第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第1 1讲讲 分类加法计数原理与分步乘分类加法计数原理与分步乘 法计数原理法计数原理 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原 理)(重点) 2能正确区分“类”和“步”，并能利用两个计数原理解决一些简单的实 际问题(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题预测 2021 年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识试题以客观题的 形式呈现，难度不大，属中、低档题型. 1

2、 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有01 _. 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第 2 类方案中有 m2种不同的方 法在第 n 类方案中有 mn种不同 的方法 完成一件事需要02 _， 做第 1 步有 m1种不同的方法， 做第二步有 m2种不同的方 法做第n步有mn种不同的 方法 结论 完成这件事共有 Nm1m2 mn种方法 完成这件事共有 N m1m2mn种方法 几类不同的方案 n个步骤 2两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 分类、相加 分步

3、、相乘 不同点 每类方案中的每一种方法都能 独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情 (每步中的每一种方法不能独立 完成这件事) 注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 缺一不可 答案 (1) (2) (3) 答案答案 1概念辨析 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( ) (2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完 成( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相 同的( ) 2小题热身 (1)从甲地到乙地，每天飞机有 5 班，高铁有 10 趟，动车有 6 趟，公共 汽车有 12 班某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有

4、( ) A22 种 B33 种 C300 种 D3600 种 解析 由分类加法计数原理，知共有 51061233 种出行方案 答案答案 解析解析 (2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有 ( ) A10 种 B25种 C52种 D24种 解析 每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步由分步乘法计数 原理，知共有 24种不同的走法 答案答案 解析解析 (3)已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上 的点，则 P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( ) A6 B12 C24 D36 解析 分两步：第一步确定 a，由 a0，知有 2 种方

5、法，由分步乘法计数原理，得到第二象限上的点的个数 是 326. 答案答案 解析解析 (4)如图， 要让电路从 A 处到 B 处接通(只考虑每个小并联单元只有一个 开关闭合的情况)，可有_条不同的路径 解析 分以下三种情况计数： 第一层有 326 条路径； 第二层有 1 条路径； 第三层有 2 条路径； 由分类加法计数原理，知共有 6129 条路径 9 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1已知椭圆x 2 a2 y2 b21，若 a2,4,6,8，b1,2,3,4,5,6,7,8，这样的 椭圆有( ) A12 个 B16 个 C28 个 D32 个 题型一题型一 分类加法计

6、数原理的应用分类加法计数原理的应用 答案答案 解析 解法一：若焦点在 x 轴上，则 ab，a2 时，有 1 个；a4 时， 有 3 个；a6 时，有 5 个；a8 时，有 7 个，共有 135716 个 若焦点在 y 轴上，则 ba，b3 时，有 1 个；b4 时，有 1 个；b5 时，有 2 个；b6 时，有 2 个；b7 时，有 3 个，b8 时，有 3 个共有 11223312 个故共有 161228 个 解法二：椭圆中 ab，而 ab 有 4 种情况，故椭圆的个数为 484 28. 解析解析 2 (2019 西城区一模)如图所示， 玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠， 现将每档算珠分

7、为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠 表示数 1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c.例如， 图中上档的数字和 a9.若 a，b，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有 _种 32 解析 根据题意，a，b，c 的取值范围都是从 714 共 8 个数字，故公 差 d 的范围是3 到 3， 当公差 d0 时，有 C1 88 种， 当公差 d 1 时，b 不取 7 和 14，有 2C1 612 种， 当公差 d 2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2C1 48 种， 当公差 d 3 时，b 只能取 10 或 11，有 2C1 24 种，综上共有 8 12

8、8432 种 解析解析 1分类加法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特 点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算 (2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任 何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 2使用分类加法计数原理应遵循的原则 有时分类的划分标准有多个， 但不论是以哪一个为标准， 都应遵循“标 准要明确，不重不漏”的原则 提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接 法求解 1三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经 过 4 次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )

9、 A4 种 B6 种 C10 种 D16 种 解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有 3 种方法(如图)， 同理，甲先传给丙时，满足条件的有 3 种踢法 由分类加法计数原理，共有 336 种传递方法故选 B. 答案答案 解析解析 2(2019 重庆模拟)在平面直角坐标系内，点 P(a，b)的坐标满足 ab， 且 a，b 都是集合1,2,3,4,5,6)中的元素又点 P 到原点的距离|OP|5，则这 样的点 P 的个数为_ 解析 依题意可知， 当 a1 时，b5,6,2 种情况； 当 a2 时，b5,6,2 种情况； 当 a3 时，b4,5,6,3 种情况； 当 a4 时，b3,5,6,3

