第5讲　直线、平面垂直的判定与性质 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第5 5讲讲 直线、平面垂直的直线、平面垂直的 判定与性质判定与性质 第七章 立体几何 考纲解读 掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用 它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题(重点、难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容预测2021年 将会以以下两种方式进行考查：以几何体为载体考查线面垂直的判定和性 质；根据垂直关系的性质进行转化试题以解答题第一问直接考查，难度 不大，属中档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART

2、 ONE 1.直线与平面垂直 判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两 条01 _直线都垂直， 则 该直线与此平面垂直 02_ 03_ 04_ 05_ l 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直 线06 _ 07_ 08_ ab 相交 a，b abO la lb 平行 a b 2平面与平面垂直 判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面 的01 _，则这 两个平面垂直 02_ 03_ 性质 定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于04 _的直线与另一 个平面垂直 05_ 06_ 07_ 08_ l 一条垂线 l

3、 l 交线 a l la 3直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的01 _所成的02 _叫做这 条直线和这个平面所成的角 (2)范围：03 _. 4二面角 (1)定义： 从一条直线出发的01 _所组成的图形叫做二面 角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作02 _的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 (2)范围：03 _ 射影 锐角 两个半平面 垂直于棱 0，180 . . 0 ，90 5必记结论 (1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一 条直线 (3)

4、过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直 (6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个 平面 1概念辨析 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平 面( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线， 则.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)下列命题中不正确的是( ) A如果平面 平面 ，且直线 l

5、平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于 平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l 答案答案 解析 A 错误，如图 1 所示，在长方体中 ，l，但 l；B 正 确，设 l，则 内与 l 平行的直线都与 平行；C 正确，由面面垂直 的判定可知；D 正确，如图 2 所示，在平面 内，作 与 交线的垂线 m， 在平面 内作 与 的交线的垂线 n，由 得 m，由 得 n，所 以 mn.可推出 m，进而推出 ml，所以 l. 解析解析 (2)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，

6、CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( ) AAG平面 EFH BAH平面 EFH CHF平面 AEF DHG平面 AEF 答案答案 解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，AH平面 EFH， B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确；AGEF， EFGH，AGGHG，EF平面 HAG，又 EF平面 AEF，平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内， C 不正确；已证平面 HAG平面 AEF

7、，若证 HG平面 AEF，只需证 HG AG，已证 AHHG，故 HGAG 不成立，所以 HG 与平面 AEF 不垂直， D 不正确故选 B. 解析解析 (3)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为_ 解析 连接 A1C1，则AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1所成的角因为 ABBC2，所以 A1C1AC2 2，又 AA11，所以 AC13，所以 sin AC1A1AA1 AC1 1 3. 解析解析 1 3 (4)已知 PD 垂直于菱形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC，PA，AC， BD，则一定互相

8、垂直的平面有_对 解析 由于 PD平面 ABCD， 故平面 PAD平 面 ABCD， 平面 PDB平面 ABCD，平面 PDC平 面 ABCD，由于 AC平面 PDB，所以平面 PAC平 面 PDB，共 4 对 解析解析 4 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 角度 1 直线与平面所成的角 1(2018 全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ，则该长方体的体积为( ) A8 B6 2 C8 2 D8 3 答案答案 题型题型 一一 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 解析 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1

9、中，连接 BC1，根据线面角的定义可知AC1B30 ，因为AB 2， AB BC1tan30 ，所以BC12 3，从而求得CC1 BC2 1BC 22 2，所以该长方体的体积为V 222 28 2.故选C. 解析解析 角度2 直线与平面垂直的判定和性质 2(2019 镇江模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方 形，AC与BD交于点O，PC底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点 (1)若PD平面ACE，求证：E为PB的中点； (2)若AB 2PC，求证：CG平面PBD. 证明 (1)如图，连接OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中 点， PD平面ACE，PD平面PBD

10、，平面PBD平面ACEOE， PDOE，O为BD的中点，E为PB的中点 证明证明 (2)在四棱锥PABCD中，AB 2PC， 四边形ABCD是正方形，OC 2 2 AB，PCOC， G为PO的中点，CGPO. 又PC底面ABCD，BD底面ABCD，PCBD. 而四边形ABCD是正方形，ACBD， AC，PC平面PAC，ACPCC，BD平面PAC， 又CG平面PAC，BDCG. PO，BD平面PBD，POBDO， CG平面PBD. 解析解析 1求直线和平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐 角即为所求的角 (3)

