第7讲　解三角形应用举例 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第三章 三角函数、解三角形 第 7 讲 解三角形应用举例 考纲解读 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题(重点) 2利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三 角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内 容预计 2021 年会强化对应用问题的考查以与三角形有关的应用 问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量， 实际背景中求距离、

2、高度、角度等均可作为命题角度试题可以为 客观题也可以是解答题，难度以中档为主. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线01 的角叫仰角， 在水 平线02 的角叫俯角(如图) 上方 下方 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如 图) 3方向角 相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 4坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角) (2

3、)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又 称为坡比 1概念辨析 (1)东北方向就是北偏东 45 的方向( ) (2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关 系为 180 .( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的， 均是确定观察点与目标点之间的位 置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0， 2 .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)在某测量中，设 A 在 B 的南偏东 34 27，则 B 在 A 的( ) A北偏西 34 27 B北偏东 55 33 C北偏西 5

4、5 33 D南偏西 34 27 解析 由方向角的概念知，B 在 A 的北偏西 34 27. 解析解析 答案答案 (2)已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现 测得ABC120 ，则 A，C 两地间的距离为( ) A10 km B10 3 km C10 5 km D10 7 km 解析 由余弦定理可得，AC2AB2CB22AB CB cos120 102202 21020 1 2 700. AC10 7(km) 解析解析 答案答案 (3)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，

5、 ACB45 ，CAB105 后，就可以计算出 A，B 两点的距 离为_ m. 解析解析 50 2 解析 在ABC 中， ACB45 ， CAB105 ，所以 ABC180 45 105 30 ，又因为 AC50 m，所以由正弦定理得 ABACsin ACB sin ABC 50 2 2 1 2 50 2(m) (4)如图，从无人机 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67 ，30 ，此时无人机的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_ m(用四舍 五入法将结果精确到个位参考数据：sin67 0.92，cos67 0.39， sin37 0.60，cos37 0.80，

6、31.73) 解析 由图可知，AB 46 sin67 ，在ABC 中，由正弦定理可知 AB sin30 BC sin37 ，所以 BCABsin37 sin30 46sin37 sin67 sin30 460.60 0.920.560(m) 解析解析 60 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60 方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15 方向，这时船与灯塔的距离为( ) A15 2 km B30 2 km C45 2 km D60 2 km 题型题型 一一 测量距离问题

7、测量距离问题 答案答案 解析 作出示意图如图所示，依题意有 AB15460， DAC 60 ， CBM15 ， MAB30 ， AMB45 . 在AMB 中，由正弦定理，得 60 sin45 BM sin30 ， 解得 BM30 2. 解析解析 2(2019 宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地 球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞， 若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两 点 C，D，测得 CD80，ADB135 ，BDCDCA15 ，ACB 120 ，则 A，B 两点的距离为_ 80 5 解析 由已知，在ACD

8、中， ACD15 ， ADC150 ， 所以 DAC15 ，由正弦定理，得 AC80sin150 sin15 40 6 2 4 40( 6 2)， 在BCD 中， BDC15 ， BCD135 ， 所以 DBC30 ， 由正弦定理 CD sin CBD BC sin BDC，得 解析解析 BCCD sin BDC sin CBD 80sin15 1 2 160sin15 40( 6 2)； 在ABC 中，由余弦定理， AB2AC2BC22AC BC cos ACB1600(84 3)1600(84 3) 21600( 6 2)( 6 2)1 21600161600432000， 解得 AB80

9、 5，则 A，B 两点的距离为 80 5. 解析解析 (1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化， 实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元 素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解 题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是 解题的关键 (2)求距离问题的两个策略 选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若 其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角 形中求解 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算 的定理 如图，在海岸线上相距 2 6千米的 A，C 两地分别测 得

10、小岛 B 在 A 的北偏西 方向， 在 C 的北偏西 2 方向， 且 cos 6 3 ，则 B，C 之间的距离是( ) A30 3千米 B30 千米 C12 3千米 D12 千米 答案答案 解析 由题意，得 AC2 6， sinAsin 2 cos 6 3 ， sinBsin 22 cos22cos 211 3， 在ABC 中，由正弦定理得 BCACsinA sinB 2 6 6 3 1 3 12， 则 B 与 C 的距离是 12 千米 解析解析 1(2019 长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路 宽为 OD，灯柱 OB 高为 10 m，灯杆 AB 长为 1 m，且灯 杆与灯柱成 120 角

11、，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的 顶角为 2，灯罩轴线 AC 与灯杆 AB 垂直若灯罩截面的两条母线所在直线 中的一条恰好经过点 O，另一条与地面的交点为 E.则该路灯照在路面上的 宽度 OE 的长是_ m. 题型题型 二二 测量高度问题测量高度问题 40 3 3 解析 在AOB 中，由余弦定理可得 OA 111 m， 由正弦定理得 sin BAO5 37 37 ， 因为 BAO 2， 所以 cossin BAO5 37 37 ，sin2 3 37， 则 sin22sincos20 3 37 . 易知 ACO60 ，则 sin AEOsin(60 ) 3 3 2 37， 在AOE 中，由正弦定

