第1讲　集合的概念与运算 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第1 1讲讲 集合的概念与运算集合的概念与运算 第一章 集合与常用逻辑用语 考纲解读 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能用自然语言、 图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题 2理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含 义(重点) 3在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交 集，会求给定子集的补集(重点、难点) 4能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及基本运算 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲

2、一直是高考中的必考内容预测 2021 年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求 函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：01 _、02 _、03 _ (2)元素与集合的关系有04 _或05 _两种， 用符号06 _ 或07 _表示 (3)集合的表示法：08 _、09 _、10 _ (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或 N) Z Q R 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 图示法 2集

3、合间的基本关系 (1)基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 (即若 xA，则 xB) 01 _ (或02 _) 真子 集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 03 _ (或04 _) 集合 相等 集合 A，B 中的元素相同或集合 A， B 互为子集 05 _ AB BA AB BA AB (2)结论 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为 A，B(B) 对于任意集合A，AA. 若AB，BC，则06 _. AC 3集合的基本运算 表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集

4、属于 A01 _属于 B 的元素组成的集合 x|xA， 02 _xB 03 _ 并集 属于 A04 _属于 B 的元素组成的集合 x|xA， 05 _xB 06 _ 补集 全集 U 中07 _A 的元素 组成的集合 x|xU，且 x08 _A 09 _ 且 且 AB 或 或 AB 不属于 UA 4集合的运算性质 (1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABA 01 _. (2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABA 02 _. (3)补集的性质：A(UA)03 _；A(UA)04 _；U(UA) 05 _；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB) (4)若有限集 A 中有 n

5、 个元素，则 A 的子集个数为06 _个，非空子集 个数为07 _个，真子集有08 _个，非空真子集的个数为 09 _个 BA AB U A 2n 2n1 2n1 2n2 1概念辨析 (1)若 1x，x2，则 x 1.( ) (2)x|yx2y|yx2(x，y)|yx2( ) (3)x|x2t|t2( ) (4)对于任意两个集合 A，B，总有(AB)A，A(AB)( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)已知集合 Ax|(x1)(x2)0，BxZ|32x13，则 A B( ) A2,1 B0,1,2 C2，1,0,1,2 D2,0,1,2 解析 因为 A2,1，

6、BxZ|1x20,1,2，所以 AB 2,0,1,2 答案答案 解析解析 (2)设全集为 R， 集合 Ax|0 x2， Bx|x1， 则 A(RB)( ) Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|0 x2 解析 因为 Bx|x1，所以RBx|x1因为 Ax|0 x2， 所以 A(RB)x|0 x1，故选 B. 答案答案 解析解析 (3)已知集合 Ax|x3n，nN，Bx|x6m，mN，则 A 与 B 的 关系为_ 解析 任取 xB，则 x6m3 2m,2mN，所以 xA，所以 BA， 又 3A 但 3B，所以 BA. 解析解析 B A (4)已知集合 A 8 x，y ，B0，x 2

7、，且 AB，则集合 A 的子集为 _ 解析 由题意得8 xx 2，y0，解得 x2， 所以 A0,4，其子集为，0，4，0,4 解析解析 ，0，4，0,4 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1 (2019 厦门一中模拟)设集合 Mx|x2m1， mZ， Py|y2m， mZ，若 x0M，y0P，ax0y0，bx0y0，则( ) AaM，bP BaP，bM CaM，bM DaP，bP 题型一题型一 集合的基本概念与表示方法集合的基本概念与表示方法 答案答案 解析 解法一：设 x02n1，y02k(n，kZ)， 则 x0y02n12k2(nk)1M， x0y0(2n1)(2k)2(2

8、nkk)P， 故 aM，bP. 解法二：由已知得，集合 M 是所有奇数构成的集合，集合 P 是所有偶 数构成的集合，根据奇数偶数是奇数，奇数偶数是偶数可知 aM，b P. 解析解析 2(2018 全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则 A中元素的个数为( ) A9 B8 C5 D4 解析 x2y23，x23，xZ，x1,0,1， 当x1时，y1,0,1；当x0时，y1,0,1；当x1时，y 1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A. 答案答案 解析解析 3若集合 Aa3,2a1，a24，且3A，则实数 a_. 解析 因为3A，所以a33或2a13或a243， 解得a0或a1或

