2019-2020学年广东省惠州市高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年广东省惠州市高一下学期期末数学试题学年广东省惠州市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1不等式不等式 2 230 xx的解集为（的解集为（ ） A3,1 B1,3 C, 31, D31x 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先因式分解，再解一元二次不等式即可. 【详解】 解： 2 230 xx， 310 xx， 解得31x .用集合表示为3,1. 故选：A. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法，是基础题. 2已知等差数列已知等差数列 n a中，中， 4 1a ， 8 8a ，则，则 12 a的值是（的值是（ ） A7 B12 C1

2、5 D64 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用等差数列 n a的性质可得： 8412 2aaa，即可得出. 【详解】 解：由等差数列 n a的性质可得： 8412 2aaa， 又 4 1a ， 8 8a ， 12 2 8 1 15a . 故选：C. 【点睛】 此题考查等差数列性质的应用，属于基础题 3正四棱锥的底面边长和高都等于正四棱锥的底面边长和高都等于 2，则该四棱锥的体积为（ ，则该四棱锥的体积为（ ） A 2 3 3 B 2 2 3 C 8 3 D8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用正四棱锥的体积公式直接求解. 第 2 页 共 17 页 【详解】 正四棱锥的底面边长和高都

3、等于 2， 该四棱锥的体积 2 118 22 333 VSh. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题. 4不等式组不等式组 1 1 1 yx yx y 构成的区域面积为（构成的区域面积为（ ） A8 B6 C4 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由二元一次不等式的几何意义画出平面区域，然后结合三角形面积公式求解 【详解】 根据题意，对于不等式组 1 1 1 yx yx y ， 直线 1yx 与直线1yx 相交于点0,1，设0,1A； 直线 1yx 与直线1y 相交于点2, 1，设2, 1B ； 直线1yx 与直线1y 相交于点2, 1，设2, 1C； 则不等式

4、组 1 1 1 yx yx y 表示的平面区域为ABC的内部区域及边界. 如图所示: 第 3 页 共 17 页 又由直线AB与AC垂直，又由442 2ABAC， 则 11 2 22 24 22 SABAC； 故选：C. 【点睛】 本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，还考查了数形结合的思想方法，属于基础 题. 5关于关于x的不等式的不等式 2 10 xmx 的解集为的解集为R，则实数，则实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A0,4 B , 22, C2 2 , D2,2 【答【答案】案】D 【解析】【解析】根据题意可得出，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】 不等式 2 10 xmx

5、的解集为R，所以，即 2 40m ，解得22m . 因此，实数m的取值范围是2,2. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 6在在ABC中，中，2BC ，3AC ，30BCA，则，则A等于（等于（ ） A90 B60 C45 D120 【答案】【答案】A 第 4 页 共 17 页 【解析】【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果. 【详解】 解：ABC中，2BC ，3AC ，30BCA， 所以由余弦定理 222 2coscababC，解得1c. 利用正弦定理 sinsin ac AC ，解得sin1A， 所以90A. 故选：A. 【点

6、睛】 本题考查利用正余弦定理解三角形，考查运算能力，是基础题. 7已知已知2,0A，0,2B，若直线，若直线 2yk x与线段与线段AB有公共点，则有公共点，则k的取值范的取值范 围是（围是（ ） A 1,1 B1, C0,1 D 0, 11, 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先求出直线MA的斜率和直线MB的斜率，再根据题意求得k的范围. 【详解】 由于直线2yk x的斜率为k，且经过定点2,0，设此定点为M， 直线MA的斜率为 00 0 22 ，直线MB的斜率为 20 1 02 ， 如下图所示，故01k， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查直线的概率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属

