江苏省南京市2018~2019学年高二上学期期末调研数学（理科）试题含答案.doc

1、 南京市南京市 20182018- -20192019 学年度第一学期期末调研学年度第一学期期末调研 高二数学（理科）高二数学（理科） 一、填空题。请把答案填写在答题卡相应位置上一、填空题。请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知命题， ，写出命题 的否定：_. 【答案】， 【解析】 【分析】 “全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题 【详解】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， 命题p：x0，e xex，的否定是： x0，e xex 故答案为：， 【点睛】本小题主要考查命题的否定属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量 词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所

2、有的都成立”与“至少有一 个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， “存在性命题”的否定一定是“全称命题” 本小题主要考查命题的否定属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存 在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”； “都是”与“不都是”等， 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， “存在性命题” 的否定一定是“全称命题” 2.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为_. 【答案】 【解析】 【分析】 利用抛物线方程求出p，即可得到结果 【详解】解：抛物线y 22x 的焦点到其准线的距离为：p1 抛物线的

3、准线方程为：x 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 3.已知，则的值为_. 【答案】1 【解析】 因为 ，所以 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切 线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切 点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关 系，进而和导数联系起来求解. 4.已知复数 满足 ( 为虚数单位)，则 的实部为_.

4、【答案】3 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则得到 z，结合实部定义得到答案. 【详解】解：由（z2）i1+i得，z3i， 所以复数的实部为：3 故答案为：3 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题 5.在平面直角坐标系中， 是椭圆上一点若点 到椭圆 的右焦点的距离为 2， 则它到椭圆 的右准线的距离为_. 【答案】 【解析】 【分析】 求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可 【详解】椭圆C：y 21，可得 e， 由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d， d 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转

5、化思想以及计算能力 6.已知实数 ， 满足则的最小值为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解 的坐标代入目标函数得答案 【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，1） 化zx+2y为yx，由图可知，当直线yx过B（3，1）时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z3+2（1）1 故答案为：1 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形 结合的解题思想方法，是中档题 7.在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的_条件(填“充分 不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”) 【

6、答案】必要不充分 【解析】 【分析】 由椭圆的性质有：“方程x 2+my21 表示椭圆”的充要条件为： ，再判断“m0”与 “”的关系 【详解】解：由椭圆的性质有：“方程x 2+my21 表示椭圆”的充要条件为： ， 又“m0”是“”的必要不充分条件， 所以，“m0”是“方程x 2+my21 表示椭圆”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题 8.在平面直角坐标系中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据点到直线的距离公式进行求解即可 【详解】解：双曲线y 21 的一个顶点为 A（2，0） ， 双曲线的一

7、条渐近线为yx，即x2y0， 则点到直线的距离公式d， 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比 较基础 9.在平面直角坐标系中，点，点，平面内点 满足，则的最大值 是_ 【答案】 【解析】 【分析】 设P（x，y） ，由15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，得PO 的最大值为|OC|+半径 【详解】解：设P（x，y） ，则（4x，y） ，（x，2y） 15，x（x4）+y（y2）15， 即（x2） 2+（y1）220， 点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆， PO的最大值为：|OC|+半径3 故答案为：3 【点睛

8、】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆 的左、右焦点，过点 且与 轴垂直的直线与椭圆交于 ， 两点若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题设知F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（c，） ，B（c，） ，由是锐角三角形， 知 tanAF1 F21，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围 【详解】解：点F1、F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点， 过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点， F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（

9、c，） ，B（c，） ， 是锐角三角形， AF1 F245，tanAF1 F21， 1， 整理，得b 22ac， a 2c22ac， 两边同时除以a 2，并整理，得 e 2+2e10， 解得e1，或e1， （舍） ， 0e1， 椭圆的离心率e的取值范围是（1，1） 故答案为： （1，1） 【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合 理地进行等价转化 11.在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实 数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得 21|C1C2|2+1， 即 1（a1） 2+（a+2

10、）29，解可得 a的取值范围，即可得答案 【详解】解：根据题意，圆C1： （xa） 2+（ya2）21， 其圆心C1为（a，a+2） ，半径为r11， 圆C2：x 2+y22x30，即（x1）2+y24，其圆心 C2（1，0） ，半径r22， 若两圆有公共点，则 21|C1C2|2+1，即 1（a1） 2+（a+2）29， 变形可得：a 2+a+20 且 a 2+a20， 解可得：2a1， 即a的取值范围为2，1； 故答案为：2，1 【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系 (2)切线法：根据公切线条数确定 12.如图，在正四棱锥中，点为的中点，若，

