第11讲 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值 (《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数).ppt
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1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 (创新版)(创新版) 【精品课件精品课件】 第第1111讲讲 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 第第2 2课时课时 利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的极值、 最值最值 第二章 函数、导数及其应用 考纲解读 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三 次)(重点) 3会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三 次)(重点、难点) 考向预测 从近三年高考情况来看,本讲一直是高考的热点预测2021 年高考以考查
2、用导数解决函数的极值、最值问题为主试题难度较大,主 要以解答题形式呈现. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值 01 _,f(a)0,而且在点xa附近的左侧02 _, 右侧03 _,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数 的极小值 (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值 04 _,f(b)0,而且在点xb 附近的左侧05 _, 右侧06 _,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的 极大值 f
3、(x)0 都大 f(x)0 f(x)2时,f(x)0,此 时f(x)为增函数;当0x2时,f(x)0,此时f(x)为减函数,据此知x2为 f(x)的极小值点 答案答案 解析解析 (2)当函数yx 3x取得极小值时,x( ) A. 1 ln 3 B 1 ln 3 Cln 3 Dln 3 解析 由题可得y3xx 3x ln 33x(1xln 3) 当x 1 ln 3 时,y 1 ln 3 时,y0,函数单 调递增,则函数y在x 1 ln 3处取得极小值 答案答案 解析解析 (3)当x1,2时,函数f(x)exx的最小值为( ) A1 B1 C0 De 解析 因为f(x)exx,所以f(x)ex1,
4、由f(x)0,得x0.当x 1,0)时,f(x)0,f(x)单调递 增所以f(x)minf(0)1. 答案答案 解析解析 (4)若x1是函数f(x)(exa)ln x的极值点,则实数a_. 解析 因为f(x)exln x(exa) 1 x ,且x1是函数f(x)(exa)ln x的 极值点,所以f(1)ea0,解得ae. e 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 角度1 求函数的极值 1(2017 全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex 1的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A1 B2e 3 C5e 3 D1 答案答案 题型题型 一一 用导数求解函数极值问题用导
5、数求解函数极值问题 解析 函数f(x)(x2ax1)ex 1, 则f(x)(2xa)ex 1(x2ax1) ex1 ex 1 x2(a2)xa1 由x2是函数f(x)的极值点得 f(2)e 3 (42a4a1)(a1)e30, 所以a1. 所以f(x)(x2x1)ex 1,f(x)ex1 (x2x2) 由ex 10恒成立,得x2或x1时,f(x)0, 且x0;2x1时,f(x)1时,f(x)0. 所以x1是函数f(x)的极小值点 所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A. 解析解析 角度2 极值点个数问题 2(2019 南昌模拟)若函数f(x)的导函数f(x) 的图象如图所示,则( ) A
6、函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点 B函数f(x)有0个极大值点,1个极小值点 C函数f(x)有1个极大值点,0个极小值点 D函数f(x)有0个极大值点,0个极小值点 解析 由题图可知,当xx1或x1xx2时,f(x)x2时, f(x)0;当xx1时,f(x)0;所以f(x)在(,x2)上单调递减,在(x2, )上单调递增,所以f(x)有0个极大值点,1个极小值点,即x2. 答案答案 解析解析 3(2019 全国卷节选)已知函数f(x)sinxln (1x),f(x)为f(x)的 导数 证明:f(x)在区间 1, 2 存在唯一极大值点 证明 设g(x)f(x), 则g(x)cosx 1
7、1x,g(x)sinx 1 1x2. 当x 1, 2 时,g(x)单调递减,而g(0)0,g 2 0,可得 g(x)在 1, 2 有唯一零点,设为.则当x(1,)时,g(x)0; 当x , 2 时,g(x)0. 所以g(x)在(1,)上单调递增,在 , 2 上单调递减,故g(x)在 1, 2 存在唯一极大值点,即f(x)在 1, 2 存在唯一极大值点 证明证明 角度3 根据极值求参数 4(2019 青岛模拟)若函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex,在x2处 取得极大值,则实数a的取值范围为_ ,1 2 解析 f(x)(x2)(ax1)ex.当a0,解得 1 a x2,由 f(x)0,解得x