7、于基础题. 8设设ABC的内角的内角A、B、C所对边分别为所对边分别为a、 、b、c，若，若2 cosabC，则此三角，则此三角 第 5 页 共 17 页 形一定是（形一定是（ ） A等腰直角三角形等腰直角三角形 B等腰三角形等腰三角形 C直角三角形直角三角形 D钝角三角形钝角三角形 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据余弦定理表示出cosC，与已知等式联立，化简求解. 【详解】 由余弦定理得 222 cos 2 abc C ab ， 又2 cosabC， 所以得： 222222 2 2 abcabc ab aba ， 2222 aabc， 22 cb .又b和c都大于 0， 则bc，即三

8、角形为等腰三角形. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题. 9 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑n o.如图，在鳖臑 如图，在鳖臑 ABCD中，中，AB 面面BCD，1ABCD， 2BC ，3BD ，则下列选项中，则下列选项中， 不正确的是（不正确的是（ ） A面面ABC 面面ACD B二面角二面角DAB C的余弦值为的余弦值为 6 3 CAD与面与面BCD所成角为所成角为30 第 6 页 共 17 页 D三棱锥三棱锥ABCD外接球的表面积为外接球的表面积为 【答案】【答案】D 【解析】【解析】对于

9、 A，证明CD面ABC，利用面面垂直的判定定理可得面ABC 面 ACD； 对于 B，由AB 面BCD得ABBD，ABBC，可得CBD就是二面角 DAB C的平面角，解三角形BCD即可； 对于 C，AB 面BCD易得AD与面BCD所成角为ADB； 对于 D，取AD的中点为M，则1MAMBMCMD，可得外接球的半径为 1， 即得表面积. 【详解】 1ABCD， 2BC ，3BD ， 222 BCCDBD，BCCD， 可得 22 3ACABCB ， 22 2ADABBD ， 则有 222 ACCDAD，ACCD . 对于 A，AB 面BCDABCD，又CDAC，ABACAI，得CD面 ABC，又CD

10、 平面ACD，面ABC 面ACD故正确； 对于 B， AB 面BCD， ABBD，ABCB， CBD就是二面角DAB C 的平面角，余弦值为 26 33 BC DB ，故正确； 对于 C，AB 面BCD，AD与面BCD所成角为30ADB，故正确； 对于 D， 取AD的中点为M， 则1M A M B M CM D， 所以三棱锥ABCD外 接球的球心为M，半径为 1，其表面积 2 44SR，故错. 故选：D. 第 7 页 共 17 页 【点睛】 本题考查面面垂直的判定定理和线面角，二面角的求法，考查多面体外接球的表面积， 考查推理能力和计算能力，属于基础题. 10已知等差数列已知等差数列 n a的

11、公差的公差0d ，前，前n项和为项和为 n S，等比数列，等比数列 n b的公比的公比q是正整是正整 数，前数，前n项和为项和为 n T，若，若 2 11 ,ad bd，且，且 222 123 123 aaa bbb 是正整数，则是正整数，则 2 9 8 S T 等于（等于（ ） A 45 17 B 135 17 C 90 17 D 270 17 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：数列an是以 d 为公差的等差数列，且 a1=d， ; 又数列bn是公比 q 的等比数列，且 b1=d2， ; 222 123 123 aaa bbb N 又q 是正整数，1+q+q2=7，解得 q=2

12、2 9 8 S T ； 故选 B 【考点】等差数列的性质 二、多选题二、多选题 11若若0ab，下列不等式成立的是（，下列不等式成立的是（ ） ） A 22 ab B 2 aab C1 b a D 11 ab 【答案】【答案】CD 【解析】【解析】通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可. 【详解】 解：由0ab，取2a，1b，则可排除 A、B， 因为0ab，所以0ba ， 所以10 bba aa ，即1 b a ，故 C正确； 第 8 页 共 17 页 所以 11 0 ba abab ，即 11 ab ，故 D正确. 故选：CD. 【点睛】 本题考查不等式的性质和作差法比较大小，

