单调增区间. （3）利用正弦函数的周期性，求得要求式子的值. 【详解】 解： （1） 函数 1 2sin 5 f xx（0，0 2 ） 的最小正周期为 2 4 ， 2 ， 1 2sin 25 f xx . yf x的图象经过点 1 4 , 3 5 P ， 114 2sin 2355 ， 即 1 sin 62 ，0 2 3 ， 1 2sin 235 fxx . （2）令22 2232 kxk ，求得 51 44 33 kxk， 可得函数 f x的单调增区间为 51 4,4 33 k

27、k ，kZ. （3）函数 1 2sin 235 fxx 的周期为 4， 511 12sin1 655 f ， 11 22sin3 355 f ， 311 32sin1 2355 f . 第 14 页 共 20 页 11 42sin 23 355 f ， 4 1234 5 ffff ， 故 4 12320205051234505404 5 ffffffff . 【点睛】 本题考查由三角函数性质求解析式，考查正弦型三角函数的周期性，单调性，涉及的公 式、知识点较多，属于中档题 20如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，的底面是直角梯形， / /ADBC，CBAB， CBPB，

28、PBAB，224ADPABCPB . （1）若）若F为侧棱为侧棱PD的中点，求证：的中点，求证：/CF平面平面PAB； （2）求点）求点C到平面到平面PAD的距离的距离. 【答案【答案】 （1）证明见解析； （2）3. 【解析】【解析】 （1）取PA的中点M，通过BMCF/，即可证明/CF平面PAB； （2）解法 1（几何法） ：由/ /BC平面PAD，得到C到平面PAD的距离等于点B到 平面PAD的距离， 过B点作平面PAD的垂线， 垂足为H， 则BH是点B到平面PAD 的距离. 解法 2（等体积法） ：先把P当做顶点求出三棱锥PACD的体积，再把C当做顶点求 出三棱锥CAPD的体积，建立方

29、程即可解出点C到平面PAD的距离. 【详解】 （1）证明：取PA的中点M，连接BM，FM， 在 PAD 中，/FMDA， 1 2 FMDA 第 15 页 共 20 页 在梯形ABCD中，/BCDA， 1 2 BCDA /FMBC，FMBC， 四边形FMBC是平行四边形，BMCF/， 而而BM 平面PAB，CF 平面PAB， /CF平面PAB； （2）解法 1（几何法） ：过B作BHPA于H， / /ADBC，BC 平面PAD，AD 平面PAD， / /BC平面PAD， 即点C到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离， CBAB，CBPB，而ABPBB CB平面PAB，DA平面PAB，而BH

30、 平面ABE， DABH，,BHPA PADAA， BH 平面PAD，即BH是点B到平面PAD的距离， 在Rt PAB中，由AB BPPA BH，得2 3 24BH， 3BH ， 故点C到平面PAD的距离为3. （2）解法 2（等体积法） ：设点C到平面PAD的距离为h， CBPB，ABPB，而ABCBBPB 平面ABCD， 即PB为三棱锥PACD的高， CBAB，CBPB，而ABPBB，CB平面PAB， DA平面PAB，而PA平面PAB，DAPA， 11 4 48 22 PAD SDA PA ， 第 16 页 共 20 页 11 4 2 34 3 22 ACD SDA AB ， 由 C AP

31、DP ACD VV 得： PADACD ShSPB ，解得3h ， 故点C到平面PAD的距离为 3. 【点睛】 本题考查了线面平行的证明， 考查了利用等体积法求点到面的距离， 也考查了转化思想， 有一定量的计算量，属于中档题. 21已知直线已知直线: 20l kxyk，圆，圆C过坐标原点过坐标原点O . （1） 若圆） 若圆C以以1,2C为圆心， 且圆为圆心， 且圆C与与x轴、轴、y轴的异于原点轴的异于原点 0 的交点分别为的交点分别为A、B， 求求AOB的面积；的面积； （2） 若圆心） 若圆心C在直线在直线l上， 直线上， 直线260 xy与圆与圆C交于交于D、E两点， 且两点， 且ODO

32、E， 求实数求实数k的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）4； （2） 1 7, 2 . 【解析】【解析】 （1） 由两点间的距离公式求出圆C的半径， 可得圆C的方程， 分别求出A与B 的坐标，代入三角形面积公式求解； （2）由已知可得直线OC是弦DE的垂直平分线，求得OC的方程为20 xy.设 2 ,Cm m，由直线2 60 xy与圆C相交，得圆心2 ,Cm m到直线的距离小于 半径，由此列式求得m的范围，再由圆心C在直线l上，即220km m k ，可得 2 21 m k m .然后利用分离常数法求得 f m的范围得答案. 【详解】 解： （1）圆C的半径为 22 125OC .

