山西省太原市2018~2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题含答案.doc

1、 山西省太原市山西省太原市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末考试数学（文）试题学年高二上学期期末考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题）小题） 1.双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可 得答案 【详解】根据题意，双曲线，其中，其焦点在x轴上， 则该双曲线与x轴的交点为与， 则实轴长； 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题 2.命题：“，”的否定是（ ） A. ，

2、B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 因为 的否定是 所以命题：“”的否定是,选 C 3.曲线在处的切线的斜率等于（ ） A. e B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可 【详解】函数的导数为， 则在处的导数，即切线斜率， 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键 4.设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：因为，所以“lx2”是“lx3”的充分而不必要条件，选

3、A 考点：充要关系 5.抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 试题分析：抛物线 x 24y 中 ，焦点为，准线为，焦点到准线的距离 为 2 考点：抛物线方程及性质 6.对任意实数 ，则方程所表示的曲线不可能是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【解析】 思路分析：用 Ax 2+By2=c 所表示的圆锥曲线，对于 k=0,1 及 k0 且 k1，或 k0，分别讨论 可知：方程 x 2+ky2=1 不可能表示抛物线 7.函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求导

4、，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间 【详解】令 解得， 函数的单调递减区间是 故选：D 【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性 8.已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 命题“，”为真命题等价于在上有解， 构造 函数求最大值代入即可 【详解】 命题“，”为真命题等价于在上有 解， 令，则等价于， 故选：D 【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题 9.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可 【详

5、解】函数的定义域为， 函数的导数， 由得得或舍 ，此时函数为增函数， 由得得，此时，函数为减函数， 即当时，函数取得极小值，且极小值为， 则对应的图象为A， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函 数的单调性是解决本题的关键 10.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立， ，故 11.已知双曲线C与椭圆E：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆方程求出双曲线的焦点

6、坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率， 从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案 【详解】由椭圆，得， 则， 双曲线与椭圆的焦点坐标为， 椭圆的离心率为 ，则双曲线的离心率为 设双曲线的实半轴长为m，则，得， 则虚半轴长， 双曲线的方程是 故选：C 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题 12.函数的定义域为R，对任意，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论 【详解】设， 则， 对任意， 对任意， 即函数单调递增， ， ， 函数单调递增

7、， 即为： 由得， 即的解集为， 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解 决本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题）小题） 13.椭圆的焦距是_ 【答案】6 【解析】 【分析】 根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距 的定义分析可得答案 【详解】根据题意，椭圆中， 则， 则该椭圆的焦距； 故答案为：6 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题 14.命题“如果，那么且”的逆否命题是_ 【答案】如果 或 ，则 【解析】 【分析】 由四种命题之

8、间的关系，即可写出结果. 【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”. 故答案为：如果 或 ，则 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 15.曲线在点处的切线方程为_ 【答案】y=2x2 【解析】 分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程. . 详解：由，得 则曲线在点处的切线的斜率为， 则所求切线方程为，即. 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率； 写出切线的点斜式方程；化简整理. 16.已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为 若在E 的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是

9、_ 【答案】 【解析】 【分析】 求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条 件：数量积为 0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于 0，化简整理，结合离心率公 式即可得到所求范围 【详解】双曲线E：的右顶点为， 抛物线C：的焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 可设， 即有， 可得， 即为， 化为， 由题意可得， 即有， 即， 则 由，可得 故答案为： 【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取 值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别

10、除以 或转化为 关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围). 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题）小题） 17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆 的焦点在y轴上 判断命题p的否定的真假； 若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围 【答案】 （1）为假； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据判别式显然成立，即可判断出结果； （2）先求出 为真时，实数m的取值范围，再由“ 且 ”是假命题，“ 或 “是真命题，判 断出 、 的真假，进而可得出结果. 【详解】 （1）由可得显然成立，故命题 为真，为 假； （2）由已

11、知得， 为真时，所以 为假时，或 因为“ 且 ”是假命题，“ 或 “是真命题，由(1)知 为真，所以 真 假， 所以 【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型. 18.已知抛物线C：经过点 求抛物线C的方程； 若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）将点代入，即可求出结果； 先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线 AB 的斜率，进而 可求出结果. 【详解】 （1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为 ； （2）设点坐标分别为，由为抛物线 上的不同两点， 故有，由得，整理得

12、，又的中 点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为 ，即. 【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差 法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果. 19.若是函数的极值点 求a的值； 若时，成立，求的最大值 【答案】(1)(2)4 【解析】 【分析】 求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单 调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可 【详解】， 由已知，得， 经检验当时，满足题意，故 由可知， 当时，递增； 当时，递减； 当时，递增； 因此，极大值为，极小值为， 又由得或，由得或， 故的最大值为 4

13、 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点， 但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值， 注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可 以结合韦达定理应用解答。 20.已知椭圆C：的左右焦点分别为，焦距为 2，过点作直线 与椭圆相交于A，B两点，连接，且的周长为 求椭圆C的标准方程； 若直线AB的斜率为 1，且，求 的值 【答案】 （1）； （2）或 3. 【解析】 【分析】 （1）由焦距为 2，求出 ；再由的周长为，求出 ，进而即可求出结果； （2）先由题意得到直线的方程为：，联

14、立直线与椭圆方程，求出坐标，即可得 出结果. 【详解】 （1）由题意得，又因为，故可得，从而椭 圆 的标准方程为 （2） 由题意可得直线的方程为：， 联立， 可得， 从而， ，或者，由题意， 当坐标分别为，时，故； 当坐标分别为，时，故， 综上，或 3. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆交点的坐标问题，只需联立直线与 椭圆方程求解即可，属于常考题型. 21.已知椭圆C：的左右焦点分别为，焦距为 2，过点作直线 与椭圆相交于A，B两点，连接，且的周长为 求椭圆C的标准方程 若，求直线AB的方程 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 由焦距为 2，的周长为可得，联立解出即可

15、得出； 设 直 线AB的 方 程 为 ：，与 椭 圆 方 程 联 立 ， 化 为 ： ，由，可得，与根与系数的关 系联立即可得出 【详解】焦距为 2，的周长为 ， 解得， 椭圆C的标准方程为： 设直线AB的方程为：， 联立，化为：， ， ， 联立：， 解得： 直线AB的方程为： 【点睛】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 22.已知函数 当时，求函数的单调区间； 若，求证：当时， 【答案】(1)在递减，在递增(2)见证明 【解析】 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题转化为证明 ，令

16、，根据函数的单调性证明即可 【详解】由， 由，解得：，由，解得：， 故在递减，在递增， 证明：要证明，即证， 令，则， 令，则， 故即在递增，又， 当时，递减， 当时，递增， 故， 故，即， 故 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思 想，是一道常规题利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系， 进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应 项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 23.已知函数 当时，求函数的单

17、调区间； 若对任意恒成立，求a的取值范围 【答案】 （1）函数的单调增区间为，单调减区间为； （2） 【解析】 【分析】 当时，求函数的单调区间；求的导数，利用导数研究函数在的 单调性，然后讨论a的取值，从而确定的最值，即可确定实数a的取值范围 【详解】由，则 由，得；由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 由，则 当时，对，有， 所以函数在区间上单调递增， 又，即对恒成立 当时，由，单调递增区间为，单调递减区间为， 若对任意恒成立，只需， 令， 即在区间上单调递减，又， 故在上恒成立， 故当时，满足的a不存在 综上所述，a的取值范围是 【点睛】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最 值中的应用，考查恒成立问题的解决方法对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法 有：变量分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0； 或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。