河北省沧州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试卷含答案.doc

1、 沧州市沧州市 2018201820192019 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学（文科）高二数学（文科） 第第卷卷 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某 项调查.若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有（ ） A. 420 人 B. 480 人 C. 840 人 D. 960 人 【答案】C 【解析】 【分析】 先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高

2、一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果. 【详解】由题意需要从 1800 人中抽取 90 人，所以抽样比为， 又样本中高一年级学生有 42 人，所以该校高一年级学生共有人.故选 C 【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型. 2.已知命题，总有，则 为( ) A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】 由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果. 【详解】命题，总有的否定为：，使得，故选 B 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基 础题型. 3.有以下五组变量： 某商品的销

3、售价格与销售量； 学生的学籍号与学生的数学成绩； 坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； 气温与冷饮销售量； 电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量. 其中两个变量成正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由正相关的定义即可逐一判断. 【详解】销售价格越高，销售量通常会越低，所以不是正相关，故错； 学生的成绩与学号无关，故错； 医学证明不吃早餐的人容易患胃病，因此吃早餐和患胃病之间是负相关，故错； 气温越高，冷饮销量越高，故是正相关，所以正确； 电瓶车越重，耗电量越大，所以是正相关，故正确， 故选 D 【点睛】本题主要考查正相关的定义，熟记概念即可，属于基础题型. 4

4、.点 是抛物线的焦点，若抛物线上的点到 的距离为 3，则点 到 轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，设，由抛物线的方程得 ，所以，所以，所以点到 轴的距离为 ，故选 A 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，熟记定义即可求解，属于基础题型. 5.管理部门对某品牌的甲、 乙两种食品进行抽样检测， 根据两种食品中某种物质的含量数据， 得到下面的茎叶图： 由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】

5、【分析】 由茎叶图中的数据计算出平均数和方差即可比较大小. 【详解】由茎叶图可得：， 所以， , 所以， 故选 B 【点睛】本题主要考查茎叶图，由茎叶图中数据计算平均数和方差，熟记公式即可，也可根 据茎叶图的特征判断，属于基础题型. 6.已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线焦点位置设出双曲线方程，再由渐近线的斜率即可求出结果. 【详解】因为双曲线的焦点在 轴上，所以设双曲线的方程为， 又渐近线方程为，所以,所以双曲线方程可能为 故选 D 【点睛】本题主要考查双曲线的方程，由渐近线方程可确定 a,b

6、的比值，进而可确定双曲线 的方程，属于基础题型. 7.为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系， 某研究机构随机抽取了 60 名高中生， 通过问卷调查，得到以下数据： 语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计 男生 10 20 30 女生 20 10 30 总计 30 30 60 经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 B. 有的把握认为语文成绩是否优

7、秀与性别有关系 C. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 D. 没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算出的观测值 ，结合临界值表即可判断出结果. 【详解】由题意可得，的观测值， 所以有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系. 故选 C 【点睛】本题主要考查独立性检验，熟记公式即可求解，属于基础题型. 8.定义： ，当五位数满足，且时， 称这个五位数为“凸数”.由 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数共 120 个，从中 任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由列举法列举出

8、满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果. 【详解】由题意，由 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有： 12543,13542,14532,23541,24531,34521,共 6 个基本事件， 所以恰好为“凸数”的概率为. 故选 D 【点睛】 本题主要考查古典概型， 列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即 可求解，属于基础题型. 9.若双曲线的一个焦点 到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心 率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离， 再与实轴

9、比较大小， 列出不等 式即可求出结果. 【详解】由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，整理得：， 故. 所以选 D 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单性质， 由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离， 根据题意列出不等式即可求解，属于基础题型. 10.执行如图所示的程序框图，如图输出的 的值为 2，则判断框中的条件可能是（ ） A. ？ B. ？ C. ？ D. ？ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据程序框图逐步执行循环结构，即可求出结果. 【详解】第一步：由初始值得：；继续执行循环； 第二步：，此时，结束循环，故判断框中应填？ 故选 A 【点睛】本题主要考

10、查程序框图，由程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型. 11.若函数在 上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数在上有极值点，得到其导函数所对应的方程在 上有实根，分类讨论即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有极值点， 可得在上有实根， 又恒成立，所以方程必有实根，由 得函数过点, 所以当时，函数开口向下，对称轴在 轴左侧，故此时 与 轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去; 当时，与 轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍 去; 当时， 函数开口向上， 又函数过点， 所以无论对称轴在 轴的任何一侧， 都能满足函数与 轴

