上海中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.doc

1、 2016-2017 学年上海中学高一（上）期中数学试卷学年上海中学高一（上）期中数学试卷 一一.填空题填空题 1设集合 A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则 AB= 2已知集合 A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则 AB= 3“若 x=1 且 y=1，则 x+y=2”的逆否命题是 4若 f（x+）=x2+，则 f（3）= 5不等式 x的解是 6若不等式 ax2+（a+1）x+a0 对一切 xR 恒成立，则 a 的取值范围是 7不等式（x3）2230 的解是 8 已知集合 A=x|6x8， B=x|xm， 若 ABB 且 AB ， 则 m 的取值范围是 9不等式（x+y） （+）

2、25 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 10设 a0，b0，且 ab=a+4b+5，则 ab 的最小值为 11对于二次函数 f（x）=4x22（p2）x2p2p+1，若在区间1，1内至少存在一个数 c 使 得 f（c）0，则实数 p 的取值范围是 12已知 a，b 为正实数，且 a+b=2，则+的最小值为 二二.选择题选择题 13不等 x|x|x 的解集是（ ） Ax|0 x1 Bx|1x1 Cx|0 x1或x|x1， Dx|1x0，x1 14若 A B，A C，B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10，则这样的 A 的个数 为（ ） A4 B15 C

3、16 D32 15不等式 ax2+bx+10 的解集是（，） ，则 ab=（ ） A7 B7 C5 D5 16已知函数 f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 三三.解答题解答题 17解不等式： （1）|x2|+|2x3|4； （2）x 18已知 a，b，c，dE，证明下列不等式： （1） （a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2； （2）a2+b2+c2ab+bc+ca 19已知二次函数 f（x）=ax2+bx+1，a，bR，当 x=1 时，函数 f（x）

4、取到最小值，且最小值 为 0； （1）求 f（x）解析式； （2）关于 x 的方程 f（x）=|x+1|k+3 恰有两个不相等的实数解，求实数 k 的取值范围 20设关于 x 的二次方程 px2+（p1）x+p+1=0 有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍， 求 p 的取值范围 21已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a0） ，记 f 2（x）=f（f（x） ） ，例：f（x）=x2+1， 则 f 2（x）=（f（x） ）2+1=（x2+1）2+1； （1）f（x）=x2x，解关于 x 的方程 f 2（x）=x； （2）记=（b1）24ac，若 f 2（x）=x 有四个不相等的实数

5、根，求的取值范围 2016-2017 学年上海中学高一（上）期中数学试卷学年上海中学高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （2016 秋徐汇区校级期中）设集合 A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则 AB= 0，2，6， 10 【考点】补集及其运算 【专题】集合思想；定义法；集合 【分析】根据补集的定义进行计算即可 【解答】解：集合 A=0，2，4，6，8，10，B=4，8， 所以AB=0，2，6，10 故答案为：0，2，6，10 【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目 2 （2016 秋徐汇区校级期中）已知集合 A=x|x|2

6、，B=1，0，1，2，3，则 AB= 1，0，1 【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】通过求解绝对值不等式化简集合 A，然后直接利用交集运算求解 【解答】解：A=x|x|2=x|2x2， B=1，0，1，2，3， AB=1，0，1， 故答案为：1，0，1 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及求两个集合的交集的方法 3 （2016 秋徐汇区校级期中）“若 x=1 且 y=1，则 x+y=2”的逆否命题是 “若 x+y2，则 x1， 或 y1” 【考点】四种命题 【专题】定义法；简易逻辑 【分析】根据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案 【解答】解：“若

7、x=1 且 y=1，则 x+y=2”的逆否命题是“若 x+y2，则 x1，或 y1”， 故答案为：“若 x+y2，则 x1，或 y1” 【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键 4 （2016 秋徐汇区校级期中）若 f（x+）=x2+，则 f（3）= 7 【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；配方法；函数的性质及应用 【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可 【解答】解：f（x+）=x2+=（x+）22， 所以 f（x）=x22，则 f（3）=7 故答案为：7 【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力 5 （20