12、理可得 OE OAsin2 sin AEO 40 3 3 m. 解析解析 2如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在 一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得 公路上 B，C 两点的俯角分别为 30 ，45 ，且BAC 135 .若山高 AD100 m， 汽车从 B 点到 C 点历时 14 s， 则这辆汽车的速度约为_ m/s(精确到 0.1) 参考数据： 21.414， 52.236. 22.6 解析 因为小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30 ，45 ，所以 BAD60 ， CAD45 . 设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14v. 在 RtADB 中

13、，AB AD cos BAD 100 cos60 200. 在 RtADC 中，AC AD cos CAD 100 cos45 100 2. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AC2AB22AC AB cos BAC， 解析解析 所以(14v)2(100 2)220022100 2200cos135 ，所以 v50 10 7 22.6，所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 解析解析 求解高度问题的注意事项 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在 水平面上所成的角)等的定义 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题， 这时最好画两个图形

14、，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既 清楚又不容易搞错如举例说明 2. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 1 如图， 在离地面高 400 m 的热气球上， 观测到山顶 C 处的仰角为 15 ， 山脚 A 处的俯角为 45 ，已知BAC60 ，则山的高度 BC 为( ) A700 m B640 m C600 m D560 m 答案答案 解析解析 解析 在 RtAMD 中，AM MD sin45 400 2 2 400 2(m)， 在MAC 中， AMC45 15 60 ， MAC180 45 60 75， MCA 180 AMC MAC 45， 由 正 弦 定

15、 理 得 AC AMsin AMC sin MCA 400 2 3 2 2 2 400 3(m)在 RtABC 中，BCACsin BAC 400 3 3 2 600(m) 2如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点 从 A 点测得 M 点的仰角MAN 60 ，C 点的仰角CAB45 以及MAC75 ；从 C 点测得MCA60 .已知山高 BC100 m， 则山高 MN _ m. 150 解析 在ABC 中，AC100 2，在MAC 中， MA sin60 AC sin45 ，解得 MA100 3，在MNA 中， MN 100 3sin60 3 2 ，故 MN

16、150，即山高 MN 为 150 m. 解析解析 1 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ， 沿 BE 方向前进 30 m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10 3 m 至 D 点，测得 顶端 A 的仰角为 4，则 的大小为_ 题型题型 三三 测量角度问题测量角度问题 15 解析 在ACD 中，ACBC30，ADCD10 3， ADC180 4， 由正弦定理得10 3 sin2 30 sin180 4， 所以10 3 sin2 30 2sin2cos2，cos2 3 2 ， 所以 230 ，15 . 解析解析 2 在一次海上联合作战演习中， 红方一艘侦察艇

17、发现在北偏东 45 方向， 相距 12 n mile 的水面上， 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏 东 75 方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度沿北偏东 45 方 向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间 和角 的正弦值 解 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处拦截住蓝方的小艇，则 AC 14x，BC10 x， ABC120 . 根据余弦定理得 (14x)2122(10 x)2240 xcos120 ， 解得 x2. 故 AC28，BC20. 根据正弦定理得 BC sin AC sin120 ， 解得 sin20

18、sin120 28 5 3 14 . 所以红方侦察艇所需的时间为 2 小时，角 的正弦值为 5 3 14 . 解解 解决测量角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义 (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值 (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将 实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余 弦定理“联袂”使用的优点 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在 A 处的正 东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待 营救信息中心立即把消息告知在 A 处的南偏西 30 、相 距 20 海里的 C 处的乙船

19、，现乙船朝北偏东 的方向沿直 线 CB 前往 B 处救援，则 cos 等于( ) A. 21 7 B. 21 14 C.3 21 14 D. 21 28 答案答案 解析 在ABC 中，AB40，AC20， BAC120 ，由余弦定理 得 BC2AB2AC22AB AC cos120 2800，所以 BC20 7.由正弦定 理得 sin ACBAB BC sin BAC 21 7 .由 BAC120 知 ACB 为锐角，故 cos ACB 2 7 7 ，故 coscos( ACB30 )cos ACB cos30 sin ACB sin30 21 14 . 解析解析 3 课时作业课时作业 PAR

20、T THREE 1如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离， 李宁同学首先选定了与A， B不共线的一点C(ABC的角A， B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方 案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a. 则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为( ) A B C D A组组 基础关基础关 答案答案 解析 知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案可以确定 A，B 间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案可 以确定 A，B 间的距离 解析解析 2如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010 3) m，在该建筑物的正 东方向有一座通信塔

21、 CD.在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线) 处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15 和 60 ，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的 仰角为 30 ，则通信塔 CD 的高为( ) A30 m B60 m C30 3 m D40 3 m 答案答案 解析 在 RtABM 中，AM AB sin AMB 3010 3 sin15 3010 3 6 2 4 20 6(m)过点 A作 ANCD于点 N，如图所 示易知 MAN AMB15 ，所以 MAC30 15 45 .又 AMC180 15 60 105 ，所以 ACM30 .在AMC 中，由 正弦定理得 MC sin45 20 6

