第3讲　二项式定理 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第3 3讲讲 二项式定理二项式定理 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二 项展开式有关的简单问题(重点) 2熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质(难 点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的常考知识点预测 2021 年将会考查：求二项式的特定项或项的系数；求二项式系数的最 大项或二项式系数的和；与其他知识进行综合考查题型以客观题形式 考查，难度不大，属中

2、、低档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.二项式定理 二项式定理 (ab)n01 _ (nN*) 二项展开式 的通项公式 Tr102 _，它表示第03 _项 二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数 C0 n，C 1 n，C n n C0 na nC1 na n1b1Cr na nrbrCn nb n Cr na nrbr r1 2二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即01 _ 当 k02 _ (nN*)时，是递增的 增减性 二项式系 数 Ck n 当 k03 _ (nN*)时，是递减的 当 n 为偶数时，中间的一项04

3、 _取得最大值 最大值 当 n 为奇数时，中间的两项05 _和06 _取得最大值 Cm nC nm n n1 2 n1 2 3常用结论 (1)C0 nC 1 nC 2 nC n n2 n. (2)C0 nC 2 nC 4 nC 1 nC 3 nC 5 n2 n1. (3)C1 n2C 2 n3C 3 nnC n nn2 n1. (4)Cr mC 0 nC r1 m C1 nC 0 mC r nC r mn. (5)(C0 n) 2(C1 n) 2(C2 n) 2(Cn n) 2Cn 2n. 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数

4、与 a，b 无关( ) (2)二项式 x2 x 6 的展开式的第二项系数是 C1 6.( ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( ) (4)若(x1)7a7x7a6x6a1xa0，则 a7a6a1的值为 0.( ) 2小题热身 (1) x 1 2 x 8 的展开式中常数项为( ) A.35 16 B.35 8 C.35 4 D105 解析 二项展开式的通项为 Tk1Ck 8( x) 8k 1 2 x k 1 2 kCk 8x 4k， 令 4k0，解得 k4，所以 T5 1 2 4C4 835 8 . 答案答案 解析解析 (2)若二项式 x22 x n 展开式的二项式系数之和

5、为 8，则该展开式的系数 之和为( ) A1 B1 C27 D27 解析 依题意，得二项式系数的和为 2n8，所以 n3，故二项式为 x22 x 3，令 x1，可求得系数之和为(12)31. 答案答案 解析解析 (3)(2x)5的展开式中 x 的系数为_ 解析 (2x)5的展开式中 x 的系数为 C1 52 4(1)80. 80 解析解析 解析 (13x)n的展开式的通项为 Tr1Cr n(3x) r， 令 r2， 得 T 39C 2 nx 2. 由题意，得 9C2 n54，解得 n4. (4)已知(13x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n_. 4 2 经典题型冲关经典题型冲关

6、PART TWO 角度 1 求二项展开式中的特定项或系数 1(2018 全国卷) x22 x 5 的展开式中 x4的系数为( ) A10 B20 C40 D80 解析 由题意可得 Tr1Cr 5(x 2)5r 2 x rCr 5 2 r x103r.令 103r4，则 r 2，所以 Cr 5 2 rC2 52 240，故选 C. 答案答案 解析解析 题型一题型一 二项展开式二项展开式 2(2019 广东省六校第一次联考)若 a 0 (2sinxcosx)dx，则 a x x 6 的展开式中常数项是_ 解析 a 0 (2sinxcosx)dx(2cosxsinx)| 04， 4 x x 6 的展

7、开 式的第 r1 项为 Tr1Cr 6 4 x 6r( x)r46r (1)rCr 6x 3r 2 6.令3r 2 60，得 r 4， a x x 6 的展开式中常数项是 46 4(1)4C4 6240. 240 解析解析 角度 2 求多项展开式的特定项或系数 3(2019 全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为( ) A12 B16 C20 D24 解析 解法一： (12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C3 42C 1 412. 故选 A. 解法二：(12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)，x3的系 数为 142412.故选 A. 答案答案 解析解

