第6讲 双曲线 (《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数).ppt
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1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 (创新版)(创新版) 【精品课件精品课件】 第第6 6讲讲 双曲线双曲线 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几 何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(重点) 2 掌握直线与双曲线位置关系的判断, 并能求解与双曲线有关的简单问题, 理解数形结合思想在解决问题中的应用(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的热点预测 2021 年 高考会考查:双曲线定义的应用与标准方程的求解;渐近线方程与离 心率的求解试题以客观题的形式呈现,难度不大,以
2、中档题为主. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小 于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01 _ 这两个定点叫做双曲线 的02 _,两焦点间的距离叫做双曲线的03 _ 集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a,c 为常数且 a0, c0: (1)当04 _时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当05 _时,P 点的轨迹是两条06 _; (3)当07 _时,P 点不存在 双曲线 焦点 焦距 ac 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0
3、) y2 a2 x2 b21(a0,b0) 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0) y2 a2 x2 b21(a0,b0) 范围 x01 _或 x02 _,yR xR, y03 _或 y04 _ 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0) A105 _, A206 _ 性 质 焦点 F1(c,0),F2(c,0) F107 _, F208 _ a a a a (0,a) (0,a) (0,c) (0,c) 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0) y2 a2 x2 b21(a0,b0) 渐近线 y b ax y09 _ 离心率 e10
4、_,e11 _,其中 c a2b2 性 质 实虚轴 实轴:|A1A2|12 _;虚轴:|B1B2|13 _ a,b,c 的关系 c214 _ (ca0,cb0) a bx c a (1,) 2a 2b a2b2 3必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,其方程 可写作:x2y2(0) (3)等轴双曲线离心率 e 2两条渐近线 y x 相互垂直 1概念辨析 (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲 线( ) (2)双曲线方程 x2 m2 y2 n2(m0,n0,0)的渐近线方程是 x2 m2
5、y2 n20, 即 x m y n0.( ) (3)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 (4)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)与 y2 b2 x2 a21(a0,b0)的离心率分别 是 e1,e2,则 1 e2 1 1 e2 21(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( ) 2小题热身 (1)设双曲线 C 的两个焦点分别为(2,0),(2,0),一个顶点是( 2,0), 则 C 的方程为_ 解析 由题意, 得双曲线 C 的焦点在 x 轴上, 设其方程为x 2 a2 y2 b21(a0, b0),由
6、已知得 a 2,c2,所以 b2c2a22,b 2,所以 C 的方程 为x 2 2 y 2 2 1. x2 2 y 2 2 1 解析解析 (2)设 P 是双曲线 x2 16 y2 201 上一点,F1,F2 分别是双曲线左、右两个 焦点,若|PF1|9,则|PF2|_. 解析 由题意知|PF1|90)的离心率为 5 2 ,则 a _. 解析 由已知,b24,ec a 5 2 ,即c 2 a2 5 2 25 4,又因为 a 2b2c2, 所以a 24 a2 5 4,a 216,a4. 4 解析解析 (4)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线 的
7、渐近线方程为_ 解析 由已知, 得 2b2,2c2 3, 所以 b1, c 3, 所以 a c2b2 2,所以双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax,即 y 2 2 x. y 2 2 x 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1若双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点为 F,点 P 是双曲线右支上的动点, A(1,4),则|PF|PA|的最小值是( ) A8 B9 C10 D12 答案答案 题型一题型一 双曲线的定义及应用双曲线的定义及应用 解析 由题意知,双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点 F 的坐标为(4,0),设双 曲线的右焦点为 B,