11、正半轴 有交点，即方程在上有实根； 综上，实数的取值范围是： 故选 A 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，由函数在某区间有极值，可得其导函数所对应 的方程在某区间内有实根，通常用分类讨论的思想来处理，属于常考题型. 12.直线与抛物线交于 ， 两点， 为抛物线上一点， ， ， 三点的横坐标依次成等 差数列.若中，边上的中线的长为 3，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先设 ， ， 三点坐标，由 ， ， 三点的横坐标依次成等差数列，以及为边上的中 线可表示出 的坐标，再由点差法求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理 即可求出结果. 【详解

12、】设，因为 ， ， 三点的横坐标依次成等差数列， 所以，又因为为边上的中线，所以轴，即， 因为，在抛物线上， 所以有，两式作差可得, 所以, 所以直线的方程为，即， 由得：， 所以， 所以， 故. 故选 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理 以及题中条件即可求解，属于常考题型 第第卷卷 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.函数 ，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，再将 代入即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础

13、题型. 14.如图，为椭圆的左、右焦点，过 的直线与椭圆交于其中一点 ，与 轴 交于点，且.直线与的外角平分线交于 点，则的周长为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果. 【详解】由题意可得，是的外角平分线， 所以，所以，又，所以， 又由椭圆的方程可得：， 所以的周长为. 故答案为 3 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义， 由两三角形相似确定相似比， 结合椭圆的定义即可求解. 15.如图，边长为的正三角形内接于圆 ，点 为弧上任意一点，则 的面积大于 的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 过点 作直线与平行交弧于点 ，的面积恰好为，点

14、由 点向 点移动的过程 中，的面积越来越大，结合古典概型中与角度有关的几何概型即可求出结果. 【详解】因为的边长为，所以的高为设外接圆 的半径为，则， 所以，,所以 点到的距离为 ，过点 作直线与平行交弧于点 ，的面积 恰好为，所以点 由 点向 点移动过程中，的面积越来越大；点 由 点向 点移动 过程中，的面积越来越小，因此，为使的面积大于，只需点 由 点向 点移动， 所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比. 因，所以的面积大于的概率为. 故答案为 【点睛】本题主要考查几何概型，根据题意，将问题转化为求圆心角之比即可，属于基础题 型. 16.已知函数，其图象上存在两点 ， ，在这

15、两点处的切线都与 轴 平行，则实数的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，由题意函数图象上存在两点， 的切线都与 轴平行，即是在 上有两不等实根，再由导数的方法求解即可. 【详解】因为，所以，由函数图象上存在两点， 的切线都与 轴 平行，所以在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 即直线与曲线在上有两个不同交点. 因，由得，由得; 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以有最小值；又，当时， 所以为使直线与曲线在上有两个不同交点，只需. 故答案为 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化 为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域

16、即可求解，属于常考题型. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.命题 ：实数 满足集合， ：实数 满足集合. （）若 ， 为真命题，求集合 ， ； （）若 是 成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 （1），（2） 【解析】 【分析】 （1）分别解和，即可求出结果； （2）由 是 成立的充分不必要条件，可得 是 的真子集，即可求出结果. 【详解】 （1）由，得，. . 由，解得， . （2） 是 成立的充分不必要条件，. 解得. 实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查由命题的真假求对应的集合，以及根据集

17、合之间的关系求参数范围， 属于基础题型. 18.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积 极性，从 2004 年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对 20142018 年的数据进行 调查，发现某地区发放粮食补贴额 （亿元）与该地区粮食产量 （万亿吨）之间存在着线性 相关关系.统计数据如下表： 年份 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 补贴额 亿元 9 10 12 11 8 粮食产量 万 亿吨 23 25 30 26 21 （）请根据如表所给的数据，求出 关于 的线性回归直线方程； （）通过对该地区粮食产量的分析研究，计

18、划 2019 年在该地区发放粮食补贴额 7 亿元， 请根据（）中所得的线性回归直线方程，预测 2019 年该地区的粮食产量. （参考公式：，） 【答案】 （1）（2）粮食产量大约为 18.7 万亿吨. 【解析】 【分析】 （1）由最小二乘法求出 a,b 的估计值，进而可得回归直线方程； （2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果. 【详解】 （1）由已知数据，可得， . 代入公式，经计算，得， . 所求 关于 的线性回归直线方程为. （2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得. 2019 年该地区的粮食产量大约为 18.7 万亿吨. 【点睛】 本题主要考查线性回归方程以及利用