8、析 4(2019 陕西黄陵中学模拟) x1 x2 5 的展开式中 x2的系数为( ) A120 B80 C20 D45 解析 x1 x2 5 x 1 x 2 5 x 1 x 10.T r1C r 10( x) 10r 1 x r Cr 10 x 5r. 令 5r2 解得 r3. T4C3 10 x 2120 x2， 所以 x1 x2 5 的展开式中 x2的系数为 120. 答案答案 解析解析 角度 3 已知二项展开式某项的系数求参数 5(2019 黄山模拟)已知(1x)(1ax)5的展开式中 x2的系数为5 8，则 a( ) A1 B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析 (1x)(1ax)5

9、(1x)(15ax10a2x210a3x35a4x4a5x5)的 展开式中 x2的系数为 10a25a5 8，解得 a 1 4. 答案答案 解析解析 1求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将 Tr1项写出并化简 (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数 为整数等)，解出 r. (3)代回通项得所求见举例说明 1,2. 2求解形如(ab)m(cd)n的展开式问题的思路 (1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)n (a22abb2)(cd)n，然后分别求解 (2)观察(ab)(cd)是否可以合并， 如(1x)5(1x

10、)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2. (3)分别得到(ab)m，(cd)n的通项公式，综合考虑 3求形如(abc)n的展开式中特定项的四步骤 1(2019 华中师范大学第一附中模拟)已知(x1)5(x2)9a0 a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，则 a7( ) A9 B36 C84 D243 解析 令 tx1，则(x1)5(x2)9(t2)5(t1)9，只有(t1)9 的展开式中含有 t7项，所以 a7C2 9(1) 236. 答案答案 解析解析 2若(1ax)7(a0)的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 a_. 解析 展开式的通项为 Tr1Cr 7(ax) r

11、，因为 x5 与 x6的系数相等，所以 C5 7a 5C6 7a 6，解得 a3. 3 解析解析 3(2019 浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_， 系数为有理数的项的个数是_ 解析 由二项展开式的通项公式可知 Tr 1C r 9 ( 2)9 r xr ， rN,0r9，当为常数项时，r0，T1C0 9 ( 2) 9 x0( 2)916 2.当项的 系数为有理数时，9r 为偶数，可得 r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的 个数是 5. 16 2 解析解析 5 1(2019 东北三校联考)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 |a0|a1|a2|a3

12、|a4|a5|( ) A0 B1 C32 D1 解析 由(1x)5的展开式的通项 Tr1Cr 5(x) rCr 5(1) rxr，可知 a 1， a3，a5都小于 0.则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5.在 原二项展开式中令 x1，可得 a0a1a2a3a4a50. 答案答案 解析解析 题型二题型二 二项式系数的性质或各项系数的和二项式系数的性质或各项系数的和 结论探究 1 本例中的条件不变，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5| _. 解析 因为(1x)5的展开式的各项系数之和为|a0|a1|a2|a3|a4| |a5|，令 x1，得|a0|a1|a2|a3|

13、a4|a5|2532. 32 解析解析 结论探究 2 本例中的条件不变，则 a0a2a4_. 16 解析 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5，令 x1，得 25a0 a1a2a3a4a5，两式相加，得 322(a0a2a4)，所以 a0a2a4 16. 2已知 x 1 24x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列 (1)求 n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项 解 (1)由二项展开式，知前三项的系数分别为 C0 n， 1 2C 1 n， 1 4C 2 n，由已知， 得 21 2C 1 nC 0 n1 4C 2 n，解得 n8(n1 舍去) (2) x 1 24

14、x 8 的展开式的通项 Tr1Cr 8( x) 8r 1 24x r2rCr 8x 43r 4 (r 0,1，8)， 要求有理项，则 43r 4 必为整数，即 r0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1x4，T535 8 x，T9 1 256x2. 解解 (3)设第 r1 项的系数为 ar1最大，则 ar12 rCr 8， 则a r1 ar 2 rCr 8 2 r1Cr1 8 9r 2r 1， ar1 ar2 2 rCr 8 2 r1Cr1 8 2r1 8r 1， 解得 2r3. 当 r2 时，a32 2C2 87，当 r3 时，a42 3C3 87， 因此，第 3 项和第 4 项的系数