9、a1. 当a0时，A3，1，4，符合题意； 当a1时，2a1a243，不满足集合中元素的互异性，故舍 去； 当a1时，A2,1，3，符合题意 综上知a0或1. 解析解析 0 或 1 1.用描述法表示集合的两个关键点 (1)搞清楚集合中的代表元素是什么如举例说明 1,3 是数，举例说明 2 是有序数对(或平面内的点) (2)看这些元素满足什么共同特征如举例说明 1，集合 M 是所有奇数 构成的集合，集合 P 是所有偶数构成的集合如举例说明 2，x，y 是整数 且满足 x2y23. 2.两个易错点 (1)忽视集合中元素的互异性如举例说明 3，求出 a 值后应注意检验. (2)忽视分类讨论如举例说明

10、 2，要分 x1，x0 和 x1 三种情况 讨论，可以保证不重不漏 1.设集合 A0,1,2,3，Bx|xA,1xA，则集合 B 中元素的个 数为( ) A.1 B2 C3 D4 解析 若 xB，则xA，所以 x 只可能取 0，1，2，3.逐一检 验可知 B3，只有 1 个元素. 答案答案 解析解析 2.已知单元素集合 Ax|x2(a2)x10，则 a 等于( ) A.0 B4 C4 或 1 D4 或 0 解析 因为集合 A 只有一个元素所以一元二次方程 x2(a2)x1 0 有两个相等的实根，所以 (a2)240，解得 a4 或 0. 答案答案 解析解析 1.集合Mx|x3n，nN，集合Nx

11、|x3n，nN，则集合M与集 合N的关系为( ) A.M N BN M C.MN DM N且NM 解析 因为 1M,1N，所以 MN，因为 0N,0M，所以 NM.综上 知，MN 且 NM. 答案答案 解析解析 题型二题型二 集合间的基本关系集合间的基本关系 2.已知集合M，集合N ，则( ) A.M N BN M C.MN D以上都不对 解析 k 4 4 2k1 8 ，kZ， k 8 4 k2 8 ，kZ， 任取 xM，有 xN，且 8N，但 8M， M N. 答案答案 解析解析 3.已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，则 实数 m 的取值范围为_ 解析 因为 BA，所以若

12、 B，则 2m1m1，此时 m2. 若 B，则 2m1m1， m12， 2m15. 解得 2m3. 由可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m3. 解析解析 (，3 条件探究 将本例中的集合A改为“Ax|x5”，则实数m的取 值范围为_ 解析 因为 BA，所以当 B时，即 2m1m1 时，m5 或 m12m1， 2m14 或 m2， m4. 综上可知，实数 m 的取值范围为(，2)(4，). 解析解析 (，2)(4，) 1.判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异 同，从而找出集合之间的关系如举例说明 1 结构法 从元素的结构特点入手，结合通

13、分、化简、变形等技巧，从元素结 构上找差异进行判断如举例说明 2 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合， 比较端点之间的大小关系， 从而 确定集合与集合之间的关系如举例说明 3 2.根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 因为A 对任意集合 A 都成立如举例说明 3 中 2m1m1 时，B ，BA 也成立 (2)借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化如举例说明 3，当 B时， 由 BA，借助数轴，列出关于 m 的不等式组 (3)注意检验区间端点值，如举例说明 3，若将两个集合改为 Ax| 2x5，Bx|m1xm1， m12， 2m15. 1.(2020 广州市高

14、三学情调研)已知集合x|x2ax00,1，则实数 a 的值为( ) A.1 B0 C1 D2 解析 由 x2ax0，得 x(xa)0，所以 x0 或 xa.所以由已知 条件可得a1，所以 a1. 答案答案 解析解析 2.已知集合 Ax|x22x0，Bx|xa，若 AB，则实数 a 的取 值范围是( ) A.a2 Ba2 Ca0 Da0 解析 Ax|0 x2，Bx|xa，为使 AB，a 须满足 a2. 答案答案 解析解析 3.满足0,1,2 A0,1,2,3,4,5的集合A的个数为_ 解析 集合 A 除含元素 0,1,2 外，还至少含有 3,4,5 中的一个元素，所 以集合 A 的个数等于3,4

15、,5的非空子集的个数，即为 2317. 解析解析 7 角度 1 集合的并、交、补运算 1.(2019 全国卷)已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN( ) A.x|4x3 Bx|4x2 C.x|2x2 Dx|2x3 解析 由 x2x60，得(x3)(x2)0，解得2x3，即 Nx| 2x3，MNx|2x2故选 C. 答案答案 解析解析 题型三题型三 集合的基本运算集合的基本运算 2.已知集合 Ay|y x21，Bx|ylg (x2x2)，则R(AB) ( ) A. 0，1 2 B(，0) 1 2， C. 0，1 2 D(，0 1 2， 解析 因为 Ay|y x210，)，Bx|yl