13、是基础题. 12如图，直线如图，直线 1 l， 2 l， 3 l的斜率分别为的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，倾斜角分别为，倾斜角分别为 1 ， 2 ， 3 ， 则下列选项正确的是（则下列选项正确的是（ ） A 132 kkk B 321 kkk C 132 D 321 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论. 【详解】 解：如图，直线 1 l， 2 l， 3 l的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，倾斜角分别为 1 ， 2 ， 3 ， 则 23 0kk， 1 0k ， 故 23 0 2 ，且 1 为钝角， 故选：AD. 【点睛

14、】 本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题. 三、填空题三、填空题 13已知数列已知数列 n a的通项公式为的通项公式为2n n a ，则，则 n a的前的前6项和为项和为_. 【答案】【答案】126 【解析】【解析】利用数列的通项公式推导出数列 n a是等比数列，求出该数列的首项和公比， 利用等比数列的求和公式可求得该数列的前6项和. 【详解】 数列 n a的通项公式为2n n a ，则 1 1 2 2 2 n n n n a a ，且 1 2a ， 第 9 页 共 17 页 所以，数列 n a是等比数列，且首项为2，公比也为2， 因此，数列 n a的前6项和为 6 2 1

15、2 126 1 2 . 故答案为：126. 【点睛】 本题考查等比数列求和，要确定等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题. 14函数函数 2 2 4 1 yx x 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】将函数转化为 2 2 4 11 1 yx x ，运用基本不等式求解. 【详解】 函数 2 2 4 1 yx x ， 即 2 2 4 11 1 yx x 2 2 4 2114 13 1 x x ， 当且仅当 2 12 x，即1x时，取等号， 则函数的最小值为 3， 故答案为：3. 【点睛】 本题主要考查基本不等式求函数的最值，属于基础题. 15已知直线已知直线l过点

16、过点2,4P，且与直线，且与直线 310 xy 平行，则直线平行，则直线l的方程为的方程为_. 【答案】【答案】3100 xy 【解析】【解析】 根据题意， 设直线l的方程为 30 xym ， 将P的坐标代入计算可得m的值， 将其代入直线l的方程，计算即可得答案. 【详解】 解：根据题意，直线l与直线310 xy平行，设直线l的方程为 30 xym ， 又由直线l经过点2,4P，则有2 3 40m ，解可得10m； 故直线l的方程为3100 xy， 故答案为：3100 xy. 第 10 页 共 17 页 【点睛】 此题考查由两直线的位置关系求直线方程，属于基础题 16一船向正北方向匀速行驶，看

17、见正西方向两座相距一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同 海里的灯塔恰好与该船在同 一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45方向上，另一灯塔在南方向上，另一灯塔在南 偏西偏西60方向上，则该船的速度是方向上，则该船的速度是_海里海里/小时小时. 【答案】【答案】1031 【解析】【解析】由题意，设BAx，得到CAx，然后在Rt BDA中，利用正弦定理求解. 【详解】 如图所示： 设船的初始位置为A，半小时后行驶到B，两个港口分别位于C和D， 所以45BCA，15CBD， 则30CDB， 设

18、BAx， 则CAx，在Rt BDA中，10DAx. 所以利用正弦定理 10 sin60sin30 xx ， 解得53 1x 所以船速为 1 5311031 2 . 故答案为：1031 【点睛】 本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17 （1）求）求 1tan15 1tan15 的值；的值； （2）求函数）求函数 2 sincos2fxxx的最大值的最大值. 第 11 页 共 17 页 【答案】【答案】 （1） 3 3 ； （2） max4f x. 【解析】【解析】 （1）直接利用两角差的正切公式的逆用求解. （2）先利用平方关系和二倍角的

19、正弦公式将函数转化为 sin23f xx，再利用正 弦函数的性质求解. 【详解】 （1） 1tan15tan45tan15 1tan151tan45 tan15 ， 3 tan 4515tan30 3 . （2）函数 2 sincos2fxxx， 1 2sin cos2sin23xxx . 当22 2 xkkZ ，即 4 xkkZ ， f x取得最大值 4. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档 题. 18已知数列已知数列 n a满足满足 1 1a ， 1nn aan （其中（其中2n且且*nN）. （1）求数列求数列 n a的通项公式；的通项