8、16 秋徐汇区校级期中）不等式 x的解是 （3，0）（3，+） 【考点】其他不等式的解法 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合 【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可 【解答】解：原不等式等价于等价于（x+3） （x3）x0， 由穿根法得到不等式的解集为（3，0）（3，+） ； 故答案为： （3，0）（3，+） ； 【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易 得 6 （2016 秋徐汇区校级期中）若不等式 ax2+（a+1）x+a0 对一切 xR 恒成立，则 a 的取值范 围是 （，） 【考点】函数恒成立问题；二次函

9、数的性质 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】若不等式 ax2+（a+1）x+a0 对一切 xR 恒成立，则 ，解得 a 的取值范围 【解答】解：若不等式 ax2+（a+1）x+a0 对一切 xR 恒成立， 则， 解得：a（，） ， 故答案为： （，） 【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，难度中档 7 （2016 秋徐汇区校级期中）不等式（x3）2230 的解是 （0，6） 【考点】其他不等式的解法 【专题】计算题；转化思想；综合法 【分析】设=t，则原不等式化为 t22t30， （t0） ，解关于 t 的不等式，然后解出 x 范围 【解答

10、】解：设=t，则原不等式化为 t22t30， （t0） ， 所以 t0，3） ，即0，3） ， 所以（x3）29，解得3x33，所以 0 x6， 故原不等式的解集为（0，6） ； 故答案为： （0，6） 【点评】本题考查了利用换元法解不等式；属于基础题 8 （2016 秋徐汇区校级期中）已知集合 A=x|6x8，B=x|xm，若 ABB 且 AB ，则 m 的取值范围是 6，8 【考点】交集及其运算 【专题】集合思想；转化法；集合 【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于 m 的不等式组，解出即可 【解答】解：A=x|6x8，B=x|xm， 若 ABB 且 AB， 则， 故答案为：6，8 【

11、点评】本题考查了集合的交集、并集的定义，是一道基础题 9 （2016 秋徐汇区校级期中）不等式（x+y） （+）25 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实 数 a 的最小值为 16 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】转化思想；转化法；不等式 【分析】利用基本不等式进行求解，先求出（x+y） （+）的最小值为（+1）2，然后解不等 式即可 【解答】解： （x+y） （+）=1+a+1+a+2=1+a+2=（+1）2， 即（x+y） （+）的最小值为（+1）2， 若不等式（x+y） （+）25 对任意正实数 x，y 恒成立， （+1）225，即+15， 则4， 则 a16， 即正实数

12、a 的最小值为 16， 故答案为：16 【点评】 本题主要考查基本不等式的应用， 利用基本不等式先求出 （x+y） （+） 的最小值为 （ +1）2是解决本题的关键 10 （2016 秋徐汇区校级期中）设 a0，b0，且 ab=a+4b+5，则 ab 的最小值为 25 【考点】基本不等式 【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式 【分析】利用基本不等式可将 ab=a+4b+5 转化为 ab 的不等式，求解不等式可得 ab 的最小值 【解答】解：a0，b0，a+4b+5=ab， 可得 ab5+2=5+4，当且仅当 a=4b 时取等号 （+1） （5）0， 5 或1（舍去） ab25 故 ab 的

13、最小值为将 25； 故答案为：25 【点评】本题考查基本不等式，将 2ab=a+b+12 转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思 想，属于中档 11 （2012天宁区校级模拟）对于二次函数 f（x）=4x22（p2）x2p2p+1，若在区间1， 1内至少存在一个数 c 使得 f（c）0，则实数 p 的取值范围是 （3，1.5） 【考点】二次函数的性质 【专题】计算题；转化思想 【分析】由于二次函数 f（x）=4x22（p2）x2p2p+1 的图象是开口方向朝上的抛物线，故 二次函数 f（x）=4x22（p2）x2p2p+1 在区间1，1内至少存在一个实数 c，使 f（c）0 的 否定为对

14、于区间1，1内的任意一个 x 都有 f（x）0，即 f（1） ，f（1）均小于等 0，由此可以构 造一个关于 p 的不等式组，解不等式组即可求出实数 p 的取值范围 【解答】解：二次函数 f（x）在区间1，1内至少存在一个实数 c，使 f（c）0 的否定是： 对于区间1，1内的任意一个 x 都有 f（x）0， 即 整理得 解得 p，或 p3， 二次函数在区间1，1内至少存在一个实数 c， 使 f（c）0 的实数 p 的取值范围是 （3，） 【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象 是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间1，1内的任意一个 x 都有 f（