11、把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角如举例说 明1. 2证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法如举例说明2(2) (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂 直” (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂 直” (4)利用面面垂直的性质定理 1已知一个正四棱柱的体对角线长为6 ，且体对角线与底面所成的 角的余弦值为 3 3 ，则该四棱柱的表面积为_ 解析 由图可知，BD 6 3 3 2， DD1BD2 1BD 2 622，底面边长AB 2 2 2 1，所以所求表面积为4AA1 AB2AB2421 212

12、10. 解析解析 10 2如图，S是RtABC所在平面外一点，且 SASBSC，D为斜边AC的中点 (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 证明 (1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中， D，E分别为AC，AB的中点 证明证明 DEBC，DEAB， SASB，SEAB. 又SEDEE， AB平面SDE. 又SD平面SDE，ABSD. 在SAC中，SASC，D为AC的中点， SDAC. 又ACABA，SD平面ABC. (2)由于ABBC，则BDAC， 由(1)可知，SD平面ABC， 又BD平面ABC，SDBD， 又SDACD，BD平面SAC

13、. 证明证明 1如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在 平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且 AB2，PABC 3，则二面角ABCP的大小为 _ 解析 因为AB为O的直径，所以ACBC，又PA平面ABC，所以 PABC，可求得BCPC，所以PCA为二面角ABCP的平面角因为 ACB90 ，AB2，PABC 3，所以AC1，所以在RtPAC中，tan PCA PA AC 3.所以PCA60 . 解析解析 题型题型 二二 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 60 结论探究 在本例的条件下，二面角APBC的正切值为_ 解析 如图，过A作AFPC，垂足为F， 过F作FEPB，垂足为E，

14、连接AE， 由举例说明1易得BC平面PAC. 又AF平面PAC， 所以AFBC. 又PCBCC，所以AF平面PBC. 所以PBAF，又PBEF，AFEFF， 所以PB平面AEF，所以PBAE， 解析解析 7 3 所以AEF为二面角APBC的平面角， 在RtPAC中，AC1，PA 3，PAC90 . 所以tanPCA PA AC 3，所以PCA60 ， 所以CF1cos60 1 2，AF1sin60 3 2 . 在RtPBC中，PC2，BC 3，PCB90 ，PB 7. 由PEFPCB得EF BC PF PB， 所以EF 3 3 2 7，所以EF 3 21 14 ， 解析解析 2如图，在四棱锥P

15、ABCD中，底面ABCD 是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与 棱PD交于点F. (1)求证：ABEF； (2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形， 所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC， 所以AB平面PDC， 又AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF， 所以ABEF. 证明证明 (2)因为四边形ABCD是矩形， 所以ABAD. 因为AFEF，(1)中已证ABEF， 所以ABAF. 又ABAD， 由点E在棱PC上(异于点C)， 所以点F异于点D， 所以AFADA，AF，AD平面PAD， 所以AB平面PAD， 又AB平面

16、ABCD，所以平面PAD平面ABCD. 证明证明 1作二面角的平面角的方法 (1)定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条 射线所成的角就是二面角的平面角如举例说明1. (2)垂线法：如图所示，作PO，垂足为O，作OAl，垂足为A，连 接PA，则PAO为二面角l的平面角 (3)补棱法：在求解二面角问题时，若构成二面角的两个半平面没有明 确的交线，则将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)， 然后借助前述的定义法或垂线法解题 (4)射影面积法 cosS 射影 S斜 ：二面角的图形中含有 可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图 形面积时，都可利用射影面积公式

17、cosS 射影 S斜 求出二 面角的大小 (5)向量法(最常用) (6)转化为线面角：如图，求l的二面角，即求AB与所成的角 2证明面面垂直的两种方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二 面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一 个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直加以解决如举例说明 2(2) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB90 ，M是 AB的中点，ACCBCC12. (1)求证：平面A1CM平面ABB1A1； (2)求点M到平面A1CB1的距离 解 (

