第3讲基本不等式 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第3 3讲讲 基本不等式基本不等式 第六章 不等式 考纲解读 1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最 值问题(重点) 2掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“ 和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021 年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考 查，体现基本不等式的工具性试题难度不大，但技巧性强，灵活多变， 客观题或

2、解答题均可能出现. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.基本不等式 不等式 成立的条件 等号成立的条件 两个不等式的关系 a2b22ab 01 _ 02 _ abab 2 03 _ 04 _ 在不等式 a2b22ab 中，若 a0，b0， 分别以 a， b代替 a， b 可得 ab2 ab， 即 abab 2 ab a0，b0 ab a，bR 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为05 _，几何平均数为06 _， 基本不等式可叙述为07 _ _ 两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数 ab 2 ab 2利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则： (1)如果积 x

3、y 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有01 _值是 2 p(简记：02 _) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有03 _值是 p2 4 (简记：04 _) 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽 略某个条件，就会出现错误 最小 积定和最小 最大 和定积最大 3几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR) (2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2(a，bR) (4) ab 2 2a 2b2 2 (a，bR)， 2(a2b2)(ab)2(a，bR) (5)a 2b2 2 ab 2 4 ab(a，bR) (

4、6) a2b2 2 ab 2 ab 2 1 a 1 b (a0，b0) 1概念辨析 (1)两个不等式 a2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的( ) (2)函数 f(x) x22 1 x22的最小值为 2.( ) (3)x0 且 y0 是x y y x2 的充要条件( ) 答案 (1) (2) (3) 答案答案 2小题热身 (1)若 x0，则 x1 x( ) A有最小值，且最小值为 2 B有最大值，且最大值为 2 C有最小值，且最小值为2 D有最大值，且最大值为2 解析 因为 x0，所以x0，x 1 x2，当且仅当 x1 时，等 号成立，所以 x1 x2. 解析解析 答案答案 (2)

5、设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 解析 由基本不等式 18xy2 xy9 xyxy81，当且仅当 x y 时，xy 有最大值 81，故选 C. 答案答案 解析解析 (3)已知 lg alg b2，则 lg (ab)的最小值为( ) A1lg 2 B2 2 C1lg 2 D2 解析 由 lg alg b2，可知 a0，b0，lg (ab)2，即 ab100.所以 a b2 ab2 10020， 当且仅当ab10时取等号， 所以lg (ab)lg 20 1lg 2.故 lg (ab)的最小值为 1lg 2. 答案答案 解析解析 (4)周长为

6、12 的矩形，其面积的最大值为_ 解析 设此矩形的长和宽分别为 x，y，则 2(xy)12，xy6.所以 xy xy 2 29.当且仅当 xy3 时，xy 取得最大值 9.即此矩形面积的最大 值为 9. 9 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 角度 1 直接应用 1 (2019 开封模拟)若实数 x， y 满足 2x2y1， 则 xy 的最大值是( ) A4 B2 C2 D4 解析 由题得 2x2y2 2x 2y2 2x y(当且仅当 xy1 时取等号)， 所以 12 2x y，所以1 42 xy，所以 222xy，所以 xy2.所以 xy 的最大值为2. 答案答案 解析

7、解析 题型 一 利用基本不等式求最值 角度 2 拼凑法求最值 2(1)求 f(x)4x2 1 4x5 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值为( ) A3 B4 C.9 2 D.11 2 解析 因为 x0，y0，且 x2y2xy8，所以 x2y82xy8 x2y 2 2，当且仅当 x2y，即 x2，y1 时，等号成立整理得(x2y)2 4(x2y)320， 解得 x2y4 或 x2y8.又 x2y0， 所以 x2y4. 故 x2y 的最小值为 4. 答案答案 解析解析 条件探究 将本例中的条件“x2y2xy8”改为“4xyx2y4”，其 他条件不变，则 xy 的最小值为_ 解析 因为