11、则 实数_ 【答案】4 【解析】 【分析】 连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出实数 【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空 间直角坐标系， 设PAAB2，则A（，0，0） ，D（0，0） ，P（0，0，） ，M（，0，） ，B（0， 0） ， （0，2，0） ，设N（0，b，0） ，则（0，b，0） ， ，2，b， N（0，0） ，（，） ，（，0） ， MNAD，10， 解得实数 4 故答案为：4 【点睛】本题考查实数值的求 法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识

12、，考查运算求解能力，是中档题 13.在平面直角坐标系中，圆，点， 为抛物线上任意一点（异 于原点） ，过点 作圆的切线， 为切点，则的最小值是_ 【答案】3 【解析】 【分析】 设P（x，y） ，可得y 22x，求得圆 M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到 y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值 【详解】解：设P（x，y） ，可得y 22x， 圆M： （x1） 2+y21 的圆心 M（1，0） ，半径为 1， |PB|x|， 即|PB|为P到y轴的距离， 抛物线的焦点F（ ，0） ，准线方程为x， 可得|PA|+|PB|PA|+|PK|P

13、A|+|PF|， 过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|， 即有|PA|+|PB|的最小值为 3 故答案为：3 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切 线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题 14.已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数 的取值 范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围 【详解】解：令3x 23a23（xa） （x+a）0，解得 x1a，x2a， 其中a0，所以函数的单调性和单调区间如下： x（，a） ，

14、f（x）递增；x（a，a） ，f（x）递减；x（a，+） ，f（x）递增 因此，f（x）在xa处取得极大值，在xa处取得极小值， 结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x00，只需满足： f（x）极大值f（a）0，即a 3+3a36a2+4a0， 整理得a（a1） （a2）0，解得，a（1，2） ， 故答案为： （1，2） 【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结 合的解题思想，属于中档题 二、解答题（解答应二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤. .） 15.在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，其离心

15、率为 （1）求椭圆 的方程； （2）已知 是椭圆 上一点，为椭圆 的焦点，且，求点 到 轴的距离 【答案】 （1） (2) 【解析】 【分析】 （1）椭圆E经过点A（4，0） ，可得 a4 椭圆E的离心率e可得c2 即可 得椭圆E的方程； （2）由F1PF2，所以0，可得x 2+y212，由 ，得P到y轴的距离 【详解】 （1）因为椭圆经过点， 所以，解得 又椭圆 的离心率，所以 所以 因此椭圆 的方程为 （2）方法一：由椭圆 的方程，知，设 因为，所以，所以 由解得 所以，即 到 轴的距离为 方法二：由椭圆 的方程，知设 因为， 为的中点， 所以，从而 由解得 所以，即 到 轴的距离为 方法

16、三：由椭圆 的方程，知， 设 因为，所以 由椭圆的定义可知， 所以， 所以三角形的面积 又，所以，所以 代入得， 所以 ，即 到 轴的距离为 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积属于中档题 16.如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为 1，求： （1）直线与直线所成角的余弦值； （2）平面与平面所成二面角的正弦值 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）以 ， 为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出直线 A1C与直线AD1所成角的余弦值； （2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC 与平面A

17、BB1A1所成二面角的正弦值 【详解】(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为 1， 故以 为正交基底建立空间直角坐标系 则， ， （1）因为 ， ， 所以， ， 从而 又异面直线所成的角的范围是， 所以直线与直线所成角的余弦值为 （2）， 设平面的一个法向量为， 则从而即 取，可得，即 在正四棱柱中，平面， 又， 所以为平面的一个法向量 因为，且， 所以 因此平面与平面所成二面角的正弦值为 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 17.在平面直角坐标系中，已知圆 经过抛物线与坐标

18、轴的三个交点 （1）求圆 的方程； （2）经过点的直线 与圆 相交于 ， 两点，若圆 在 ， 两点处的切线互相垂直，求 直线 的方程 【答案】 （1）（2）和 【解析】 【分析】 （1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方 程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y 0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程； （2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得ACB，求得C到 直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方 程 【详解】 （