15、最大， 故系数最大的项为 T37x 5 2，T47x 7 4. 解解 1赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都成立因此， 可将 a，b 设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令 a，b 等于多少时， 应视具体情况而定，一般取“1，1 或 0”，有时也取其他值如： (1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系 数之和，只需令 x1 即可见举例说明 1. (2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 xy1 即可 2二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 (1)一般地，若 f(x)a0

16、a1xa2x2anxn，则 f(x)的展开式中各项系 数之和为 f(1) (2)奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 . (3)偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 3求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大” 两者中的哪一个 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(ab)n中 n 的奇偶及二 次项系数的性质求解若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下： 思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的式子，可以看作 关于 n 的数列，通过判断数列增减性的方法从而判断系数的增减性，并根 据系数的增减性求出系

17、数的最值见举例说明 2. 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提 下，求最大值只需解不等式组 akak1， akak1 即可求得答案. 1(2020 广东揭阳模拟)已知(2x 2)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 (a0a2a4)2(a1a3)2_. 解析 解法一：由题意，取 x1，得( 22)4(a0a2a4)(a1a3)； 取 x1，得( 22)4(a0a2a4)(a1a3) 相乘，得(a0a2a4)2(a1a3)2( 22)4( 22)4( 2)2 22416. 解法二： 由题意及二项式定理， 得 a04， a116 2， a248， a332 2， a41

18、6.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(44816)2(16 232 2)216. 16 解析解析 2已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项 式系数和大 992，则在 2x1 x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为 _，系数的绝对值最大的项为_ 解析 由题意，知 22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故 2n32， 解得 n5.由二项式系数的性质，知 2x1 x 10 的展开式中第 6 项的二项式系 数最大，故二项式系数最大的项为 T6C5 10 (2x) 5 1 x 58064. 8064 解析解析 15360 x4 设第 k1 项的系数的绝对

19、值最大，则 Tk1Ck 10 (2x) 10k 1 x k(1)kCk 10 2 10k x102k， 令 Ck 10 2 10kCk1 10 210 k1， Ck 10 2 10kCk1 10 210 k1， 得 Ck 102C k1 10 ， 2Ck 10C k1 10 ， 即 11k2k， 2k110k， 解得8 3k 11 3 . kZ，k3. 故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4C3 10 2 7 x415360 x4. 解析解析 1 已知 n 为满足 SaC1 27C 2 27C 3 27C 27 27(a3)能被 9 整除的正 数 a 的最小值，则 x1 x n 的展开式中

20、，二项式系数最大的项为( ) A第 6 项 B第 7 项 C第 11 项 D第 6 项和第 7 项 题型三题型三 二项式定理的应用二项式定理的应用 答案答案 解析 由于 SaC1 27C 2 27C 3 27C 27 27a2 27189a1 (91)9a1C0 99 9C1 99 8C8 99C 9 9a19(C 0 99 8C1 9 97C8 9)a2，a3，所以 n11，从而 x1 x 11 的展开式中的系数 与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为 第 6 项和第 7 项，且第 6 项系数为负，第 7 项系数为正，所以第 7 项系数 最大 解析解析 解 1.05

21、6 (1 0.05)6 1 60.05 150.052 1 0.3 0.03751.34. 解解 2计算 1.056.(精确到 0.01) 二项式定理应用的常见题型及求解策略 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问 题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项见举例 说明 1. (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合 适的形式 (3)利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，|x|比较小时，(1x)n 1nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1x)n1nx nn1 2 x2. 1(2019 银川模拟)C1 n2C 2 n

22、4C 3 n2 n1Cn n等于( ) A3n B2 3n C.3 n 2 1 D.3 n1 2 解析 C1 n2C 2 n4C 3 n2 n1Cn n1 2(C 0 n2C 1 n2 2C2 n2 nCn n)1 2 1 2(12) n1 2 3n1 2 . 答案答案 解析解析 28836 被 49 除所得的余数是( ) A14 B0 C14 D35 解析 由二项式定理展开，得 8836(71)836 783C1 837 82C81 837 2C82 83716 72M8377(M 是正整数) 49M4912 49N(N 是正整数) 8836 被 49 除所得的余数是 0. 答案答案 解析解