8、 x0，y0 且 4xyx2y4，所以 4xy4x2y2 2xy， 当且仅当 x2y，即 x2，y1 时，等号成立整理可得 2xy 2xy20. 解得 2xy2，即 xy2，所以 xy 的最小值为 2. 2 解析解析 角度 4 常数代换法求最值(多维探究) 4(2019 北京师大附中模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5， 若存在两项 am，an，使得 aman16a2 1，则 1 m 9 n的最小值为( ) A.3 2 B.8 3 C.11 4 D不存在 答案答案 解析 设正项等比数列an的公比为 q，且 q0， 由 a7a62a5得 a6qa62a6 q ， 化简得，q2q20，解

9、得 q2 或 q1(舍去)， 因为 aman16a2 1，所以(a1q m1)(a 1q n1)16a2 1， 则 qm n216，解得 mn6， 所以 1 m 9 n 1 6 1 m 9 n (mn)1 6 10 n m 9m n 1 6 102 n m 9m n 8 3. 解析解析 当且仅当 n m 9m n 时取等号，此时 n m 9m n ， mn6， 解得 m3 2， n9 2， 因为 m，n 取正整数，所以均值不等式等号条件取不到， 则 1 m 9 n 8 3， 验证可得，当 m2，n4 时， 1 m 9 n取得最小值为 11 4 . 解析解析 条件探究 将本例中数列an满足的条件

10、改为“数列an是等差数列， an0，且 a52”，则 1 a2 9 a8的最小值为_ 解析 由已知得， a2a82a54， 且 a20， a80.所以 1 a2 9 a8 1 4 1 a2 9 a8 (a2a8)1 4 10a8 a2 9a2 a8 1 4 102 a8 a2 9a2 a8 4，当且仅当a8 a2 9a2 a8 ，即 a8 3a2时等号成立所以 1 a2 9 a8的最小值为 4. 4 解析解析 1拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数 的调整，做到等价变形如举例说明 2(2)； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标如

11、举例说明 2(1)； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件 2通过消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转 化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基 本不等式求解 3常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的 形式如举例说明 4； (4)利用基本不等式求解最值 1若正数 x，y 满足 x23xy10，则 xy 的最小值是( ) A. 2 3 B.2 2 3 C. 3 3 D.2 3 3 解

12、析 对于 x23xy10 可得 y1 3 1 xx ，xy 2x 3 1 3x2 2 9 2 2 3 当且仅当x 2 2 时等号成立 .故选 B. 答案答案 解析解析 2(2020 岳阳一中月考)已知 ab0，则 2a 4 ab 1 ab的最小值为 ( ) A6 B4 C2 3 D3 2 答案答案 解析 因为 ab0，所以 ab0，ab0， 所以 2a 4 ab 1 abab 4 abab 1 ab2 ab 4 ab 2ab 1 ab426. 当且仅当 ab 4 ab且 ab 1 ab， 即 a3 2，b 1 2时等号成立 所以 2a 4 ab 1 ab的最小值为 6. 解析解析 角度 1 基

13、本不等式中的恒成立问题 1(2019 河南平顶山一模)若对任意 x0， x x23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是( ) Aa1 5 Ba1 5 Ca1 5 Da1 5 答案答案 题型题型 二二 基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用 解析 因为对任意 x0， x x23x1a 恒成立， 所以对 x(0，)，a x x23x1 max， 而对 x(0，)， x x23x1 1 x1 x3 1 2x 1 x3 1 5， 当且仅当 x1 时等号成立，所以 a1 5.故选 A. 解析解析 角度 2 基本不等式与其他知识的综合问题 2(2019 昆明模拟)如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB

14、4，AD3，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且EAF45 . 设BAE， 当四边形 AECF 的面积取得最大值时， 则 tan _. 解析 在直角三角形 ABE 中，可得 BE4tan(0tan1)，在直角三角 形ADF中， DF3tan(45 )， 可得四边形AECF的面积S121 244tan 1 2 33tan(45 )128tan 9 2 1tan 1tan 208(1tan) 9 2 1 2 1tan 49 2 8(1tan) 9 1tan 49 2 281tan 9 1tan 49 2 12 2，当且仅当 8(1tan) 9 1tan ，即 tan 3 2 4 1，且满足 0t

15、an0 恒成立，得 k13x 2 3x. 3x 2 3x2 2，当且仅当 3 x2 3x时，等号成立k12 2，即 k0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 mb1 a，na 1 b，则 mn 的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 解析 由题意知 ab1，mb1 a2b，na 1 b2a，mn2(a b)4 ab4，当且仅当 ab1 时取等号，故 mn 的最小值为 4. 答案答案 解析解析 3已知 pa 1 a2，q 1 2 x22，其中 a2，xR，则 p，q 的大小 关系是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 解析 由 a2，故 pa 1 a2(a2) 1 a22224，当且仅 当

16、a3 时取等号因为 x222，所以 q 1 2 x22 1 2 24，当且仅 当 x0 时取等号，所以 pq.故选 A. 答案答案 解析解析 4(2019 郑州外国语学校月考)若 ab1，P lg a lg b，Q1 2(lg a lg b)，Rlg ab 2 ，则( ) ARPQ BQPR CPQR DPRQ 解析 因为 ab1， 所以 lg a0， lg b0， 且 lg alg b， 所以 lg a lg b 1 2(lg alg b)，由 ab ab 2 ，得 lg ablg ab 2 .所以1 2(lg alg b)lg ab 2 ，综上知 PQR. 答案答案 解析解析 5若正数 x

17、，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是( ) A.4 3 B.5 3 C2 D.5 4 解析 由 x0，y0，得 4x29y23xy2 (2x) (3y)3xy(当且仅当 2x 3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2. 答案答案 解析解析 6 几何原本第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后 世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定 理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示的图形， 点 F 在半圆 O 上，点 C 在半径 OB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则 该图形可以完成的无字证明为

18、( ) A.ab 2 ab(a0，b0) Ba2b22ab(a0，b0) C. 2ab ab ab(a0，b0) D.ab 2 a2b2 2 (a0，b0) 答案答案 解析 由图可知 OF1 2AB ab 2 ，OCab 2 . 在 RtOCF中， 由勾股定理可得 CF OF2OC2 ab 2 2 ab 2 2 a2b2 2 .CFOF， a2b2 2 ab 2 (a0，b0)故选 D. 解析解析 7(2019 中山模拟)已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成 立，则正实数 a 的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 解析 已知不等式(xy) 1 x a y 9

19、对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(x y) 1 x a y 的最小值大于或等于 9， (xy) 1 x a y 1ay x ax y a2 a 1，当且仅当 y ax 时，等号成立，a2 a19， a2 或 a 4(舍去)，a4，即正实数 a 的最小值为 4. 答案答案 解析解析 8 (2020 陕西榆林摸底)已知正数 x， y 满足 x2y21， 则当 x_ 时，1 x 1 y取得最小值，最小值为_ 解析 由基本不等式可得 x2y22xy，当且仅当 xy 时等号成立 正数 x，y 满足 x2y21，xy1 2，当且仅当 xy 2 2 时等号成立1 x 1 y2 1 xy2 2，当且仅当

20、xy 2 2 时等号成立，1 x 1 y的最小值为 2 2. 2 2 解析解析 2 2 9 设 x， y 均为正数， 且 xyxy100， 则 xy 的最小值是_ 解析 因为 x，y 均为正数，且 xyxy100， 所以 x(y1)y10，xy10 y1 1 9 y1， 所以 xy1 9 y1yy1 9 y1 2y1 9 y16， 当且仅当 y1 9 y1，即 y2 时等号成立 所以 xy 的最小值是 6. 6 解析解析 10(2017 江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨， 运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存 储费用之和最小，