16、g (x2x2) 0，1 2 ，所以 AB 0，1 2 ，所以R(AB)(，0 1 2， . 答案答案 解析解析 3.(2019 合肥模拟)已知集合 A， B 均为全集 U1,2,3,4的子集， 且U(A B)4，B1,2，则 A(UB)_. 解析 因为全集 U1,2,3,4，且U(AB)4，所以 AB1,2,3， 又 B1,2，所以 A3或1,3或3,2或1,2,3，所以 A(UB)3. 解析解析 3 角度 2 知集合的运算结果求参数 4.已知集合 Ax|x2ax0，a0，B0,1,2,3，若 AB 有 3 个真 子集，则 a 的取值范围是( ) A.(1,2 B1,2) C.(0,2 D(

17、0,1)(1,2 解析 因为集合 Ax|0 xa，a0，B0,1,2,3，若 AB 有 3 个真子集，则 AB0,1，所以 1a2.所以 a 的取值范围是1,2). 答案答案 解析解析 5.设 UR，集合 Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0， 若(UA)B，则 m_. 解析 A2，1，由(UA)B，得 BA. x2(m1)xm0 可化为(x1)(xm)0， 当 m1 时，B1，符合题意； 当 m1 时，B1，m，为使 BA 成立，须有m2，即 m 2. 综上知 m1 或 2. 解析解析 1 或 2 1.求集合交集、并集或补集的步骤 2.知集合的运算结果求参数问题的两个关键点 (1)分

18、析运算结果并进行恰当转换 如举例说明 5 中，由(UA)B，知 BA. (2)化简集合为求参数创造有利条件 如举例说明 5 中，A2，1当 m1 时，B1；当 m1 时，B1，m. 1.(2019 天津高考)设集合 A1,1,2,3,5，B2,3,4，Cx R|1x3，则(AC)B( ) A.2 B2,3 C.1,2,3 D1,2,3,4 解析 AC1,1,2,3,5xR|1x0，Qx|xa，P QR，则 a 的取值范围是( ) A.(2，) B(4，) C.(，2 D(，4 解析 集合 Px|x22x80 x|x4， Qx|xa， 若 P QR，则 a2，即 a 的取值范围是(，2. 答案答

19、案 解析解析 设全集U1,2,3,4,5,6，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串， 如：2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均 为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若M2,3,6，则UM表示的6位字符串为_； (2)已知A1,3，BU，若集合AB表示的字符串为101001，则满 足条件的集合B的个数是_ 100110 题型四题型四 集合的新定义问题集合的新定义问题 4 解析 (1)由已知得，UM1,4,5， 则UM 表示的 6 位字符串为 100110. (2)由题意可知 AB1,3,6，而 A1,3，BU， 则 B 可

20、能为6，1,6，3,6，1,3,6)， 故满足条件的集合 B 的个数是 4. 解析解析 与集合相关的新定义问题的解题思路 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本 质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问 题的关键所在 (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破 解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现 可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质 (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的 交集、并集与补集的运算 如果集合 A 满足：若 xA，则xA，那么就称集合

21、A 为“对称集 合”已知集合 A2x,0，x2x，且 A 是对称集合，集合 B 是自然数集， 则 AB_. 解析 由题意可知2xx2x，所以 x0 或 x3.而当 x0 时不符 合元素的互异性， 所以舍去 当 x3 时， A6,0,6， 所以 AB0,6. 解析解析 0,6 3 课时作业课时作业 PART THREE 1.设集合 Px|0 x 2，m 3，则下列关系中正确的是( ) A.mP BmP CmP DmP A组组 基础关基础关 解析 3 2，mP. 答案答案 解析解析 2.已知全集 UR，则表示集合 Mx|x23x0和 N3,0,3关系 的示意图是( ) 解析 因为集合 M3,0，N

22、3,0,3，所以 M N，故选 D. 答案答案 解析解析 解析 令 k0 得 x1，故1A；令113k1，解得 k10 3 Z，故11A；令343k1，解得 k11Z，故34A；对于 3k2 1，因为 kZ 时，k2Z，所以 3k21A.故选 C. 3.已知集合 Ax|x3k1，kZ，则下列表示正确的是( ) A.1A B11A C.3k21A D34A 答案答案 解析解析 解析 ABx|x25x60 x|x10 x|x3x|x1 x|x0， Bx|x10， 则 AB ( ) A.(，1) B(2,1) C.(3，1) D(3，) 答案答案 解析解析 5.若集合 AxR|ax23x20中只有一