22、sin30 ，解得 MC40 3(m)在 RtCMD 中，CD 40 3sin60 60(m)，故通信塔 CD 的高为 60 m. 解析解析 3如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别 为 20 m,50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建 筑物 CD 的张角CAD 等于( ) A30 B45 C60 D75 答案答案 解析 依题意可得 AD20 10 m，AC30 5 m，又 CD50 m，所 以 在 ACD中 ， 由 余 弦 定 理 得cos CAD AC2AD2CD2 2AC AD 30 5220 102502 230 520 10 6000 600

23、0 2 2 2 ，又 0 CAD180 ，所以 CAD 45 ，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45 . 解析解析 4如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15 方 向，与海轮相距 20 n mile 的 B 处，海轮按北偏西 60 的方向航行了 30 min 后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75 的方向上，则海轮的速度为 ( ) A. 6 3 n mile/min B. 6 2 n mile/min C3 6 n mile/min D10 6 n mile/min 答案答案 解析 由 已 知 得 ACB45，B60，由 正 弦 定 理 得 AC sin

24、B AB sin ACB，所以 AC AB sinB sin ACB 20sin60 sin45 10 6，所以海轮航行的速度 为10 6 30 6 3 (n mile/min) 解析解析 5如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15 ， BDC30 ，CD30，并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB 等于( ) A5 6 B15 3 C5 2 D15 6 答案答案 解析 在BCD 中， CBD180 15 30 135 .由正弦定理得 BC sin30 30 sin135 ，所以 BC15 2.在 RtABC 中

25、，ABBCtan ACB15 2 315 6. 解析解析 6线段 AB 外有一点 C，ABC60 ，AB200 km，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶， 同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶， 则运动 开始_ h 后，两车的距离最小 70 43 解析 如图所示，设 t h 后，汽车由 A 行驶到 D， 摩托车由 B 行驶到 E，则 AD80t，BE50t. 因为 AB200，所以 BD20080t，问题就是求 DE 最小时 t 的值 由余弦定理得 DE2BD2BE22BD BEcos60 (20080t)22500t2 (20080t) 50t12900t

26、242000t40000. 当 t70 43时 DE 最小 解析解析 1如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直 线上的三点 C，D，E.从 D 点测得ADC67.5 ，从 C 点 测得ACD45 ，BCE75 ，从 E 点测得BEC60 . 若测得 DC2 3，CE 2(单位：百米)，则 A，B 两点的 距离为( ) A. 6 B2 2 C3 D2 3 B组组 能力关能力关 答案答案 解析解析 解析 根据题意，在ADC 中， ACD45 ， ADC67.5 ，DC 2 3，则 DAC180 45 67.5 67.5 ，则 ACDC2 3，在 BCE 中， BCE75 ，

27、 BEC60 ，CE 2，则 EBC180 75 60 45 ，则有 CE sin EBC BC sin BEC ，变形可得 BC CE sin BEC sin EBC 2 3 2 2 2 3，在ABC 中，AC2 3，BC 3， ACB180 ACD BCE60 ，则 AB2AC2BC22AC BC cos ACB9，则 AB3. 2(2019 惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡 相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得DAC15 ， 沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得DBC45 ，根据以上数据可得 cos

28、_. 31 解析 由 DAC15 ， DBC45 ，可得 DBA135 ， ADB30 . 在ABD 中，根据正弦定理可得 AB sin ADB BD sin BAD，即 50 sin30 BD sin15 ， 所以 BD100sin15 100sin(45 30 )25( 6 2) 在BCD 中，由正弦定理得 CD sin DBC BD sin BCD， 解析解析 即 25 sin45 25 6 2 sin BCD ，解得 sin BCD 31. 所以 coscos( BCD90 )sin BCD 31. 解析解析 3 (2019 福州综合质量检测)在距离塔底分别为 80 m,160 m,2

29、40 m 的同 一水平面上的 A，B，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为 ，.若 90 ，则塔高为_ m. 80 解析 设塔高为 h m，依题意得，tan h 80，tan h 160，tan h 240. 因为 90 ，所以 tan()tantan(90 )tan sin90 sin cos90 cos cossin sincos1，所以 tantan 1tantan tan1，所以 h 80 h 160 1 h 80 h 160 h 2401，解得 h 80，所以塔高为 80 m. 解析解析 4已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶 各有一座发射塔 A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别

30、为 AM100 m 和 BN200 m， 一测量车在小山 M 的 正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30 ， 该 测量车向北偏西 60 方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q，在点 Q 处测 得发射塔顶 B 处的仰角为 ，且BQA，经测量 tan2，求两发 射塔顶 A，B 之间的距离 解 在 RtAMP 中， APM30 ，AM100， PM100 3. 连接 QM，在PQM 中， QPM60 ，PQ100 3， PQM 为等边三角形， QM100 3. 在 RtAMQ 中，由 AQ2AM2QM2，得 AQ200. 在 RtBNQ 中，tan2，BN200， NQ100，BQ100 5，cos 5 5 . 在BQA 中， 解解 BA2BQ2AQ22BQ AQcos(100 5)2， BA100 5. 即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5 m. 解解 本课结束本课结束