8、2,所以函数f(x)在 1 a,2 上单调递增,在 ,1 a 和 (2,)上单调递减,所以函数f(x)在x2处取得极大值 当a0时,f(x)(2x)ex. 由f(x)0,解得x2; 由f(x)2. 解析解析 所以函数f(x)在(,2)上单调递增, 在(2,)上单调递减, 所以f(x)在x2处取得极大值 当a0时,若要f(x)在x2处取得极大值,则需f(x)在(,2), 1 a, 上单调递增,在 2,1 a 上单调递减,则有1 a2,解得0a0) (1)当a1,且函数f(x)的图象过点(0,1)时,求函数f(x)的极小值; (2)若f(x)在(,)上无极值点,求a的取值范围 解 f(x)3ax2
9、4x1. (1)函数f(x)的图象过点(0,1)时,有f(0)c1. 当a1时,f(x)x32x2x1,f(x)3x24x1. 由f(x)0,解得x1; 由f(x)0,解得1 3x1. 所以函数f(x)在 ,1 3 和(1,)上单调递增,在 1 3,1 上单调递 减, 所以函数f(x)的极小值是f(1)13212111. 解解 (2)若f(x)在(,)上无极值点, 则f(x)在(,)上是单调函数, 即f(x)3ax24x10或f(x)3ax24x10恒成立 当a0时,f(x)4x1,显然不满足条件; 当a0时,f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)2 43a10,即1612a0,解得a
10、4 3. 综上,a的取值范围为 4 3, . 解解 1熟记运用导数解决函数极值问题的一般流程 2已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待 定系数法求解 (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性 1已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x) 在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的 极大值点的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析 极大值点处导数值为0,且两侧导数符号左正右负,观察导函 数f(x)在(a,b)上的图象可知,f(x)在(a,b)
11、上的极大值点有2个 答案答案 解析解析 2若函数f(x)1 3x 3xm的极大值为1,则函数f(x)的极小值为( ) A1 3 B1 C.1 3 D1 解析 f(x)x21,由f(x)0,得x1或x1,所以f(x)在区间 (,1)上单调递增,在区间(1,1)上单调递减,在区间(1,)上单 调递增,所以函数f(x)在x1处取得极大值,则f(1)1,得m 1 3 ,函 数f(x)在x1处取得极小值,且f(1)1 31 311 3 1 3.故选A. 答案答案 解析解析 解 (1)因为f(x) exx12 x2 ,所以kf(1)2.又因为f(1)e 2,所以切线方程为y(e2)2(x1), 即2xye
12、40. 解解 3已知函数f(x)e x2 x . (1)求函数f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)证明:f(x)仅有唯一的极小值点 (2)证明:令h(x)ex(x1)2,则h(x)ex x, 所以当x(,0)时,h(x)0. 当x(,0)时,易知h(x)0,所以f(x)0, f(x)在(,0)上没有极值点 当x(0,)时,因为h(1)20,所以f(1)0,f(x)在(1,2)上有极小值点 又因为h(x)在(0,)上单调递增, 所以f(x)仅有唯一的极小值点 解解 1设动直线xm与函数f(x)x3,g(x)ln x的图象分别交于点M,N, 则|MN|的最小值为( ) A.1 3(1ln
13、 3) B.1 3ln 3 C1ln 3 Dln 31 题型题型 二二 用导数求函数的最值用导数求函数的最值 解析 由题意,得M(m,m3),N(m,ln m),m0. |MN|m3ln m|,m0. 设h(m)m3ln m,m0, h(m)3m2 1 m. 答案答案 解析解析 由h(m)0,得m. 当m时,h(m)0,h(m)单调递增, m时,h(m)取得最小值, h(m)min1 3 1 3ln 1 3 1 3(1ln 3) 1 3(1ln 3)0,|MN|min 1 3(1ln 3) 解析解析 2(2019 全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)是
14、否存在a,b,使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由 解 (1)f(x)6x22ax2x(3xa) 令f(x)0,得x0或xa 3. 若a0,则当x(,0) a 3, 时,f(x)0; 当x 0,a 3 时,f(x)0. 故f(x)在(,0), a 3, 上单调递增,在 0,a 3 上单调递减 若a0,则f(x)在(,)上单调递增 若a0; 当x a 3,0 时,f(x)1)在区间1,1上的 最大值为1,最小值为1,则a_,b_. 2 3 1 解析 因为f(x)3x23ax3x(xa), 令f(x)0,解得x0或xa. 因为a1,所以
15、当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,0) 0 (0,1) 1 f(x) 0 f(x) 13 2ab 极大值b 13 2ab 由题意得b1. 则f(1)3a 2 ,f(1)23a 2 ,f(1)f(1), 所以3a 2 1,所以a2 3. 解析解析 2(2020 北京石景山区摸底)已知f(x)exax2,曲线yf(x)在(1,f(1) 处的切线方程为ybx1. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在0,1上的最大值; (3)当xR时,判断yf(x)与ybx1交点的个数(只需写出结论,不 要求证明) 解 (1)f(x)exax2的导数为f(x)ex2ax, 由已知可得
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