19、线性回归方程求预测值的问题， 由最小二乘法 先求出 a,b 的估计值，进而即可求解，属于基础题型. 19.某校高二 （20） 班共 50 名学生， 在期中考试中， 每位同学的数学考试分数都在区间 内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：， ，绘制出频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数； （2）已知成绩为 104 分或 105 分的同学共有 3 人，现从成绩在中的同学中任选 2 人，则至少有 1 人成绩不低于 106 分的概率为多少？（每位同学的成绩都为整数） 【答案】 （1）中位数为 114，平均数为 114.32（2） 【解析】 【分析】

20、（）根据中位数的两边概率相等，即可求出中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求 和即可求出平均数； （）先由题意求出成绩在的人数，对成绩为 104 分或 105 分的同学和成绩为 106 分、107 分的学生编号，用列举法结合古典概型的概率计算公式即可求出结果. 【详解】 （）由频率分布直方图，知， 所以学生成绩的中位数为. 平均数为 . （）因为， 所以成绩在之间的学生共有 6 人. 设成绩为 104 分、105 分的学生为 ， ， ，成绩为 106 分、107 分的学生为，. 从 6 人中任选 2 人， 共有， ，15 种情况，其中恰好 2 人都不低于 106 分的 有，共 3 种情况，

21、所以从成绩在中的同学中任选2人， 则恰好2人成绩都不低于106分的概率为. 【点睛】 本题主要考查根据频率分布直方图求中位数、 平均数的问题以及古典概型的概率计 算公式的问题； 频率分布直方图中的中位数两边概率之和相等， 根据每组的中间值乘该组的 频率再求和即可求出平均数；列举法处理古典概型的问题是常用的做法，属于基础题型. 20.已知曲线. （1）求该曲线斜率为-3 的切线方程； （2）当曲线的切线斜率最大时，切点为 ，过点 作直线与 轴、 轴的正半轴交于两点， 求面积的最小值. 【答案】 （1）或.（2） 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，再令导函数等于-3 即可求出切点坐标，进而可

22、求切线方程； （2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出两点坐标，得到直线的截距式方 程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解. 【详解】 （1）由，得， ，解得或. 当时，；当时，. 切线方程为或， 即或. （2）， 当时，切线的斜率取得最大值 1，此时， 即 点坐标为. 由题意，设，（，） ，则直线的方程为. . ， 当且仅当，即时取“”号. 将代入，解得，. 直线的方程为，即时，面积的最小值为 . 【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率 求切点坐标，属于基础题型. 21.已知椭圆的右焦点为 ,为椭圆 上一点. （1）求椭圆 的标准

23、方程； （2）如图，过 作直线与椭圆 交于，两点，点为点 关于 轴的对称点. 求证： （1）； （2）直线必过 轴上一定点，并求出定点坐标. 【答案】 （1）（2）见证明 【解析】 【分析】 （1）可由题中条件，以及 a,b,c 三者之间关系可求出 a,b 的值，进而可求出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，即可证明； 再表示出直线的方程，即可求出定点坐标. 【详解】 （1） （方法 1）由题知，椭圆的两个焦点坐标为， 根据椭圆定义，可得 ， . 椭圆 的标准方程为. （方法 2）由题，可得解得 椭圆 的标准方程为. （2）证明： （1）当直线斜率为 0 时，的方程为，等式

24、显然成立； 当直线斜率不为 0 时，由题意，设的方程为， ，点为点 关于 轴的对称点，则. 联立得. ， ，. . 等式成立. （2）当直线斜率不为 0 时， 直线的方程为， 即， 即. 由（1） ，可知， . . 直线过定点； 当直线斜率为 0 时，的方程为，直线也过定点. 综上可知，直线必过 轴上定点. 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质， 求标准方程通常需要结合题意 列方程组求解即可；直线与椭圆的位置关系的问题，可联立直线与椭圆的方程，根据韦达定 理结合题中条件求解即可，计算量较大，属于常考题型. 22.已知函数，为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）求

25、证：对任意，恒成立. 【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，由导函数大于 0 或小于 0，即可求出单调区间； （2）根据的导函数，将恒成立转化为 恒成立的问题来解决，构造函数， 求其在给定区间内的最大值，即可求解. 【详解】 （1）函数的定义域为. .由，得. 当时，函数为减函数； 当时，函数为增函数. 时，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为. （2）证明：， 设（，）. . ，易知在上为减函数. . 在上为减函数. . 恒成立. 当时，对任意，恒成立. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法求函数的单调区间时，只需对 函数求导，解对应的不等式即可求出单调区间；研究不等式恒成立的问题，一般需要构造函 数，由导数方法研究新函数的最值即可求解，属于常考题型.