8、则 B(4,0),由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB| |PA|4|AB|4 412042459,当且仅当 A,P,B 三点共 线且 P 在 A,B 之间时取等号 |PF|PA|的最小值为 9.故选 B. 解析解析 2 已知 F1, F2为双曲线 C: x2y22 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, |PF1| 2|PF2|,则 cosF1PF2_. 解析 由已知条件及双曲线的定义得|PF1|PF2|PF2|2a2 2, |PF1|2|PF2|4 2, 则 cosF1PF2|PF 1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 4 2 22 2242 24 22
9、2 3 4. 3 4 解析解析 条件探究 将本例中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”,则 F1PF2的面积为_ 解析 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2 2,在 F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cosF1PF2 (|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2|,所以 42(2 2)2|PF1| |PF2|.|PF1| |PF2|8, SF1PF21 2|PF1| |PF2|sin60 2 3. 2 3 解析解析 1利用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中,要注意双曲线上的点(动点)具备的几
10、何条件,即 “到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数, 且该常数必须小于两定点 间的距离”若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支同 时需注意定义的转化应用 2利用焦点三角形需注意的问题 在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将|PF1|PF2|2a 两边平方,建立与|PF1| |PF2|有关的方程见举例说明 2 及条件探究 1设 P 为双曲线 x2 y2 151 右支上一点,M,N 分别是圆(x4) 2y2 4 和(x4)2y21 上的点,设|PM|PN|的最大值和最小值分别为 m,n, 则|mn|( ) A4 B5 C6 D7 解析 易知双曲线的两焦点为 F1(4,0),
11、F2(4,0),恰为两个圆的圆心, 两个圆的半径分别为 2,1, 所以|PM|max|PF1|2, |PN|min|PF2|1, 所以|PM| |PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)35,同理|PM| |PN|的最小值为(|PF1|2)(|PF2|1)(|PF1|PF2|)31,所以|mn| 6. 答案答案 解析解析 2(2020 广东普宁市华侨中学月考)过双曲线 x2y 2 4 1 的左焦点 F1作 一条直线 l 交双曲线左支于 P,Q 两点,若|PQ|4,F2是双曲线的右焦点, 则PF2Q 的周长是_ 解析 由双曲线的定义知,|PF2|PF1|2a2,|Q
12、F2|QF1|2a2, 所以|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)4,又|PQ|4,所以|PF2|QF2|44, |PF2|QF2|8,所以PF2Q 的周长是|PF2|QF2|PQ|12. 12 解析解析 1已知动圆 M 与圆 C1:(x4)2y22 外切,与圆 C2:(x4)2y22 内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 2 y2 141(x 2) B.x 2 2 y2 141(x 2) C.x 2 2 y2 141(x 2) D.x 2 2 y2 141(x 2) 答案答案 题型二题型二 双曲线的标准方程及应用双曲线的标准方程及应用 解析 设动圆的半径为 r,由题意可得|
13、MC1|r 2,|MC2|r 2, 所以|MC1|MC2|2 22a, 故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(4,0), C2(4,0)为焦点,实轴长为 2a2 2的双曲线的右支上,即 a 2,c4b2 16214,故其标准方程为x 2 2 y2 141(x 2) 解析解析 条件探究 将本例中的条件改为“动圆 M 与圆 C1:(x3)2y21 和圆 C2: (x3)2y29都外切”, 则动圆圆心M的轨迹方程为_ 解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和 B.根据 两圆外切的条件,得 |MC1|AC1|MA|, |MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|, 所
14、以|MC1|AC1|MC2|BC2|, 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2, 所以点 M 到两定点 C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6. x2y 2 8 1(x1) 解析解析 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的 距离大,与 C1的距离小), 其中 a1,c3,则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 解析解析 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0,b0) 由题意知,2b12,ec a 5 4,b6,c10,a8. 双曲线的标准方程为 x2 64 y2 361 或
15、 y2 64 x2 361. 解解 2根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)虚轴长为 12,离心率为5 4; (2)与已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点(2,2); (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2,7) (2)由已知,可设双曲线方程为 x24y2(0), 因为此双曲线经过点(2,2),所以 22422, 解得 12, 所以双曲线方程为 x24y212,即y 2 3 x2 121. (3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 9m28n1, 72m49n1, 解得 m 1 75, n 1 25. 双曲线的标准方程为 y2 25 x2 751. 解解 求双曲线标