10、 种情况； 当 a5 或 6 时，b 各有 5 种情况 由分类加法计数原理，得点 P 的个数为 22335520. 20 解析解析 1(2019 湖南师范大学附中模拟)若 m，n 均为非负整数，在做 mn 的加法时各位均不进位(例如：20191002119)，则称(m，n)，为“简单 的”有序对， 而 mn 称为有序对(m， n)的值， 那么值为 2019 的“简单的” 有序对的个数是( ) A100 B96 C60 D30 题型二题型二 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 答案答案 解析 由题意可知，只要确定了 m，n 即可确定，则可确定一个有序数 对(m，n)，则对于数 m，利用分步计数原理

11、，第一位取法有 3 种：0,1,2；第 二位取法有 1 种：0；第三位取法有 2 种：0,1；第四位取法有 10 种： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ； 所 以 值 为 2019 的 “ 简 单 的 ” 有 序 对 的 个 数 是 3121060. 解析解析 2某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能 从字母 G，L 中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可 以重复)，某车主从左到右第一个号码只想在 1,3,5,7 中选择，其他号码只想 在 1,3,6,8,9 中选择，则供他可选的车牌号码的种数为( ) A21 B800 C960 D1000 解析

12、 分步完成从左到右第一个号码有 4 种选法，第二个号码有 2 种选法，第三个号码有 5 种选法，第四个号码有 5 种选法，第 5 个号码有 5 种选法，共有 425551000 种不同的选法 答案答案 解析解析 1分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程 进行“分步”计算 (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事， 只有当各个步骤都完成，才算完成这件事 2应用分步乘法计数原理的注意点 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能 完成这件事 (2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰

13、，还要注 意元素是否可以重复选取. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上 的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再 随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五 个和第六个以此类推，则不同的固定方式有_种 48 解析 先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有 C1 6种方法；再随 意拧第三个螺丝，和其对角线上的，有 C1 4种方法；然后随意拧第五个螺丝， 和其对角线上的，有 C1 2种方法故不同的固定方式共有 C 1 6C 1 4C 1 248 种 解析解析 角度 1 与数字有关的问题 1用数字 0,1,2,3,4,5 组成没

14、有重复数字的五位数，其中比 40000 大的 偶数共有( ) A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 解析 由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是 4 或 5.当万位数 字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有 243248 个偶数；当 万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个，共有 343272 个 偶数故符合条件的偶数共有 4872120(个) 答案答案 解析解析 题型三题型三 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 角度 2 涂色、种植问题 2(2020 衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连 的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，

15、且相邻的两个圆所涂颜色不能相同， 则不同的涂色方案的种数是( ) A12 B24 C30 D36 答案答案 解析 按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若 前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜 色，共有 321C1 2C 1 224(种)，若前三个圆用了两种颜色，则后三个 圆也用了两种颜色，所以共有 326(种)综上可得不同的涂色方案的种 数是 30. 解析解析 角度 3 分配问题 3(2020 山西大学附中模拟)某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生 和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡 诊，其中每个分队都必须

16、有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方 案有( ) A72 种 B36 种 C24 种 D18 种 答案答案 解析 2 名内科医生， 每村 1 名， 有 2 种分法.3 名外科医生和 3 名护士， 平均分成两组，要求外科医生和护士都有，可分 1 名外科医生、2 名护士和 2 名外科医生、 1 名护士 若甲村有 1 名外科医生、 2 名护士， 有 339(种) 分法，其余的分到乙村若甲村有 2 名外科医生、1 名护士，有 339(种) 分法，其余的分到乙村所以总的分配方案有 2(99)21836(种) 解析解析 1利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确

17、定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 2与数字有关问题的解题思路 一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步计数，当分类较多时， 也可用间接法求解见举例说明 1. 3涂色(种植)问题的解题关注点和关键 (1)关注点：分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使 用同类元素 (2)关键是对每个区域逐一进行分步处理见举例说明 2. 4分配问题的解题思路 一般按分配规则总体分类，每类中再分步计数如举例说明 3. 提醒：对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或 列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解. 1(2019 天津模

18、拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择， 要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方 法种数为( ) A24 B48 C72 D96 答案答案 解析 分两种情况： A，C 不同色，先涂 A 有 4 种，C 有 3 种，E 有 2 种，B，D 有 1 种， 有 43224(种)涂法 A，C 同色，先涂 A 有 4 种，E 有 3 种，C 有 1 种，B，D 各有 2 种， 有 432248(种)涂法 故共有 244872 种涂色方法 解析解析 2为举办校园文化节，某班推荐 2 名男生、3 名女生参加文艺技能培 训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演

19、唱 2 人，每人只参 加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的 种数为_(用数字作答) 解析 若参加乐器培训的是女生，则各有 1 名男生及 1 名女生分别参 加舞蹈和演唱培训， 共有 32212(种)方案； 若参加乐器培训的是男生， 则各有 1 名男生、1 名女生及 2 名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有 23212(种)方案，所以共有 24 种推荐方案 24 解析解析 3回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如 22,121,3443,94249 等显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99.3 位回文 数有 90 个：101,111,121，191,