23、析 解 0.9986(10.002)6160.002150.002210.012 0.000060.988. 解解 3求 0.9986的近似值(精确到 0.001) 易错防范 二项展开式中项的系数与二项式系数 典例 设(5x x)n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和 为 N，若 MN240，则展开式中二项式系数最大的项为_ 解析 依题意，得 M4n(2n)2，N2n， 于是有(2n)22n240，(2n15)(2n16)0， 2n1624，解得 n4. 要使二项式系数 Cr 4最大，只有 r2， 故展开式中二项式系数最大的项为 T3C2 4(5x) 2 ( x)2150 x3. 15

24、0 x3 解析解析 防范措施 明确二项式系数与项的系数的区别 (abx)n的展开式中，二项式系数是指 C0 n，C 1 n，C n n，它们是组合数， 只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量 外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关如第 r1 项的二项式系数是 Cr n，而该项的系数是 C r na nrbr.当然，在某些特殊的 二项展开式(如(1x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的 3 课时作业课时作业 PART THREE 1. x21 x 6 的展开式中( ) A不含 x9项 B含 x4项 C含 x2项 D不含 x 项 A组组

25、 基础关基础关 解析 Tr1(1)rCr 6x 122rxr(1)rCr 6x 123r，故 x 的次数为 12,9,6,3,0， 3，6.故选 D. 答案答案 解析解析 2 (2019 合肥一模)若 ax 1 x 6 展开式的常数项为 60， 则 a 的值为( ) A4 B 4 C2 D 2 解析 Tr1Cr 6(ax) 6r 1 x r(1)rCr 6a 6r x63 2r，令 63 2r0，解得 r 4，(1)4C4 6a 260，解得 a 2. 答案答案 解析解析 3已知(12x)n(nN*)展开式中 x3的系数为80，则展开式中所有项 的二项式系数之和为( ) A64 B32 C1

26、D1 解析 依题意，(12x)n的展开式的通项 Tr1C r n 1 nr (2x)r Cr n (2) r xr，于是有 C3 n (2) 380，即 C3 n10C 3 5，n5.因此(12x) n 的 展开式中所有项的二项式系数之和为 2532，故选 B. 答案答案 解析解析 4 (2020 荣成摸底)在 1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的 展开式中，含 x2项的系数是( ) A10 B15 C20 D25 解析 含 x2项的系数为 C2 2C 2 3C 2 4C 2 520. 答案答案 解析解析 5(2019 宁波模拟)在(x2)2019的二项展开式中，含 x 的奇次

27、幂的项的 系数之和为 M，含 x 的偶次幂的项的系数之和为 N，则当 x1 时，MN ( ) A(3)2019 B1 C1 D32019 解析 设(x2)2019a0 x2019a1x2018a2018xa2019， 则当 x1 时， 有 a0(1)2019a1(1)2018a2018(1)a2019a0a1a2018 a2019(3)2019，即 MN(a0a2a2018)(a1a3a2019)32019. 答案答案 解析解析 6若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1 x)n，则 a0a1a2(1)nan等于( ) A.3 4(3 n1) B.3 4(3 n2)

28、 C.3 2(3 n2) D.3 2(3 n1) 解析 在展开式中，令 x2，得 332333na0a1a2a3 (1)nan，即 a0a1a2a3(1)nan313 n 13 3 2(3 n1) 答案答案 解析解析 7 (2019 湘赣十四校第一次联考)(x31) x2 x 6 的展开式中的常数项为 ( ) A60 B240 C80 D180 解析 x2 x 6 的通项为 Cr 62 rx63r 2，所以(x31) x2 x 6 的展开式中的 常数项为 x3C4 62 4x6 12 2 (1) C2 62 2x6 6 2 ，即 C4 62 4C2 62 224060180，所以 (x31)