15、x）0 时，是 解答本题的关键 12 （2014 秋苏州期末）已知 a，b 为正实数，且 a+b=2，则+的最小值为 【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式 【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用 【分析】 由 a， b 为正实数， 且 a+b=2， 变形可得=+a+b1+=+1=f （a） ， 0a2利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 【解答】解：a，b 为正实数，且 a+b=2， =a+=+a+b1+=+1=f（a） ，0a2 f（a）=+=， 令 f （a） 0， 解得， 此时函数 f （a） 单调递增； 令 f （a） 0， 解得， 此时函数 f（a）单调递减 当且仅当

16、a=63时函数 f（a）取得极小值即最小值， = 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 二二.选择题选择题 13 （2016 秋徐汇区校级期中）不等 x|x|x 的解集是（ ） Ax|0 x1 Bx|1x1 Cx|0 x1或x|x1， Dx|1x0，x1 【考点】绝对值不等式 【专题】不等式的解法及应用 【分析】建议修改 C 为 x|0 x1，或 x1 原不等式即 x（|x|1）0，等价转化为，或 分别求得、 的解集， 再取并集，即得所求 【解答】解：不等 x|x|x，即 x（|x|1）0，或 解可得 0 x1，解可得 x1 把的

17、解集取并集，即得原不等式的解集为 x|0 x1或x|x1， 故选 C 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档 题 14 （2016 秋徐汇区校级期中）若 A B，A C，B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6， 8，10，则这样的 A 的个数为（ ） A4 B15 C16 D32 【考点】子集与真子集 【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合 【分析】利用 A B，A C，可得 A （BC） ，求出 BC，即可得出结论 【解答】解：A B，A C， A （BC） ， B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10， BC=0

18、，2，4，6， A 的个数为 16， 故选 C 【点评】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础 15 （2016 秋徐汇区校级期中）不等式 ax2+bx+10 的解集是（，） ，则 ab=（ ） A7 B7 C5 D5 【考点】其他不等式的解法 【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用 【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出 a 与 b 的值，进而 求出 ab 的值 【解答】解：由不等式 ax2+bx+10 的解集是（，） ， 构造不等式（x+） （x）0，整理得：6x2+x10， 即6x2x+10，与 ax2+bx+10 对比得： a=6，b

19、=1， 则 ab=6+1=5， 故选：C 【点评】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，是一道基础题 16 （2016浙江）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相 等”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】函数思想；综合法；简易逻辑 【分析】求出 f（x）的最小值及极小值点，分别把“b0”和“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小 值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断 【解答】解：f（x）的对称轴为 x=，fmi

20、n（x）= （1）若 b0，则，当 f（x）=时，f（f（x） ）取得最小值 f（）= ， 即 f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等 “b0”是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等”的充分条件 （2）若 f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等， 则 fmin（x） ，即，解得 b0 或 b2 “b0”不是“f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等”的必要条件 故选 A 【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题 三三.解答题解答题 17 （2016 秋徐汇区校级期中）解不等式： （1）|x2|+|2x3|4； （2）x 【考点】

21、绝对值不等式的解法；其他不等式的解法 【专题】对应思想；分类法；不等式的解法及应用 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的 x 的范围，从而求出不等式的解集即可； （2）通过讨论 x 的范围得到 x1=0 或或，解出即可 【解答】解： （1）x2 时，x2+2x34，解得：x3， x2 时，2x+2x24，解得：x4， x时，2x+32x4，解得：x ， 故不等式的解集是：x|x3； （2）x， 0， x1=0 或或 解得：1x0 或 x=1 或 x2， 故不等式的解集是（1，01（2，+） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，是一道中档题

22、18 （2016 秋徐汇区校级期中）已知 a，b，c，dE，证明下列不等式： （1） （a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2； （2）a2+b2+c2ab+bc+ca 【考点】不等式的证明 【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式 【分析】 （1）根据不等式的左边减去右边化简结果为 （adbc）20，可得不等式成立； （2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的 式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的 2 倍，两边同时除以 2，得到结果 【解答】证明：（a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+

