第10讲　导数的概念及运算 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第1010讲讲 导数的概念及运算导数的概念及运算 第二章 函数、导数及其应用 考纲解读 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数 的几何意义 2能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y 1 x ，y x的导数 3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函数)的导数 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预

2、测 2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义以客观题的形式考查导数的 定义，求曲线的切线方程导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问 进行考查，试题难度属中低档. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.变化率与导数 (1)平均变化率 概念 对于函数yf(x)，01 _y x叫做函数yf(x)从x1到 x2的平均变化率 几何 意义 函数yf(x)图象上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的02 _ 物理 意义 若函数yf(x)表示变速运动的质点的运动方程，则y x就是该质点在 x1，x2上的03 _速度 fx2fx1 x2x1 斜率 平均 (2)导数 定义 一般地，函数

3、yf(x)在xx0处的瞬时变化率 y x fx0 xfx0 x ，称它为函数yf(x)在04 _处的导数，记为 05 _或，即06 _ y x fx0 xfx0 x xx0 f(x0) f(x0) 几何 意义 函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是函数图象在该点处切线的 07 _曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程是08 _ 物理 意义 函数yf(x)表示变速运动的质点的运动方程，则函数在xx0处的导 数就是质点在xx0时的09 _速度 斜率 yf(x0)f(x0)(xx0) 瞬时 2导数的运算 原函数 导函数 特例或推广 常数函数 C0(C为常数) 幂函数 (x)x 1(

4、Q*) 1 x 01 _ 常 用 导 数 公 式 三角函数 (sinx)02 _， (cosx)03 _ 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函 数，周期函数的导数是周期函 数 1 x2 cosx sinx 原函数 导函数 特例或推广 指数函数 (ax)04 _ (a0，且a1) (ex)05 _ 常 用 导 数 公 式 对数函数 (logax)06 _ (x0，a0，且a1) (ln x)07 _ (x0) axln a ex 1 xln a 1 x 加减 f(x) g(x) 08 _ 乘法 f(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) cf(x)cf (x) 四则 运算 法则 除法 fx

5、gx f xgxgxfx g2x 1 gx gx g2x 复合 函数 导数 复合函数yfg(x)的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数之间具有关 系yx09 _，这个关系用语言表达就是“y对x的导数 等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” f (x) g(x) yu ux 1概念辨析 (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同( ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( ) (3)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相 同( ) (4)函数f(x)sin的导数f(x)cos.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身

6、(1)下列函数求导运算正确的个数为( ) (3x)3xlog3e；(log2x) 1 x ln 2； (e1 x)e1x； 1 ln x x. A1 B2 C3 D4 答案答案 解析 中，(3x)3xln 3，错误；中，(log2x) 1 x ln 2 ，正确； 中，(e1 x)e1x，错误；中， 1 ln x 0 ln x1 x ln x2 1 xln x2 ，错 误，因此求导运算正确的个数为1. 解析解析 (2)有一机器人的运动方程为st2 3 t (t是时间，s是位移)，则该机器人 在时刻t2时的瞬时速度为( ) A.19 4 B.17 4 C.15 4 D.13 4 解析 s t23

7、t 2t 3 t2，当t2时，s22 3 22 13 4 ，所以该 机器人在t2时的瞬时速度为13 4 . 答案答案 解析解析 解析 f(x)x34x5，f(x)3x24， f(1)7，即切线的斜率为7， 又f(1)10，故切点坐标为(1,10)， 切线的方程为y107(x1)， 当y0时，x3 7，切线在x轴上的截距为 3 7. (3)函数f(x)x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为( ) A10 B5 C1 D3 7 答案答案 解析解析 (4)已知直线yx1是函数f(x) 1 a ex图象的切线，则实数a _. 解析 设切点为(x0，y0)，则f(x0) 1 a 1，a，又 1

8、a x01，x02，ae2. e2 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1(2019 华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x) x3 f 2 3 x2x，则f(1)_. 解析 因为f(x)x3 f 2 3 x2x， 所以f(x)3x22 f 2 3 x1. 所以f 2 3 3 2 3 22 f 2 3 2 31. 解得f 2 3 1. 所以f(x)3x22x1，所以f(1)0. 0 解析解析 题型题型 一一 导数的运算导数的运算 2求下列函数的导数： (1)y(2x21)(3x1)； (2)yxsin2xcos2x； (3)yexcosx； (

9、4)yln 2x1 x . 解 (1)因为y(2x21)(3x1)6x32x23x1， 所以y18x24x3. (2)因为yxsin2xcos2x，所以yx1 2sin4x， 所以y11 2cos4x412cos4x. 解解 (3)y(excosx)(ex)cosxex(cosx) excosxexsinxex(cosxsinx) (4)y ln 2x1 x ln 2x1xxln 2x1 x2 2x1 2x1 xln 2x1 x2 2x 2x1ln 2x1 x2 2x2x1ln 2x1 2x1x2 . 解解 1谨记一个原则 先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、 商，再求导