18、1)证明：由A1A平面ABC，CM平面ABC，得A1ACM. ACCB，M是AB的中点，ABCM. 又A1AABA.CM平面ABB1A1， 又CM平面A1CM，平面A1CM平面ABB1A1. (2)设点M到平面A1CB1的距离为h， 由题意可知A1CCB1A1B12MC2 2， SA1CB1 3 4 (2 2)22 3， SA1MB11 2S四边形ABB1A1 1 222 22 2. 解解 由(1)可知CM平面ABB1A1， 得VCA1MB11 3MC SA1MB1VMA1CB1 1 3h SA1CB1. 点M到平面A1CB1的距离hMC SA1MB1 SA1CB1 2 3 3 . 解解 (2

19、019 南昌模拟)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，E，F是边 DC的三等分点现将DAE，CBF分别沿AE，BF折起，使得平面 DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直 (1)若G为线段AB上一点，且AG1， 求证：DG平面CBF； (2)求多面体CDABFE的体积 题型题型 三三 平面图形的翻折问题平面图形的翻折问题 解 (1)证明：如图，分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN， MG，MN， 因为ADDE1，ADE90 ， 所以DMAE，且DM 2 2 . 因为BCCF1，BCF90 ， 所以CNBF，且CN 2 2 . 解解 因为平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直， 所

20、以DM平面ABFE，CN平面ABFE，所以DMCN， 因为AMAGcos45 ，所以AMG90 ， 所以AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故MGA45 ， 而FBA45 ，则MGFB，故平面DMG平面CBF，则DG平面 CBF. 解解 (2)如图，连接BE，DF，由(1)可知，DM CN，且DMCN，则四边形DMNC为平行四边 形，故DCMNEFAB 2 2. 因为V多面体CDABFEVDABEVBEFCDVDABE 3VBDEFVDABE3VDBEF， 所以V多面体CDABFE1 3 1 231 2 2 31 3 1 211 2 2 2 2 . 解解 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键

21、是看翻折前后线面位置关系 的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发 生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特 征 解决此类问题的步骤为： (2019 合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，ABCE，且AE 2，AEC60 ，CDED 7，cosEDC 5 7 .将CDE沿CE折起，使点 D到P的位置，且AP 3，得到如图2所示的四棱锥PABCE. (1)求证：AP平面ABCE； (2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl. 证明 (1)在CDE中， CDED 7，cosEDC5 7， 由余弦定理得CE2. 连接AC，如图， AE

22、2，AEC60 ，AC2. 又AP 3， 在PAE中，PA2AE2PE2，即APAE. 同理，APAC. ACAEA，AC平面ABCE，AE平面ABCE， AP平面ABCE. 证明证明 (2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE， AB平面PCE. 又平面PAB平面PCEl，ABl. 证明证明 3 课时作业课时作业 PART THREE 1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线AC l，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) AABm BACm CAB DAC A组组 基础关基础关 解析 如图所示，ABlm；ACl，mlAC m；ABlAB，只有D不一定成立，故选

23、D. 答案答案 解析解析 2(2019 武汉模拟)已知两个平面相互垂直，下列命题： 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平 面 其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案答案 解析 由题意，对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于 交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故错误；对于， 设平面平面m，n，l，平面平面，当lm时，必有l ，而n，ln，而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均 与n垂直，

24、故一个平面内的己知直线必垂直于另一个平面内的无数条直 线，即正确；对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不 垂直于另一个平面，故错误；对于，当两个平面垂直时，过一个平面 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直 的性质定理，故正确 解析解析 3.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六 边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确 的是( ) APBAD B平面PAB平面PBC C直线BC平面PAE D直线PD与平面ABC所成的角为45 解析 选项A，B，C显然错误PA平面ABC，PDA是直线PD 与平面ABC所成的角ABCDEF是正六边形，AD2AB.t

25、anPDA PA AD 2AB 2AB1，直线PD与平面ABC所成的角为45 .故选D. 答案答案 解析解析 4(2020 江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BD AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在( ) A直线AB上 B直线BC上 C直线AC上 DABC内部 解析 因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD， 又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射 影H必在直线AB上故选A. 答案答案 解析解析 5如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90 ，D是A1B1的中点，F是 BB1上的动点，AB1，

26、DF交于点E.要使AB1平面 C1DF，则线段B1F的长为( ) A.1 2 B 1 C. 3 2 D2 解析 设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1 DF.由已知可以得A1B12 ，矩形ABB1A1中，tanFDB1 B1F B1D ，tan A1AB1A1B1 AA1 2 2 .又FDB1A1AB1，所以 B1F B1D 2 2 .故B1F 2 2 2 2 1 2. 故选A. 答案答案 解析解析 6(2019 全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三 角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中 点，则( ) ABMEN，且直线BM，EN是相交直线