21、则 x 的值是_ 解析 一年的总运费为 6600 x 3600 x (万元) 一年的总存储费用为 4x 万元 总运费与总存储费用的和为 3600 x 4x 万元 因为3600 x 4x2 3600 x 4x240， 当且仅当3600 x 4x，即 x30 时取得等号， 所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小 30 解析解析 1(2019 东北育才学校模拟)设OA (1，2)，OB (a，1)，OC ( b,0)(a0，b0，O 为坐标原点)，若 A，B，C 三点共线，则2 a 1 b的最小值是 ( ) A4 B.9 2 C8 D9 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 AB OB

22、 OA (a1,1)，AC OC OA (b1,2)，若 A， B，C 三点共线，则有 AB AC ， (a1)21(b1)0，2ab1，又 a0，b0，2 a 1 b 2 a 1 b (2ab)52b a 2a b 52 2b a 2a b 9，当且仅当 2b a 2a b ， 2ab1， 即 a b1 3时等号成立故选 D. 解析解析 2已知函数 f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜 率为 2，则8ab ab 的最小值是( ) A10 B9 C8 D3 2 答案答案 解析 由函数 f(x)ax2bx，得 f(x)2axb，由函数 f(x)的图象在 点(1，f

23、(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2ab2，所以8ab ab 1 a 8 b 1 2 1 a 8 b (2ab)1 2 10b a 16a b 1 2 102 b a 16a b 1 2(108)9，当且仅 当b a 16a b ，即 a1 3，b 4 3时等号成立，所以 8ab ab 的最小值为 9，故选 B. 解析解析 3(2019 河北石家庄模拟)若 a，b 是正数，直线 2axby20 被圆 x2y24 截得的弦长为 2 3，则 ta 12b2取得最大值时 a 的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D.3 4 答案答案 解析 因为圆心到直线的距离 d 2 4a2b

24、2，则直线被圆截得的弦长 L 2r2d224 4 4a2b22 3，所以 4a 2b24.则 ta 12b2 1 2 2 (2 2a) 12b 2 1 2 2 1 2(2 2a) 2( 12b2)2 1 4 2 8a 212(4 4a2)9 2 8 ，当且仅当 8a212b2， 4a2b24 时等号成立，此时 a3 4，故选 D. 解析解析 4(2019 江淮十校模拟)已知函数 f(x)|ln (x1)|，若 f(a)f(b)，则 a 2b 的取值范围为( ) A(4，) B32 2，) C6，) D(4,32 2 解析 函数f(x)|ln (x1)|， f(a)f(b)， 且x1， 不妨设a

25、b， 则1a2b. ln (a1)ln (b1)， 1 a1b1， b 1 a11， a2ba 2 a1 2a1 2 a1332 a1 2 a132 2，当且仅当 a 21 取等号，a2b 的取值范围是32 2，) 答案答案 解析解析 5(2019 天津一中高考模拟)已知关于 x 的不等式 x25ax2a20) 的解集为(x1，x2)，则 x1x2 a x1x2的最小值是_ 10 解析 由于 a0，故一元二次方程 x25ax2a20 的判别式 25a2 4 2a217a20， 由根与系数的关系，得 x1x25a， x1x22a2， 则 x1x2 a x1x25a a 2a25a 1 2a 25a 1 2a 10， 当且仅当 5a 1 2a，a 10 10 时等号成立 综上可得 x1x2 a x1x2的最小值是 10. 解析解析 6当 0m1 2时，若 1 m 2 12mk 22k 恒成立，则实数 k 的取值范围 为_ 解析 因为 0m1 2，所以 1 22m(12m) 1 2 2m12m 2 21 8，当 且仅当 2m12m，即 m1 4时取等号，所以 1 m 2 12m 1 m12m8，又 1 m 2 12mk 22k 恒成立，所以 k22k80，所以2k4.所以实数 k 的取值范围是2,4 2,4 解析解析 本课结束本课结束