10、 2熟记求导函数的五种形式及解法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明 2(1) (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导如 举例说明2(2) 3求复合函数的导数的一般步骤 (1)确定复合关系注意内层函数通常为一次函数 (2)由外向内逐层求导如举例说明2(4)中对ln (2x1)的求导 求下列函数的导数： (1)yln x1 x；(2)y sinx x ； (3)y(x22

11、x1)e2 x. 解 (1)y ln x1 x (ln x) 1 x 1 x 1 x2. (2)y sinx x sinxxsinx x x2 xcosxsinx x2 . (3)y(x22x1)e2 x(x22x1)(e2x) (2x2)e2 x(x22x1)(e2x) (3x2)e2 x. 解解 角度1 求切线方程 1过点(1，2)且与yx33x相切的直线方程为( ) Ay2或9x4y10 By2 C9x4y10 Dy0或9x4y10 解析 y3x23，设切点坐标为(x0，x 3 0 3x0)，此时在切点处的斜 率为3x2 03，所以切线方程为y(x 3 03x0)(3x 2 03)(xx

12、0)，将 点(1，2)代入切线方程，整理得2x3 03x 2 010，即(x01) 2(2x 01)0， 解得x01或x01 2，分别代入切线方程可得y2或9x4y10. 答案答案 解析解析 题型题型 二二 导数的几何意义导数的几何意义 2(2019 全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为 _ 解析 y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke03 3，切线方程为y3x. y3x 解析解析 角度2 求切点坐标 3(2019 广州模拟)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0) 处的切线方程为xy0，则点P的坐标为( ) A(0,0

13、) B(1，1) C(1,1) D(1，1)或(1,1) 答案答案 解析 f(x)(x3ax2)3x22ax， 由题意得f(x0)1，x0f(x0)0， 所以 3x2 02ax01， x0 x3 0ax 2 00， 由知x00，故可化为1x 2 0ax00，所以ax01x 2 0代入得 3x2 02(1x 2 0)1，即x 2 01， 解得x0 1. 当x01时，a2，f(x0)x3 0ax 2 01； 当x01时，a2，f(x0)x3 0ax 2 01， 所以点P的坐标为(1，1)或(1,1) 解析解析 角度3 求参数的值(范围) 4(2019 全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，a

14、e)处的切线方程为 y2xb，则( ) Aae，b1 Bae，b1 Cae 1，b1 Dae 1，b1 解析 yaexln x1，ky|x1ae1， 切线方程为yae(ae1)(x1)， 即y(ae1)x1. 又切线方程为y2xb， ae12， b1， 即ae 1，b1.故选D. 答案答案 解析解析 5若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实 数a的取值范围是( ) A. 1 2， B. 1 2， C(0，) D0，) 解析 f(x) 1 x 2ax 2ax21 x (x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成 立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a 1 x2

15、(x0)恒成立，所以a0，故 实数a的取值范围为0，) 答案答案 解析解析 求切线方程问题的两种类型及方法 (1)求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为 切点，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0 f(x0)(xx0)如举例说明2. (2)求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P， 点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条如举例说明 1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： 设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)； 根据题意知点P(x0，y

16、0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得 到方程组 y1fx1， y0y1fx1x0 x1， 求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1 f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程 1若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a( ) Ae 1 2 B2e 1 2 Ce 1 2 D2e 1 2 解析 依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切线的横坐标为x0， 则有 2 x0 ，于是有 a 2 x0， ax02ln x01， 解得x0e，则a 2 x0 2e 1 2，故选B. 答案答案 解析解析 2已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x3ln x，则曲线yf(x

17、)在 点(1，1)处的切线的斜率为_ 解析 因为当x0时，f(x)x3ln x，所以当x0，f(x) (x)3ln (x)，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)x3 ln (x)，则f(x)3x2 1 x ，所以f(1)2，所以曲线yf(x)在点( 1，1)处的切线的斜率为2. 2 解析解析 3已知直线l为曲线y aln x x 在点(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴 围成的三角形面积为1 2时，实数a的值为_ 0或3 4 解析 因为y1aln x x2 ，所以切线l的斜率为1a，则切线l的方程 为ya(1a)(x1)， 令x0得y2a1. 令y0得x2a1 a1 . 所

18、以直线l与坐标轴围成的三角形面积为 1 2 |2a1| 2a1 a1 1 2 ，即|2a 1|2|a1|. 则4a24a11a 或4a24a1a1 ， 由方程解得a0或a3 4，方程无解 所以a0或a3 4. 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1设f(x)ln (32x)cos2x，则f(0)( ) A1 3 B.1 3 C2 3 D.2 3 A组组 基础关基础关 解析 因为f(x) 1 32x (2)2sin2x 2 2x32sin2x，所以f(0) 2 3. 答案答案 解析解析 2(2020 宁夏中卫月考)函数yf(x)的图象在点P(5，f(5)处的切线方 程是yx8，

