第4讲　二次函数与幂函数 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第4 4讲讲 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 第二章 函数、导数及其应用 考纲解读 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函 数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题(重点、难点) 2掌握幂函数的图象和性质，结合函数 yx，yx2，yx3，y1 x，y x 1 2的图象，了解它们的变化情况(重点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预 测 2021 年高考对二次函数可能会直接考查， 也可能会与其他知识相结合 进行考查

2、， 考查三个二次之间的关系、 函数最值的求解、 图象的判断等 在 解答题中也可能会涉及二次函数幂函数的考查常与其他知识结合，比 较大小、图象及性质的应用为重点命题方向. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)01 顶点式：f(x)02 两根式：f(x)03 ax2bxc(a0) a(xm)2n(a0) a(xx1)(xx2)(a0) (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bx c(a0) f(x)ax2bxc(a0) 图象 定义域 R R 值域 4acb2 4a ， ，4acb 2 4a 单调性 在 x ， b

3、 2a 上单 调递减； 在 x04 上单调递增 在 x05 上单 调递增； 在 x b 2a， 上单调递 减 对称性 函数的图象关于直线06 对称 b 2a， ， b 2a x b 2a 2幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如01 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常 数 (2)常见的五种幂函数的图象 yx (3)常见的五种幂函数的性质 函数 特征 性质 yx yx2 yx3 yx 1 2 yx 1 定义域 R R R 02 x|xR， 且 x0 值域 R 0，) R 0，) y|yR， 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 0，) 单调性 增 在(，0 上减，在0， )上增

4、 增 增 在(，0) 上减，在(0， )上减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 1概念辨析 (1)函数是幂函数( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点( ) (3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数( ) (4)在 yax2bxc(a0)中， a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐 标系中的开口大小( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)若a0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是( ) A0.2a5a0.5a B5a0.5a0.2a C0.5a0.2a5a D5a0.2a0.5a 解析 因为a0，所以函数yxa在(0

5、，)上是减函数，又 0.20.50.5a5a，即5a0.5a0.2a. 答案答案 解析解析 (2)已知幂函数 yf(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为 _ 解析 设 f(x)x，因为函数 f(x)的图象过点(2， 2)，所以 22，即 ，所以 1 2，所以 解析解析 (3)若二次函数y2x24xt的图象的顶点在x轴上，则t的值是 _ 解析 y2x24xt2(x22x)t2(x1)21t2(x 1)22t. 因为此函数的图象的顶点(1,2t)在x轴上，所以2t0，所以t 2. 解析解析 2 (4)函数f(x)x22x(0 x3)的值域是_ 解析 因为f(x)x22x(x1)21，所以f(

6、x)在0,1上单调递 增，在1,3上单调递减，又f(0)0，f(1)1，f(3)3，所以函数f(x)的值 域为3，1 解析解析 3,1 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 解 解法一：(利用二次函数的一般式) 设f(x)ax2bxc(a0) 由题意得 4a2bc1， abc1， 4acb2 4a 8， 解得 a4， b4， c7. 故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7. 解解 题型一题型一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试 确定此二次函数的解析式 解法二：(利用二次函数的顶点式) 设f(x)a(

7、xm)2n(a0) f(2)f(1)， 抛物线的对称轴为x21 2 1 2. m1 2，又根据题意函数f(x)有最大值8，n8， yf(x)a x1 2 28. f(2)1，a 21 2 281，解得a4， f(x)4 x1 2 284x24x7. 解解 解法三：(利用两根式) 由已知f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)， 即f(x)ax2ax2a1. 又函数f(x)有最大值8，即4a2a1a 2 4a 8. 解得a4或a0(舍去)， 故所求函数解析式为f(x)4x24x7. 解解 条件探究1 将本例中的“f(2)1，f(1)1”改为“与x轴的两 个

8、交点坐标为(0,0)和(2,0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式 解 设f(x)ax(x2) 因为函数f(x)的最大值为8， 所以a0. 解得a1，b3，c2.所以f(x)x23x2. 解析解析 x23x2 2 如图是二次函数 yf(x)的图象， 若|OC|OB|3|OA|， 且ABC 的面积 S6，求这个二次函数的解析式 解 设二次函数解析式为yax2bxc(a0)， 因为|OB|OC|3|OA|， 所以|AB|OA|OB|4|OA|， 且4|OA|3|OA|1 26，得|OA|1， 所以A(1,0)，B(3,0)，C(0,3) 将三点坐标代入方程，得 300c， 09a3bc， 0