27、 BBMEN，且直线BM，EN是相交直线 CBMEN，且直线BM，EN是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN是异面直线 答案答案 解析 解法一：取CD的中点O，连接EO，ON.由ECD是正三角形， 知EOCD，又平面ECD平面ABCD，EO平面ABCD. EOON.又N为正方形ABCD的中心，ONCD.以CD的中点O为 原点，OD 方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图1所示 解析解析 不妨设AD2，则E(0,0，3 )，N(0,1,0)，M 1 2，0， 3 2 ，B(1,2,0)， EN12 322，BM 3 2 243 4 7 ，ENBM.连接 BD，BE，点N是正方形ABCD的中心

28、，点N在BD上，且BNDN， BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选B. 解析解析 解法二：如图2，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG， GB.ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF 平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF3，EN FN2EF22.EMMD，DGGF，MGEF且MG 1 2EF，MG 平面ABCD，MGBG.MG 1 2 EF 3 2 ，BGCG2BC2 3 2 222 5 2 ，BMMG2BG2 7.BMEN.连接BD，BE，点 N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是 DBE的中线，BM，EN必

29、相交故选B. 解析解析 7已知ABCA1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中 点，则下列命题正确的是( ) A在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45 B在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45 C在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行 D在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直 答案答案 解析 设该直三棱柱的棱长均为a，取BC的中点P，连接MP，则MP 平面ABC，点N在棱AB上，若MN与平面ABC所成角为45 ，即MNP 45 ，则PNPMa，而PNmax 3 2 aa，A错误；若点N在棱AA1上，则点 N在平面BCC1B1上的射影为点Q，且M

30、QCC1，此时MN与平面BCC1B1所 成角即为NMQ，当NQA1N 3 2 a时，NMQ45 ，B正确；因为AC与 B1C1是异面直线，所以点N在AC上时，MN与AB1是异面直线或相交直线， 不可能平行，C错误；取BC的中点K，则AK平面BCC1B1，AKMN，若 MNAB1，则MN平面AB1K，此时MNB1K，当N在棱BC上时，MN B1K不可能成立，D错误，故选B. 解析解析 8(2019 北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三 个论断： lm；m；l. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正 确的命题：_. 解析 已知l，m是平面外的两条不同直线，由

31、lm与m，不 能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l 能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是 或. 解析解析 若m且l，则lm(或若lm，l，则m) 9.如图，平面ABC平面BDC，BACBDC 90 ，且ABACa，则AD_. 解析 作BC的中点E，连接AE，DE，则在RtABC中， ABACa，由勾股定理得BC2AE 2a，且有AE BC，又平面ABC平面BDC，平面ABC平面BDCBC，且直线AE在 平面ABC内，由面面垂直的性质定理得AE平面BDC， DE平面BDC内，AEDE，又在RtBCD中，点E是BC的中点， DE BC 2 2 2 a，在RtADE中，

32、AE 2 2 a，由勾股定理得AD AE2DE2a. a 解析解析 10(2019 湖北省“四地七校”联考)现有编号为、的三个三 棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面 与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_ 解析 编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧棱VC底面ABC， 则侧面VAC底面ABC，满足题意；编号为的三棱锥，其直观图可能是 ，侧面PBC底面ABC，满足题意；编号为的三棱锥，顶点的投影不 在底面边上(如图)，不存在侧面与底面垂直故答案为. 解析解析 1如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面 PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C

33、的轨迹是( ) A一条线段 B一条直线 C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点 B组组 能力关能力关 解析 平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC.又AC平 面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC， 点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两 点故选D. 答案答案 解析解析 2如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点， Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的 四个值中不为定值的是( ) A点P到平面QEF的距离 B三棱锥PQEF的体积 C直线PQ与平面PEF所成的角 D二面角

34、PEFQ的大小 答案答案 解析 A中，因为平面QEF也就是平面A1B1CD，显然点P到平面 A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值；B中，因为 QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也 是定长，即底和高都是定值)，再根据A的结论，即点P到平面QEF的距离 也是定值，所以三棱锥PQEF的高也是定值，所以三棱锥PQEF的体积 是定值；C中，因为Q是动点，PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定 值，所以PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，因为A1B1CD，Q为 A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角PEFQ的大小即 为二面角