16、准方程的两种方法 (1)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由定点 位置确定 c 的值见举例说明 1. (2)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参 数 a,b,c 的方程并求出 a,b,c 的值见举例说明 2(1)与双曲线x 2 a2 y2 b2 1 有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为x 2 a2 y2 b2(0)见举例说明 2(2) 注意: 求双曲线的标准方程时, 若焦点位置不确定, 要注意分类讨论 也 可以设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)求解见举例说明 2(3) 1(2019 昆明模拟)已知双曲线 C 的一个焦点坐标为( 3,0),渐近线
17、方 程为 y 2 2 x,则 C 的方程是( ) Ax2y 2 2 1 B.x 2 2 y21 C.y 2 2 x21 Dy2x 2 2 1 解析 因为双曲线 C 的一个焦点坐标为( 3,0),所以 c 3,又因为 双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 2 x,所以有b a 2 2 a 2b,c 3,而 c a2b2,所以解得 a 2,b1,因此双曲线 C 的方程为x 2 2 y21. 答案答案 解析解析 2设 F1和 F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点,若 F1, F2,P(0,2b)为等边三角形的三个顶点,且双曲线经过点 Q( 5, 3),则该 双曲线的方程
18、为( ) Ax2y 2 3 1 B.x 2 2 y 2 2 1 C.x 2 3 y 2 9 1 D.x 2 4 y2 121 答案答案 解析 F1和 F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点,F1, F2,P(0,2b)构成正三角形, 2b 3c,即有 3c24b23(a2b2),b23a2.双曲线x 2 a2 y2 b21 过点 Q( 5, 3), 5 a2 3 3a21,解得 a 24,b212,双曲线的方程 为x 2 4 y2 121.故选 D. 解析解析 角度 1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点及范围问题 1已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x 2
19、2 y21 上的一点,F1,F2是 C 的两 个焦点若MF1 MF2 0,则 y0的取值范围是( ) A. 3 3 , 3 3 B. 3 6 , 3 6 C. 2 2 3 ,2 2 3 D. 2 3 3 ,2 3 3 答案答案 题型三题型三 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 解析 不妨令 F1为双曲线的左焦点,则 F2为右焦点,由题意可知 a2 2,b21,c23,F1( 3,0),F2( 3,0),则MF1 MF2 ( 3x0) ( 3x0)(y0) (y0)x2 0y 2 03.又知x 2 0 2 y2 01, x 2 022y 2 0, MF1 MF2 3y2 010. 3 3 y00,
20、b0)的焦距为 10, 焦点到渐近线的距离为 3,则 C 的实轴长等于_ 解析 双曲线 C:y 2 a2 x2 b21 的渐近线方程为 y a x b0,即 ax by0,因 为焦点(0, c)到直线 axby0 的距离为 3, 所以 |bc| a2b23, 又 a 2b2c2, 所以 b3,又因为 2c10,c5,所以 a c2b24,所以 C 的实轴长 为 8. 8 解析解析 角度 2 与双曲线渐近线有关的问题 3(2019 衡水模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别 为 F1,F2,过 F1作圆 x2y2a2的切线,交双曲线右支于点 M,若F1MF2 4
21、5 ,则双曲线的渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy x Dy 2x 答案答案 解析 如图,作 OAF1M 于点 A,F2BF1M 于点 B,因为 F1M 与圆 x2y2a2相切,F1MF245 ,所以|OA|a,|F2B|BM|2a,|F2M| 2 2a,|F1B|2b.又点 M 在双曲线上,所以|F1M|F2M|2a2b2 2a 2a.整理,得 b 2a.所以b a 2.所以双曲线的渐近线方程为 y 2x. 解析解析 4(2019 湖北四地七校联考)已知直线 x4 与双曲线 C:x 2 4 y21 的 渐近线交于 A,B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任意一点,若OP aOA
22、 bOB (a,bR,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( ) Aa2b21 2 Ba2b21 8 Ca2b21 2 Da2b21 8 答案答案 解析 因为双曲线 C:x 2 4 y21 的渐近线为 y x 2,与直线 x4 交于 A(4,2),B(4,2),设 P(x,y),则OP (x,y),OA (4,2),OB (4,2), 因为OP aOA bOB ,所以 x4a4b,y2a2b,由于点 P(x,y)在双曲 线上,故4a4b 2 4 (2a2b)21,解得 ab 1 16,则 a 2b22 a2b21 8(当 且仅当 a2b2且 ab 1 16时取“”)故选 B. 解析解析 角
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