9、abc， 解得a1，b2，c3. 所以二次函数解析式为yx22x3. 解解 角度 1 二次函数的图象 1如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分， 图象过点 A(3,0)，对称轴为直线 x1.给出下面四个 结论： b24ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确；二次函数的图象的对称轴为直线 x1，即 b 2a1,2ab0，错误；结合图象知，当 x1 时，y0，即 abc 0，错误；由对称轴为直线 x1 知，b2a，又函数的图象开口向下， a0，5a2a，即 5a0， 4a3 22a 3， 解得 0a3 4； 当 a0 时，f(x)12x5 在(，3)上是减函数 综上可知，a

10、的取值范围是 0，3 4 . 解析解析 角度 3 二次函数的最值 3已知 f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则 a 的值 为( ) A.5 4 B1 或5 4 C1 或5 4 D5 或5 4 答案答案 解析 f(x)4 xa 2 24a，对称轴为直线 xa 2. 当a 21，即 a2 时，f(x)在0,1上递增， f(x)maxf(1)4a2. 令4a25，得 a 1(舍去) 当 0a 21，即 0af(2mmt2)对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A(， 2) B( 2，0) C(，0)( 2，) D(， 2)( 2，) 答案答案 解析 当 xf(2m

11、mt2)对任意实数 t 恒成立，知4t2mmt2 对任意实数 t 恒成立，即 mt24t2m0 对任意实数 t 恒成立，故有 m0， 168m20， 解得 m(， 2) 解析解析 5当 x(1,3)时，若不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是 _ 解析 设 f(x)x2mx4. 因为 x(1,3)时，不等式 x2mx40)在区间 A 上单调递减(单调递增)，则 A ， b 2a A b 2a， ，即区间 A 一定在函数图象对称轴的左侧 (右侧)如举例说明 2. 3二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指 的是对称轴，结合配方法，根据函数的

12、单调性及分类讨论的思想即可完 成如举例说明 3. 4与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是 a0， b24ac0. (2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是 a0， b24ac0. 如举例说 明 4. (3)af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. (4)f(x)ax2bxc0)在(m，n)上恒成立 fm0， fn0. 如举例 说明 5. (5)f(x)ax2bxc0(a0， fn0. 1(2019 重庆五中模拟)一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是( ) 答案答案 解析 若 a

13、0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bx c 的图象开口向上，故可排除 A；若 a0，b0，从而 b 2a0，而二次函数图象的对称轴在 y 轴的右侧，故排 除 B，选 C. 解析解析 2二次函数 f(x)ax2bxc(xR)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f 3 2 ， f( 3)的大小关系是( ) Af( 2)f 3 2 f( 3) Bf 3 2 f( 2)f( 3) Cf( 3)f( 2)f 3 2 Df( 2)f( 3)f 3 2 答案答案 解析 因为二次函数 f(x)ax2bxc(xR)的最小值为 f(1)，所以函 数的图象开口向上，对称轴为直线 x1，因为 3

14、 21 | 31| 21|， 所以 f( 2)f( 3)f 3 2 . 解析解析 3(2019 陕西西安模拟)已知函数 f(x)x24x，xm,5的值域是 5,4，则实数 m 的取值范围是( ) A(，1) B(1,2 C1,2 D2,5 解析 f(x)x24x(x2)24，当 x2 时，f(2)4，由 f(x) x24x5，解得 x5 或 x1，要使函数在m,5上的值域是 5,4，则1m2. 答案答案 解析解析 4已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零， 则实数 a 的取值范围为_ 解析 2ax22x30 在1,1上恒成立 当 x0 时，30，成立； 当 x0

15、 时，a3 2 1 x 1 3 21 6， 因为1 x(，11，)， 当 x1 时，右边取最小值1 2，acba Babcd Cdcab Dabdc 答案答案 题型三题型三 幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质 解析 观察图象联想 yx2，yx 1 在第一象限内的图象， 可知 c0，d0,0b12d，所以 cd. 综上知 abcd. 解析解析 2若 ，则实数 m 的取值范围是( ) A. ， 51 2 B. 51 2 ， C(1,2) D. 51 2 ，2 答案答案 解析 因为函数在0，)上是增函数， 且， 所以 2m10， m2m10， 2m1m2m1， 解得 51 2 m1 01 0 图象

16、 特殊点 过点(0,0)，(1,1) 过点(0,0)，(1,1) 过点(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 举例说明 1 中，y xa 举例说明 1 中，yxb 举例说明 1 中，yxc， yxd 3幂函数单调性的应用 (1)依据 当 0 时，幂函数 f(x)x在(0，)上单调递增； 当 0 时，幂函数 f(x)x在(0，)上单调递减 (2)两类应用 比较大小； 解不等式，如举例说明 2. 1 已知幂函数的图象关于y 轴对称， 且在(0，)上是减函数，则 n 的值为( ) A3 B1 C2 D1 或 2 解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n