19、则f(5)f(5)( ) A1 B2 C3 D4 解析 由条件知f(5)1，又在点P处的切线方程为yf(5)(x 5)，yx5f(5)，即yx8，5f(5)8，f(5)3，f(5) f(5)2. 答案答案 解析解析 3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s1 3t 33t2 8t，那么速度为零的时刻是( ) A1秒末 B1秒末和2秒末 C4秒末 D2秒末和4秒末 解析 速度vs 1 3t 33t28t t26t8，由t26t80，解 得t2或4，所以速度为零的时刻是2秒末和4秒末 答案答案 解析解析 4已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函 数，则下列数值排序正确的是

20、( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(3)f(2)f(3)f(2) C0f(3)f(3)f(2)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 解析 f(2)，f(3)表示曲线yf(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3) f(2)f3f2 32 表示直线AB的斜率所以0f(3)f(3)f(2)0且a1，f(x)为f(x) 的导函数，若f(1)3，则a的值为_ 解析 因为f(x)axln x，所以f(x)ln a axln xa x x .又f(1)3，所以 a3. 3 解析解析 10已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx 2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x

21、)，g(x) 是g(x)的导函数，则g(3)_. 解析 由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于 1 3 ，f(3) 1 3.g(x)xf(x)， g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f(3)1，g(3)13 1 3 0. 0 解析解析 1已知函数f(x) 4 ex1 x3sinx，其导函数为f(x)，则f(2020) f(2020)f(2020)f(2020)的值为( ) A4040 B4 C2 D0 B组组 能力关能力关 解析 函数f(x) 4 ex1 x3sinxf(x)f(x) 4 ex1 4ex ex1 4，因 为f(x) 4ex ex12 3

22、x2cosx为偶函数，所以f(x)f(x)0，所以 f(2020)f(2020)f(2020)f(2020)4. 答案答案 解析解析 2若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小 距离为( ) A1 B. 2 C. 2 2 D. 3 解析 设P(x0，y0)，当点P处的切线与直线yx2平行时，点P到直线 yx2的距离最小又y2x 1 x ，则2x0 1 x0 1，解得x01 或x01 2(舍去)，则y01，即P(1,1)，所以最小距离为 |112| 1212 2. 答案答案 解析解析 3(2019 华中师范大学第一附中模拟)已知函数f(x) xln x2x，x0， x23

23、2x，x0， g(x)kx1，f(x)的图象上有且仅有四个不同的点关于 直线y1的对称点在g(x)的图象上，则k的取值范围是( ) A. 1 3， 3 4 B. 1 2， 3 4 C. 1 3，1 D. 1 2，1 答案答案 解析 ykx1关于直线y1的对称直线为ymx 1(mk)，先考虑特殊位置：ymx1与yx2 3 2 x(x0)相切，得0m 1 2 (舍去正数)，ymx1与y xln x2x(x0)相切，由导数几何意义得 yxln x2x， ymx1， mln x1 x1，m 1，结合图象可知1m1 2 1 2k1，故选D. 解析解析 4设函数f(x)ax b x ，曲线yf(x)在点(

24、2，f(2)处的切线方程为7x 4y120. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成 的三角形的面积为定值，并求此定值 解 (1)方程7x4y120可化为y7 4x3. 当x2时，y1 2.又f(x)a b x2， 于是 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故f(x)x3 x. 解解 (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1 3 x2， 知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 yy0 1 3 x2 0 (xx0)， 即y x0 3 x0 1 3 x2 0 (xx0) 令x0，得y 6 x0， 从而得切

25、线与直线x0的交点坐标为 0， 6 x0 . 令yx，得yx2x0， 从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0) 解解 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S 1 2 6 x0 |2x0|6. 故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的 面积为定值，且此定值为6. 解解 解 (1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x 1 x ，f(1)211，则所 求切线方程为y11(x1)，即yx. 解解 5已知函数f(x)x2ln x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)在函数f(x)x2ln x的图象上是否存在两点，

26、使以这两点为切点的 切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 1 2，1 上？若存在，求出这两点 的坐标；若不存在，请说明理由 (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1， x2 1 2，1 ，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得 2x1 1 x1 2x2 1 x2 1，又函数f(x)2x 1 x 在区间 1 2，1 上单调递增，函 数的值域为1,1，故12x1 1 x1 2x2 1 x2 1，据此有 2x1 1 x11， 2x2 1 x21， 解得x11 2，x21 x11，x21 2舍去 ， 故存在两点 1 2，ln 2 1 4 ，(1,1)满足题意 解解 本课结束本课结束