29、x2 x 6 的展开式中的常数项为 180. 答案答案 解析解析 8(2019 天津高考) 2x 1 8x3 8 的展开式中的常数项为_ 解析 2x 1 8x3 8 的通项为 Tr1Cr 8 2x 8r 1 8x3 rCr 82 8r 1 8 r x84r.令 8 4r0，得 r2，常数项为 T3C2 82 6 1 8 228. 28 解析解析 9已知(2x1)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4，则 a2 _. 解析 (2x1)42(x1)14，T21C2 42(x1) 224(x1)2. 24 解析解析 10(2019 福州市高三期末测试)设 n 为正整数， x 2

30、 x3 n 的展开式中仅 有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_ 解析 依题意，得 n8，所以展开式的通项 Tr1C r 8x 8r 2 x3 r Cr 8x 84r(2)r，令 84r0，解得 r2，所以展开式中的常数项为 T 3 C2 8(2) 2112. 112 解析解析 1设 m 为正整数，(xy)2m的展开式的二项式系数的最大值为 a，(x y)2m 1 的展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7b，则 m( ) A5 B6 C7 D8 B组组 能力关能力关 解析 由题意， 得 aCm 2m， bC m 2m1， 所以13C m 2m7C m 2m1， 所以13

31、2m！ m！ m！ 7 2m1！ m！ m1！，所以 72m1 m1 13，解得 m6，故选 B. 答案答案 解析解析 2(2019 洛阳模拟)若(12020 x)2019a0a1xa2x2a2019x2019 (xR)，则 a1 2020 a2 20202 a2019 20202019的值为( ) A20202019 B1 C0 D1 解析 令 x0，得 a01，令 x 1 2020，得 0a0 a1 2020 a2 20202 a2019 20202019，所以 a1 2020 a2 20202 a2019 202020191. 答案答案 解析解析 3设 aZ，且 0a13，若 51202

32、0a 能被 13 整除，则 a( ) A0 B1 C11 D12 解析 512020a(521)2020a522020C 1 202052 2019(1) C2019 202052(1) 20191a，52 能被 13 整除，只需 a1 能被 13 整除 即可，又 aZ，且 0a13，a12.故选 D. 答案答案 解析解析 4若 0 n|x5|dx25，则(2x1)n 的二项展开式中 x2的系数为_ 解析 依题意，当 0n5 时， 0 n(5x)dx 5x1 2x 2 |n 05n1 2n 225， 即 n210n500，1004505 时， 0 5(5x)dx 5 n(x5)dx 5x1 2

33、x 2 |5 0 1 2x 25x |n 51 2n 25n2525(n5)， 由 此解得 n10，(2x1)n(2x1)10的展开式的通项 Tr1Cr 10 (2x) 10r (1)r Cr 10 2 10r (1)r x10r.令 10r2，得 r8.因此，(2x1)n(2x1)10 的展 开式中 x2的系数为 C8 10 2 2 (1)8180. 180 解析解析 5.设函数 f(x) 1 x2x 6，x0 时， ff(x)表达式的展开式中 的常数项为_(用数字作答) 解析 根据题意，得当 x0 时，ff(x) 1 x2 x 6，所以其通项公式 为 Tr1Cr 6 x 1 2 6r 2x

34、 1 2 rCr 6(1) 6r 2rxr3，当 r3 时，得到 ff(x)表达式 的展开式中的常数项为 C3 6(1) 6323160. 160 解析解析 6(2019 江南十校联考)在(xyz)6的展开式中，所有形如 xaybz2(a，b N)的项的系数之和是_(用数字作答) 解析 (xyz)6(xy)z6，则(xy)z6的展开式的通项为 Tr1 Cr 6(xy) 6rzr，所以含 z2 的项为 C2 6(xy) 4z2，则形如 xaybz2 的项的系数之和 为 C2 6(xy) 4 的展开式的系数之和 令 xy1， 得(xy)4的展开式的系数之 和为 2416，故形如 xaybz2的项的系数之和是 C2 616240. 240 解析解析 本课结束本课结束