19、1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为， 设圆 的方程为， 则 , 解得 所以圆 的方程为 方法二：设圆 的方程为 令，得 因为圆 经过抛物线与 轴的交点， 所以与方程同解， 所以， 因此圆 因为抛物线与 轴的交点坐标为， 又所以点也在圆 上，所以，解得 所以圆 的方程为 （2）由（1）可得，圆：， 故圆心，半径 因为圆 在 ， 两点处的切线互相垂直，所以 所以 到直线 的距离 当直线 的斜率不存在时， ，符合题意； 当直线 的斜率存在时，设，即， 所以，解得， 所以直线，即 综上，所求直线 的方程为和 方法三：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为， ，将直线 的方程代入圆 的方程得：

20、， 即 ， 因为圆 在点 ， 两点处的切线互相垂直，所以， 所以，即， 所以， 即， 即， ， 即，解得，所以直线 ：， 即 当直线 的斜率不存在时， ：，符合题意； 综上，所求直线 的方程为和 【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置 关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题 18.如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为 的矩形，并将截得的两块矩形 铁皮分别以，为母线卷成两个高均为 的圆柱 （无底面， 连接部分材料损失忽略不计） 记 这两个圆柱的体积之和为 （1）将 表示成 的函数关系式，并写出 的取值范围

21、； （2）求两个圆柱体积之和 的最大值 【答案】 （1）.（2） 【解析】 【分析】 （1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写 出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值 【详解】 （1）设半圆形铁皮的半径为 ，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为 ， 因为半圆形铁皮的面积为，所以，即 因为，所以， 同理，即 所以卷成的两个圆柱的体积之和 因为，所以 的取值范围是 （2）由，得， 令，因为，故 当时，；当时， ， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，取得极大值，也是最大值 因此

22、的最大值为 答：两个圆柱体积之和 的最大值为 【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中 档题 19.如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点动直线 过 点，且与椭圆 相交于 ， 两点（直线 与 轴不重合） （1）若点 的坐标为，求点 坐标； （2）点，设直线，的斜率分别为，求证：； （3）求面积最大时的直线 的方程 【答案】(1) (2)见证明；(3) 【解析】 【分析】 （1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标； （2）设直线l的方程为xty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证 明k1+k20； （3）

23、AF1B的面积S|F1F2|y1y2|y1y2|把（2）中的根与系数 的关系代入，可得S设函数f（x）9x （x1） ，利用导数可得 f（x）9x在1，+）上单调递增，得到当t 2+11，即 t0 时，9（t 2+1） 取最 小值 10由此可得直线l的方程为x1 【详解】 （1）因为直线 经过点， ， 所以直线 的方程为 由解得或 所以 （2）因为直线 与 轴不重合，故可设直线 的方程为 设， 由得， 所以， ， 因为 ， 在直线 上，所以， ， 所以， ， 从而 因为， 所以 （3）方法一：的面积 . 由（2）知， ， ， 故 ， 设函数 因为，所以在上单调递增， 所以当，即时，取最小值 1

24、0 即当时，的面积取最大值，此时直线 的方程为 方法二：的面积 由（2）知， ， ， 故 ， 因为，所以， 所以，即时，的面积取最大值 因此，的面积取最大值时，直线 的方程为 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及 导数求函数的最值，考查计算能力，属难题 20.已知函数， （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数 的值； （2）若不等式对任意恒成立，求 的取值范围； （3）若函数有两个极值点，且，求 的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可； （2）问题转

25、化为alnx10，记g（x）alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的 单调区间，从而确定a的范围即可； （3）法一：求出h（x2）h（x1）的解析式，记m（x）2（x）lnxx，x1，根 据函数的单调性求出a的范围即可； 法二：由h（x）f（x）xalnxx，x0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1x2） ， 得到x1+x2a，x1x21，设t 2 （t1） ，从而h（x2）h（x1） 等价于 h（t）（t） lntt，t1，记m（x）（x）lnxx，x1，根据函数的单调性求出a的范 围即可 【详解】 （1）当时， ， 设直线与曲线相切于点， 则，即， 解得，即切点为， 因为切点在上，所

26、以，解得 （2）不等式可化为 记， 则对任意恒成立 考察函数， ， 当时， ，在上单调递减，又， 所以，不合题意； 当时， ，；， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增， 所以时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意； 综上所述，实数 的取值范围为 （3）方法一：， 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， ， 从而 记， 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增，又， 不等式可化为，所以 因为，且在上递增，所以， 即 的取值范围为 方法二：， ， 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， 设，则， ，所以， ， ， 从而等价于， 记， 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增 又， ，所以 因为，且在上递增，所以， 即 的取值范围为 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思 想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题