33、 圆C的方程为 22 125xy. 令0y ，得2,0A，令0 x，得0,4B. 从而 11 2 44 22 AOB SOA OB ； （2） ODOE，由圆的对称性得：直线OC是弦DE的垂直平分线. 即OC的方程为20 xy，设2 ,Cm m， 第 17 页 共 20 页 直线260 xy与圆C相交，圆心2 ,Cm m到直线的距离小于半径， 即 46 5 5 mm m ，解得 3 5 m . 又圆心C在直线l上，即220km m k ， 2 21 m k m . 令 3 21 2 21221 m f m mm ， 函数 f m在 3 , 5 上是增函数，则 3 7 5 f mf . 又 1

34、2 f m . 1 7 2 f m ，即 1 7 2 k . 实数k的取值范围为 1 7, 2 . 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的方程的综合应用，涉及点到直线的距离公式，属于中档题. 22如图，某市为了提升城市形象，满足人民群众需要，拟在一个边长为如图，某市为了提升城市形象，满足人民群众需要，拟在一个边长为 4 百米的正 百米的正方方 形生态公园形生态公园ABCD中，规划修建以正方形中心中，规划修建以正方形中心O为圆心，为圆心， 2百米为半径的圆形观景 百米为半径的圆形观景 湖，以及一条从边湖，以及一条从边AB上点上点P出发，穿过生态公园且与观景湖相切的观赏道出发，穿过生态公园且与观景湖相

35、切的观赏道PQ（其中（其中 Q在边 在边AD上）上）. （1）以点）以点A为原点，射线为原点，射线AB为为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设轴的正半轴建立平面直角坐标系，设APQ， 求观赏道求观赏道PQ的长的长l关于关于的函数关系式的函数关系式 f及定义域及定义域I； （2）在（）在（1）的条件下，设）的条件下，设 2 sincos1 sincos gI ，若建造观赏道和观景，若建造观赏道和观景 湖总预算为湖总预算为 Mg百万元（百万元（M是正常数） ，试问当是正常数） ，试问当为何值时，可使总预算最小？并为何值时，可使总预算最小？并 求出此时最小预算求出此时最小预算. 第 18 页 共 20

36、 页 参考公式：参考公式：sincos2sin 4 【答案【答案】 （1） 2sin2cos2 sincos f ；定义域为 5 , 12 12 ； （2）当 4 时， 可使总预算最小，此时最小预算为421 M百万元. 【解析】【解析】 （1）以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，写出PQ的 方程，再由圆心O到直线PQ的距离等于半径可得 2sin2cos2 sincos f .然后 利用P点与B点重合及Q点与点D重合求得值，可得 f的定义域I； （2） 2 sincos1 sincos g ， 5 , 12 12 ，用换元法设 sincos2sin 4 t ，由的范围求得t的范

37、围，把 g化为关于t的 函数 L t，再由单调性求最值. 【详解】 解： （1）以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则2,2O，cos ,0P l，0, sinQl， 则PQ的方程为 1sin 1cos 1cos yx ，即sincossincos0 xyl. 直线PQ与圆O相切，圆心到直线PQ的距离 22 2sin2cos1sincos 2 * sincos d . 2x时，2y ，即 1sin 1cos2 1cos x ，整理得： 2sin2cossin cos0l. 化简（）得：2sin 2cossin cos20l ，即 2sin2cos2 sincos l . 2

38、sin2cos2 sincos f . 设切点为T，当P点与B点重合时，由直线与圆相切知， 第 19 页 共 20 页 2OT ，2 2OB ， 6 DBQ ， 4612 . 当点 Q与点 D重合时，同理可得， 5 12 . 故 f的定义域为 5 , 12 12 ； （2） 2 sincos1 sincos g ， 5 , 12 12 ， 设sincos2sin 4 t ，又 5 , 12 12 ，故 2 , 433 . 故 6 ,2 2 t . 又 2 1 sincos 2 t ，故 2 214 11 2 t L t tt . 根据题意， 0L t ，1t . 而 L t在1, 2 内单调递减，故 min 4 2421 21 LL . 此时 4 . 故当 4 时，可使总预算最小，此时最小预算为 421 M百万元. 【点睛】 第 20 页 共 20 页 本题考查三角函数的应用，解题时根据所给参数，列出关于的函数，应用三角函数 知识求解，在关于sincos和sin cos的代数式的最值（值域）问题中常常用换 元法，即设sincost，则 2 1 sincos 2 t ，转化灾一般的函数求解