20、202，999.则： (1)4 位回文数有_个； (2)2n1(nN*)位回文数有_个 解析 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种 填法；中间两位一样，有 10 种填法共计 91090(种)填法，即 4 位回文 数有 90 个 (2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格由计数原理，知 共有 910n种填法 90 解析解析 910n 3 课时作业课时作业 PART THREE 1集合 Px,1，Qy,1,2，其中 x，y1,2,3，9，且 PQ. 把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的 个数是( ) A9 B14 C15

21、D21 A组组 基础关基础关 解析 当 x2 时，xy，点的个数为 177.当 x2 时，由 PQ， xy.x 可从 3,4,5,6,7,8,9 中取，有 7 种方法因此满足条件的点共有 7 714(个) 答案答案 解析解析 2有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测 时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有( ) A8 种 B9 种 C10 种 D11 种 解析 设教 1,2,3,4 班的教师分别为 1,2,3,4，满足题意的监考方法有 共 9 种不同的监考方法 答案答案 解析解析 3用两个 1，一个 2，一个 0，可组成不同四位数的个数是( ) A18 B

22、16 C12 D9 解析 千位上是 1 的四位数有 3216 个，千位上是 2 的四位数有 2110、2101、2011，共 3 个，由加法计数原理可得，可组成不同四位数的个 数是 639. 答案答案 解析解析 4直线 l：x a y b1 中，a1,3,5,7，b2,4,6,8若 l 与坐标轴围 成的三角形的面积不小于 10，则这样的直线的条数为( ) A6 B7 C8 D16 解析 l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S1 2ab10，即 ab20.当 a 1 时，不满足；当 a3 时，b8，即 1 条当 a5,7时，b4,6,8， 此时 a 的取法有 2 种，b 的取法有 3 种，则直线

23、l 的条数为 236.故满足 条件的直线的条数为 167.故选 B. 答案答案 解析解析 5已知非空集合 A，B 满足 AB1,2,3，当 A 中元素个数不少于 B 中元素个数时，(A，B)对(当 AB 时，(A，B)与(B，A)不同)的个数为( ) A18 B16 C9 D8 解析 若 A 中有一个元素，设 A1，则2,3B，不符合题意；若 A 中有两个元素， 设 A1,2， 则3B， B 有三种取法， B3， B1,3， B2,3，此种情况下共有 339；若 A1,2,3，B 非空，则 B 有 7 种 取法，综上，共有 9716 种 答案答案 解析解析 6 (2019 大连二模)把标号为

24、1,2,3,4 的四个小球分别放入标号为 1,2,3,4 的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则 1 号球不放入 1 号盒子的方法 共有( ) A18 种 B9 种 C6 种 D3 种 解析 由于 1 号球不放入 1 号盒子，则 1 号盒子有 2、3、4 号球三种 选择，还剩余三个球可以任意放入 2、3、4 号盒子中，则 2 号盒子有三种 选择，3 号盒子还剩两种选择，4 号盒子只有一种选择，根据分步计数原理 可得 1 号球不放入 1 号盒子的方法有 C1 3 C 1 3 C 1 2 118 种故选 A. 答案答案 解析解析 7如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不

25、 能同色，现有 4 种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有( ) A24 B48 C96 D120 答案答案 解析 若 A，D 颜色相同，先涂 E 有 4 种涂法， 再涂 A，D 有 3 种涂法， 再涂 B 有 2 种涂法，C 只有一种涂法，共有 43224 种；若 A，D 颜色 不同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A 有 3 种涂法，再涂 D 有 2 种涂法，当 B 和 D 颜色相同时，C 有 2 种涂法，当 B 和 D 颜色不同时，B，C 只有 1 种 涂法，共有 432(21)72 种根据分类加法计数原理可得，不同的 涂色方法共有 247296 种 解析解析 8如图所示，在连接正

26、八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边 形有公共边的三角形有_个(用数字作答) 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公 共边的三角形共有 8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有 8 个，由分类加法计数原理，知共有 32840(个) 40 解析解析 9(2019 诸暨市模拟)假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、 伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款，则有 _种不同的支付方式 解析 9 元的支付有两种情况，522 或者 5211， 当 9 元采用 522 方式支付时，200 元的支付方式为 2100 或 1100250 或 11001

27、5022010，共 3 种方式，10 元的支付 只能用 1 张 10 元，此时共有 1313 种支付方式； 当 9 元采用 5211 方式支付时： 200 元的支付方式为 2100 或 1100250 或 110015022010，共 3 种方式，10 元的支付 只能用 1 张 10 元，此时共有 1313 种支付方式； 所以总的支付方式共有 336 种 6 解析解析 10 某班一天上午有 4 节课， 每节都需要安排 1 名教师去上课， 现从 A， B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节课，第一节课只能从 A，B 两人中安排一人，第四节课只能从 A，C 两人中安排一人，则不同的