23、b2d2）（a2c2+2abcd+b2d2） =（adbc）20， （a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2 成立； （2）a2+b2+c2 =（a2 +b 2 +c 2 +a 2 +b 2 +c 2） （2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca a2+b2+c2ab+bc+ca 【点评】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法， 把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题 19 （2016 秋徐汇区校级期中）已知二次函数 f（x）=ax2+bx+1，a，bR，当 x=1 时，函数 f （x）取到最小值，且最小值为 0； （1）求 f（x）解析式

24、； （2）关于 x 的方程 f（x）=|x+1|k+3 恰有两个不相等的实数解，求实数 k 的取值范围 【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 （1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式， （2）设|x+1|=t，t0，得到 t2t+k3=0，由 x 的方程 f（x）=|x+1|k+3 恰有两个不相等的实 数解，得到关于 t 的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可 【解答】解： （1）x=1 时，函数 f（x）取到最小值，且最小值为 0， =1，f（1）=ab+1=0， 解得 a=1，b=2， f（x）=

25、x2+2x+1， （2） ：f（x）=|x+1|k+3， x2+2x+1=|x+1|k+3， 即（x+1）2=|x+1|k+3， 设|x+1|=t，t0， t2t+k3=0， x 的方程 f（x）=|x+1|k+3 恰有两个不相等的实数解， 关于 t 的方程由两个相等的根或有一个正根， =14（k3）=0，或 解得 k=，或 k3， 故有 k 的取值范围为k|k=，或 k3 【点评】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题 20 （2016 秋徐汇区校级期中）设关于 x 的二次方程 px2+（p1）x+p+1=0 有两个不相等的正根， 且一根大于另一根的两倍，求 p

26、 的取值范围 【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出 p 的范围 【解答】解：关于 x 的二次方程 px2+（p1）x+p+1=0 有两个不相等的正根， 则=（p1）24p（p+1）=3p26p+10，解得1p1+， 当 x1+x2= 0，及 x1x2=0 时，方程的两根为正解之，得 0p1故 0p 1 记 x1= ，x2= ， 由 x22x1，并注意 p0，得 3 1p0， 28p2+52p80，即 7p2+13p202p 综上得 p 的取值范围为p|0p 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，

27、属于基础题 21 （2016 秋徐汇区校级期中）已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a0） ，记 f 2（x）=f（f（x） ） ， 例：f（x）=x2+1， 则 f 2（x）=（f（x） ）2+1=（x2+1）2+1； （1）f（x）=x2x，解关于 x 的方程 f 2（x）=x； （2）记=（b1）24ac，若 f 2（x）=x 有四个不相等的实数根，求的取值范围 【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断 【专题】阅读型；函数思想；构造法；函数的性质及应用 【分析】 （1）根据新类型的定义，求解 f 2（x） ，再解方程即可 （2）换元思想，根据新类型的定义：f（f（x） ）

28、=x，令 f（x）x=t，则 f（x）t=x，f（x）=t+x， 则有：f（t+x）=f（x）t带入二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a0） ，求出 t，t 又是二次函数的值，即 ax2+bx+c=t 函数必有两个根，0化简可得（b1）24ac 的取值范围 【解答】解： （1）由题意：当 f（x）=x2x 时，则：f 2（x）=（x2x）2（x2x）=x42x3+x； 那么：f 2（x）=x；即：x42x3+x=x； 解得：x=0 或 x=2 （2）根据新类型的定义：f（f（x） ）=x，令 f（x）x=t， 则 f（x）t=x，f（x）=t+x， 则有：f（t+x）=f（x）t即 a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+ct， 化简可得：at2+（2ax+b+1）t=0， 解得：t=0 或 t= 当 t=0 时，即 ax2+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b1）24ac0 当 t= 时，ax2+bx+c=x ，整理可得：， = =（b+1）24ac+4（b+1）=（b1）24ac4 有两个不相同的实数根0 （b1）24ac40，即（b1）24ac4 综上所得=（b1）24ac 的取值范围是（4，+） 【点评】本题考查了新定义的应用和理解，计算能力！反函数的利用和构造思想换元的代换是 解决此题的关键属于难题