20、公式； （2）若）若 1 n n b a ，求数列，求数列 n b前前n项和项和 n S . 【答案】【答案】 （1） 1 2 n n n a ； （2） 2 1 n n . 【解析】【解析】 （1）由已知得 1nn aan （2n，*nN） ，利用累加法求通项公式； （2）写出 n b，利用裂项相消法求 n S. 【详解】 （1） 1nn aan （2n，*nN） 121321 1 1 23 2 nnn n n aaaaaaaan ， （*nN） ， 当1n 时满足上式， 第 12 页 共 17 页 1 2 n n n a . （2） 1211 2 11 n n b an nnn 12nn

21、Sbbb 111111 212 1 22311nnn 2 1 n n . 【点睛】 本题考查累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前 n 项和，属于中档题. 19一条光线从点一条光线从点6,4P射出，与射出，与x轴相交于点轴相交于点 2,0Q，经，经x轴反射后与轴反射后与y轴交于轴交于 点点H . （1）求反射光线）求反射光线QH的方程；的方程； （2）求三角形）求三角形PQH的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）2yx ，其中,2x ； （2）8. 【解析】【解析】 （1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出 直线的方程； （2）首先根据（1）中直线方程求出

22、点H的坐标，求出三角形的边长，再利用三角形 的面积公式求出结果. 【详解】 （1）如图所示， 作点6,4P关于轴的对称点的坐标6, 4P， 则反射光线所在的直线过点 P 和Q， 第 13 页 共 17 页 所以 40 1 62 P Q k ， 所以直线P Q 的直线方程为2yx. 所以反射光线的QH的直线方程为2yx ，其中,2x . （2）由（1）得知0,2H， 1 PQQH kk ，所以PQQH， 所以 22 20022 2QH ， 22 62404 2PQ ， 所以. 11 2 24 28 22 PQH SPQ QH . 【点睛】 本题主要考查了点关于直线对称、求直线方程、三角形面积问题

23、. 20在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c， 3 C ，5b，ABC 的面积的面积为为10 3 . （1）求）求a，c的值；的值； （2）求）求sin 6 A 的值的值. 【答案】【答案】 （1）8a ；7c ； （2） 13 14 . 【解析】【解析】 （1）利用 3 C ，5b，ABC的面积为10 3求得a，然后再利用余弦定 理求解. （2）结合（1）利用余弦定理求得cosA的值，再由平方关系求得sin A的值，然后利 用正弦的两角和公式求解. 【详解】 （1）由已知， 3 C ，5b， 因为 1 sin 2 ABC SabC， 即 1 10 35sin

24、 23 a ， 解得8a . 由余弦定理可得： 2 642580cos49 3 c ， 所以7c . 第 14 页 共 17 页 （2）由（1）及余弦定理有 4925641 cos 707 A ， 因为 A是三角形的内角， 所以 2 4 3 sin1 cos 7 AA， 所以 4 331113 sinsincoscossin 666727214 AAA . 【点睛】 本题主要考查余弦定理，三角形面积公式和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运 算求解的能力，属于中档题. 21已知几何体已知几何体ABCDEF中，中，/ABCD，/FCEA， ，ADAB，AE面面ABCD， 2ABADEA，4CD

25、CF . （1）求三棱锥）求三棱锥FBCD的体积；的体积； （2）求证：平面）求证：平面BDF平面平面BCF . 【答案】【答案】 （1）16 3 ； （2）证明见解析. 【解析】【解析】（1） 推导出FC 平面ABCD， 即FC为三棱锥FBCD的高， 由ADAB， /ABCD，得ADCDADCD，由此能求出三棱锥FBCD的体积. （2）推导出BDFC，取DC中点M，由已知可得/ABDM，2ABDM， 取DC中点M， 由已知得/ABDM，2ABDM， 则/BMAD，2BMAD， 从而BMMC，再推导出BDBC，从而BD 平面BCF，由此能证明平面 BDF平面BCF. 【详解】 解： （1）解：