28、安排方 案共有_种 解析 第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 4312 种安排 方案 第一节课若安排 B，则第四节课可安排 A 或 C，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 24324 种安 排方案 因此不同的安排方案共有 122436(种) 36 解析解析 1(2019 南宁调研)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合 数”(如 2013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 ( ) A18 个 B15 个 C12 个 D9 个 B

29、组组 能力关能力关 解析 依题意， 这个四位数的百位数、 十位数、 个位数之和为 4.由 4,0,0 组成 3 个数，分别为 400,040,004；由 3,1,0 组成 6 个数，分别为 310,301,130,103,013,031； 由 2,2,0 组成 3 个数， 分别为 220,202,022； 由 2,1,1 组成 3 个数，分别为 211,121,112，共计 363315(个)故选 B. 答案答案 解析解析 2 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对， 其中所成的角为 60 的共有( ) A24 对 B30 对 C48 对 D60 对 答案答案 解析 解法一：与正方体的一个面

30、上的一条对角线成 60 角的对角线有 8 条，故共有 8 对，正方体的 12 条面对角线共有 81296(对)，且每对均 重复计算一次，故共有96 2 48(对) 解法二：正方体的面对角线共有 12 条，两条为一对，共有 1211 2 66(对)同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意， 一组平行平面共有 6 对不满足题意的对角线，所以不满足题意的共有 36 18(对)故从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角 为 60 的共有 661848(对) 解析解析 3将 1,2,3，9 这 9 个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从 左到右、每一列从上到下分别依次增大，

31、当 3,4 固定在图中的位置时，填写 空格的方法有( ) A6 种 B12 种 C18 种 D24 种 答案答案 解析 根据数字的大小关系可知，1,2,9 的位置是固定的，如图所示， 则剩余 5,6,7,8 这 4 个数字，而 8 只能放在 A 或 B 处，若 8 放在 B 处，则可 以从 5,6,7 这 3 个数字中选一个放在 C 处，剩余两个位置固定，此时共有 3 种方法，同理，若 8 放在 A 处，也有 3 种方法，所以共有 6 种方法 解析解析 4(2020 北京昌平区模拟)2019 年 3 月 2 日，昌平 “回天”社区开展 了 7 种不同类型的 “三月雷锋月，回天有我”社会服务活动

32、. 其中有 2 种 活动既在上午开展、又在下午开展，3 种活动只在上午开展，2 种活动只在 下午开展小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不 同安排方案的种数是_ 18 解析 小王参加的是两种不同的活动，有 2 种活动既在上午开展、又 在下午开展， (1)设小王没参加既在上午开展、又在下午开展的 2 种活动，则有 32 6 种方案 (2)设小王参加了既在上午开展、又在下午开展的 2 种活动， 上午参加了既在上午开展、 又在下午开展的 2 种活动之一， 则有 22 4 种方案； 下午参加了既在上午开展、 又在下午开展的 2 种活动之一， 则有 32 6 种方案； 上下午都参加了既在

33、上午开展、 又在下午开展的 2 种活动， 则有 21 2 种方案 所以不同的安排方案有 646218 种 解析解析 5已知数列an是公比为 q 的等比数列，集合 Aa1，a2，a10， 从 A 中选出 4 个不同的数，使这 4 个数成等比数列，这样得到 4 个数的不 同的等比数列的个数为_ 解析 当公比为 q 时，满足题意的等比数列有 7 个，当公比为1 q时，满 足题意的等比数列有 7 个，当公比为 q2时，满足题意的等比数列有 4 个， 当公比为 1 q2时，满足题意的等比数列有 4 个，当公比为 q 3 时，满足题意的 等比数列有 1 个，当公比为 1 q3时，满足题意的等比数列有 1

34、个，因此满足题 意的等比数列共有 77441124(个) 24 解析解析 6(2019 河北衡水质检)已知一个公园的形状如图所示，现有 3 种不同 的植物要种在此公园的 A，B，C，D，E 这五个区域内，要求有公共边界的 两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有_种 18 解析 根据题意，分两步进行分析：对于 A，B，C 区域，三个区域 两两相邻，种的植物都不能相同，将 3 种不同的植物全排列，安排在 A，B， C 区域，有 A3 36(种)情况； 对于 D，E 区域，分 2 种情况讨论： 若 C，E 种的植物相同，则 D 有 2 种种法； 若 C，E 种的植物不同，则 E 有 1 种种法，D 也有 1 种种法； 则 D，E 区域共有 213(种)不同种法， 故不同的种法共有 6318(种) 解析解析 本课结束本课结束