17、1 或 n3， 经检验只有 n1 符合题意，故选 B. 答案答案 解析解析 2若幂函数 (m，nN*，m，n 互质)的图象如图，则 ( ) Am，n 是奇数，且m n 1 Cm 是偶数，n 是奇数，且m n 1 Dm 是奇数，n 是偶数，且m n 1 解析 由图象可知，函数 f(x)为偶函数，所以 m 是偶数，n 是奇数函 数图象在第一象限部分上凸，所以m n 1. 答案答案 解析解析 3已知，则( ) Abac Babc Cbca Dcab 解析 因为， 而函数在(0， )上单调 递增，所以，即 ba0， 14a5 1 20. 答案答案 解析解析 A组组 基础关基础关 2幂函数 (mZ)的图

18、象如图所示，则 m 的值可以为( ) A0 B1 C2 D3 解析 由图象知，m24m0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) 答案答案 解析 由 A 中图象知，a0，c0， b 2a0，所以 b0 矛盾；由 B 中图象知，a0， b 2a0，所以 b0，与 abc0 矛盾； 由 C 中图象知，a0，c0， b 2a0，与 abc0 矛盾；由 D 中图象知，a0，c0，所以 b0 成立 解析解析 5(2019 吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数 f(x)xn的图象上， 设 af 3 3 ，bf(ln )，cf 2 2 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aacb Ba

19、bc Cbca Dbac 解析 由点(2,8)在幂函数 f(x)xn的图象上，可得 2n8，解得 n3， 所以f(x)x3.所以f(x)在R上是增函数 因为0 3 3 2 2 1ln ， 所以f 3 3 f 2 2 f(ln )，即 acb. 答案答案 解析解析 6 已知 a， b， cR， 函数 f(x)ax2bxc.若 f(1)f(3)f(4)， 则( ) Aa0,4ab0 Ba0,4ab0 Ca0,2ab0 Da0,2ab0 解析 因为 f(1)f(3)，则直线 x2 为对称轴，故 b 2a2，则 4ab 0，又 f(3)f(4)，所以 f(x)在(2，)上为减函数，所以函数 f(x)的

20、图象 开口向下，所以 a0. 答案答案 解析解析 7(2020 百色市摸底)已知函数 f(x)x2xc，若 f(0)0，f(p)0 时，图象开口向上， 所以当 x2 时取得最大值，即 f(2)4a4a14， 解得 a3 8； 当 a0，若 a，bR，且 ab0，则 f(a) f(b)的值( ) A恒大于 0 B恒小于 0 C等于 0 D无法判断 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 对任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，满足fx 1fx2 x1x2 0， 幂函数 f(x)在(0，)上是增函数， m2m11， 4m9m510， 解得 m2，则 f(x)x2015. 函数 f(x)x2015

21、在 R 上是奇函数， 且为增函数， 由 ab0， 得 ab， f(a)f(b)f(b)， f(a)f(b)0.故选 A. 解析解析 2已知二次函数 f(x)ax2bxc 是偶函数，若对任意实数 x1，x2都有 f x1x2 2 fx 1fx2 2 ，则 f(x)的图象可能是( ) 答案答案 解析 二次函数 f(x)ax2bxc 是偶函数， 则 b0， 图象关于 y 轴对 称，所以排除 A，D；对任意实数 x1，x2都有 f x1x2 2 fx 1fx2 2 ，所以函 数 f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数 a0，即排除 B.故选 C. 解析解析 3已知函数 f(x)x22x1，如果

22、使 f(x)kx 对任意实数 x(1，m 都成立的 m 的最大值是 5，则实数 k_. 解析 设 g(x)x2(2k)x1. 设不等式 g(x)0 的解集为 axb. 则 (2k)240，解得 k4 或 k0， 又因为函数 f(x)x22x1，且 f(x)kx 对任意实数 x(1，m恒成立； 所以(1，ma，b，所以 a1，bm，所以 g(1)4k4， m 的最大值为 b，所以有 b5. 即 x5 是方程 g(x)0 的一个根，代入 x5， 解得 k36 5 . 解析解析 36 5 4已知函数 f(x)ax22ax2b(a0)，若 f(x)在区间2,3上有最大 值 5，最小值 2. (1)求 a，b 的值； (2)若 b0 时，f(x)在2,3上为增函数， 故 f35， f22 3a2b5， 2b2 a1， b0. 当 a0 时，a1，b0，当 a0 时，a1，b3. (2)b1，a1，b0，即 f(x)x22x2. g(x)x22x2mxx2(2m)x2， g(x)在2,4上单调，2m 2 2 或2m 2 4. m2 或 m6. 故 m 的取值范围为(，26，) 解解 本课结束本课结束