23、个元素，则 a 等于( ) A.9 2 B.9 8 C0 D0 或9 8 解析 当 a0 时，A 2 3 ，符合题意；当 a0 时，(3)24a2 0，解得 a9 8，此时 A 4 3 ，符合题意综上可知，a0 或9 8. 答案答案 解析解析 6.(2020 茂名市摸底)已知集合 M(x，y)|y3x2，N(x，y)|y5x， 则 MN 中的元素的个数为( ) A.0 B1 C2 D3 解析 解方程组 y3x2， y5x， 得 x0， y0 或 x5 3， y25 3 ， 所以 MN 0，0， 5 3， 25 3 .所以 MN 中的元素的个数为 2. 答案答案 解析解析 7.设全集 UR，Ax

24、|x22x0，By|ycosx， xR，则图中阴影部分表示的区间是( ) A0,1 B.(，12，) C.1,2 D.(，1)(2，) 解析 Ax|x22x00,2，By|ycosx，xR1,1图中 阴影部分表示U(AB)(，1)(2，). 答案答案 解析解析 8.集合 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则 a 的值为 _ 解析 因为 A0,2，a，B1，a2，若 AB0,1,2,4,16，则 a216， a4， 所以 a4. 解析解析 4 9.设集合 A1,1，集合 Bx|ax1，aR，则使得 BA 的 a 的 所有取值构成的集合是_ 解析 因为 BA，所以当 B时，可

25、知 a0，显然成立当 B 1时，可得 a1，符合题意当 B1时，可得 a1，符合题 意故满足条件的 a 的取值集合是1,0,1. 解析解析 1,0,1 10.已知 a， bR， 若 a，b a，1 a 2， ab,0， 则 a2019b2019_. 解析 a，b a，1 a 2，ab,0，a0. b0，a21，又 a1，a1， a2019b20191. 解析解析 1 1.设集合 Mx|x54aa2，aR，Ny|y4b24b2，bR， 则下列关系中正确的是( ) A.MN BNM C.MN DMN B组组 能力关能力关 解析 因为集合 Mx|x54aa2，aRx|x(a2)21，a Rx|x1，

26、Ny|y(2b1)21，bRy|y1所以 MN. 答案答案 解析解析 2.(2019 衡水模拟)已知集合 Ax|log2x1，Bx|0 xc，若 AB B，则 c 的取值范围是( ) A.(0,1 B1，) C.(0,2 D2，) 解析 因为集合 Ax|log2xlog22x|0 x2，Bx|0 xc， 又由 ABB，得 AB，所以 c2. 答案答案 解析解析 3.已知集合 A1，)，B xR 1 2ax2a1，若 AB，则实 数 a 的取值范围是( ) A.1，) B. 1 2，1 C. 2 3， D(1，) 解析 因为 AB，所以 2a11， 2a11 2a， 解得 a1. 答案答案 解析

27、解析 4若xA，则 1 x A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M 1，0，1 3， 1 2，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为 ( ) A15 B16 C32 D256 解析 由题意得，满足题意的“伙伴关系”的集合由以下元素构成：1，1， 1 2，2， 1 3， 3， 其中 1 2和 2， 1 3和 3 必须同时出现 所以集合 M 的所有非空子集中具有“伙伴关系” 的集合的个数为 24115. 答案答案 解析解析 5.设集合 A0， 4， Bx|x22(a1)xa210， xR 若 AB B，则实数 a 的取值范围是_ 解析 ABB，BA. 又 A0，4，B 的可

28、能情况有，4，0，4，0 若 B，则 4(a1)24(a21)0，解得 a1. 若 B4，则 a.若 B0，则 a1. 若 B4,0，则 a1. 综上可知，a1 或 a1. 解析解析 a1 或 a1 6.设数集 Mx mxm3 4 ，Nx n1 3xn ，且 M，N 都是集合 Ux|0 x1的子集，定义 ba 为集合x|axb的“长度”，则集合 MN 的长度的最小值为_ 解析 由已知得，当 m0 且 n1 或 n1 30 且 m 3 41 时，MN 的长度最小当 m0 且 n1 时，MNx 2 3x 3 4 ，其长度为3 4 2 3 1 12. 当 m1 4且 n 1 3时， MNx 1 4x 1 3 ， 其长度为1 3 1 4 1 12.综上可知， MN 的长度的最小值为 1 12. 解析解析 1 12 本课结束本课结束