35、PCDA1的大小，为定值 解析解析 3(2018 全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所 成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.3 3 4 B.2 3 3 C.3 2 4 D. 3 2 答案答案 解析 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的， 所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平 面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截 面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的 中

36、点的正六边形，边长为 2 2 ，所以其面积为S6 3 4 2 2 23 3 4 ，故选 A. 解析解析 4如图，在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点为M， 又PAAB4，ADCD，CDA120 ，N是CD的 中点 (1)求证：平面PMN平面PAB； (2)求点M到平面PBC的距离 解 (1)证明：在正ABC中，AB BC，在ACD中，ADCD，易 证ADBCDB， 所以M为AC的中点，因为N是CD的中点，所以MNAD. 因为PA平面ABCD，所以PAAD，因为CDA120 ，所以DAC 30 ，因为BAC60 ，所以BAD90 ，即BAAD. 因为PAA

37、BA，所以AD平面PAB，所以MN平面PAB. 又MN平面PMN，所以平面PMN平面PAB. 解解 (2)设点M到平面PBC的距离为h， 在RtPAB中，PAAB4，所以PB4 2， 在RtPAC中，PAAC4，所以PC4 2， 在PBC中，PB4 2，PC4 2，BC4， 所以SPBC4 7. 由ABC是正三角形，M是AC的中点，得BMAC， 在RtBMC中，MC2，BM2 3， 所以SBMC2 3. 由VMPBCVPBMC，即1 34 7h 1 32 34，解得h 2 21 7 ， 所以点M到平面PBC的距离为2 21 7 . 解解 1(2019 湖南长郡中学模拟)如图，在多边形ABPCD

38、中(图1)，四边形 ABCD为长方形，BPC为正三角形，AB3，BC32 ，现以BC为折痕 将BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上(图2) (1)证明：PD平面PAB； (2)若点E在线段PB上，且PE 1 3 PB，当点Q在线段AD上运动时，求 三棱锥QEBC的体积 C组组 素养关素养关 解 (1)证明：过点P作POAD，垂足为O. 由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD 上， PO平面ABCD.POAB. 四边形ABCD为矩形，ABAD. 又ADPOO，AB平面PAD，AB PD. 又由AB3，PB3 2，可得PA3，同理PD3.又AD3 2，PA2 PD2AD2， PA

39、PD，且PAABA，PD平面PAB. 解解 (2)设点E到底面QBC的距离为h， 则VQEBCVEQBC1 3SQBC h. 由PE1 3PB，可知 BE BP 2 3， h PO 2 3h 2 3 3 2 2 2. 又SQBC 1 2 BC AB 1 2 32 3 9 2 2 ，VQEBC1 3SQBC h 1 3 9 2 2 23. 解解 2(2019 合肥一中模拟)如图，四边形ABCD为矩形，点A，E，B，F 共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90 . (1)若平面ABCD平面AEBF，证明：平面BCF平面ADF； (2)问在线段EC上是否存在一点G，使得BG平面C

40、DF，若存在，求 出此时三棱锥GABE与三棱锥GADF的体积之比 解 (1)证明：四边形ABCD为矩形，BCAB， 又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面AEBF AB，BC平面AEBF， 又AF平面AEBF，BCAF. AFB90 ，即AFBF，又BC平面BCF，BF平面BCF， BCBFB，AF平面BCF，又AF平面ADF， 平面BCF平面ADF. 解解 (2)BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF. ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90 ， FABABE45 ，AFBE，又AF平面ADF， BE平面ADF，BCBEB， 平面BCE平面ADF. 延长EB到点H，使得BHAF，又BC綊AD，连接CH，HF，易证四边 形ABHF是平行四边形， HF綊AB綊CD，四边形HFDC是平行四边形，CHDF. 解解 过点B作CH的平行线，交EC于点G， 即BGCHDF，又DF平面CDF，BG平面CDF， BG平面CDF，即此点G为所求的G点 又BE 2AB2AF2BH，EG2 3EC， 又SABE2SABF， VGABE2 3VCABE 4 3VCABF 4 3VDABF 4 3VBADF 4 3VGADF，故 VGABE VGADF 4 3. 解解 本课结束本课结束