26、/FCEA，且AE平面ABCD， FC 平面ABCD，即FC为三棱锥FBCD的高， 第 15 页 共 17 页 ADAB，/ABCD，ADCD， 11 4 24 22 DBC SDCAD ， 1116 4 4 333 F BCDDBC VSFC . （2）证明：由（1）知FC 平面ABCD，BC 平面ABCD， BDFC， 取DC中点M，由已知可得/ABDM，2ABDM， 则/BMAD，2BMAD，BMMC， 2 2BC ， 222 BDBCCD，BDBC， FCBCC，BD 平面BCF， BD 平面BDF， 平面BDF平面BCF. 【点睛】 此题考查三棱锥体积的求法，考查面面垂直的证明，考查

27、推理能力，属于中档题 22如图，某公司拟购买一块地皮建休闲公园，从公园入如图，某公司拟购买一块地皮建休闲公园，从公园入口 口A沿沿AB、AC方向修建方向修建 两条小路，休息亭两条小路，休息亭P与入口两点间相距与入口两点间相距3 2a米（其中米（其中a为正常数） ，过为正常数） ，过P修建一条笔修建一条笔 直的鹅卵石健身步行道，步行道交两条小路于直的鹅卵石健身步行道，步行道交两条小路于E、F处，已知处，已知45BAP， 5 cos 13 BAC . （1）设）设AEx米，米，AFy米，求米，求y关于关于x的函数关系式；的函数关系式； 第 16 页 共 17 页 （2）若地皮单价为定值，试确定）若

28、地皮单价为定值，试确定E、F的位置，使三条路围成的三角形的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购地皮购 价最低价最低. 【答案】【答案】 （1） 13 47 ax y xa ， 7 , 4 a x ； （2）当 7 2 a AE 米， 13 2 a AF 米时，三条 路围成的AEF地皮购价最低. 【解析】【解析】 （1）由已知求得sinFAP，利用 AEFAEPAFP SSS ，可得 13 47 ax y xa ， 再由x，y大于 0求得函数定义域，则y关于x的函数关系式可求； （2）设三条路围成地皮购价为T元，地皮单价为k元/平方米，则 AEF Tk S （k为 常数） ，要使T最小，只要

29、AEF S最小，写出三角形AEF的面积，换元后利用基本不等 式求最值. 【详解】 （1）由 5 cos 13 CAB ，CAB为锐角，得 12 sin 13 CAB ， sinsinsin45FAPCABPAECAB， sincos45cossin45CABCAB， 122537 2 13213226 . 由图可知， AEFAEPAFP SSS . 111 sinsinsin 222 AE AFCABAE APPAEAF APFAP. 得 1121217 2 3 23 2 21322226 x yxaya . 整理得， 13 47 ax y xa . 由 0 13 0 47 x ax y xa

30、 ，得 7 , 4 a x . y关于x的函数关系式为 13 47 ax y xa ， 7 , 4 a x ； （2）设三条路围成地皮购价为T元，地皮单价为k元/平方米. 则 AEF Tk S （k为常数） ，要使T最小，只要 AEF S最小， 由题意可知， 1112613 sin 22131347 AEF ax SAE AFCABxyx xa 第 17 页 共 17 页 2 6 47 ax xa ， 7 , 4 a x . 令47txa， 则 2 222 7 6 314493494 14 88 AEF ta a a tataaa Sta ttt 2 2 34921 214 82 aa taa t （当且仅当7ta，即 7 2 a x 时等号成立）. 当 7 2 a x ， 13 2 a y 时， AEF S最小，即T最小. 综上，当 7 2 a AE 米， 13 2 a AF 米时，三条路围成的AEF地皮购价最低. 【点睛】 本题主要考查函数的应用以及基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档 题.