河北省沧州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷含答案.doc

1、 沧州市沧州市 2018201820192019 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学（理科）高二数学（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某 项调查.若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有（ ） A. 420 人 B. 480 人 C. 840

2、 人 D. 960 人 【答案】C 【解析】 【分析】 先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果. 【详解】由题意需要从 1800 人中抽取 90 人，所以抽样比为， 又样本中高一年级学生有 42 人，所以该校高一年级学生共有人.故选 C 【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型. 2.已知命题，总有，则 为( ) A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】 由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果. 【详解】命题，总有的否定为：，使得，故选 B 【点睛】本题主要考查含有一个量

3、词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基 础题型. 3.从 2 名男生和 2 名女生中选择 2 人去参加某项活动，则 2 人中恰好有 1 名女生的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】解：从 2名男生和 2名女生选出 2 名参加某项活动， 基本事件总数 n， 2 人中恰好有 1 名女生包含基本事件的个数为：， 2 人中恰好有 1 名女生的概率为 p 故选：A 【点睛】 解决古典概型问题时， 首先分析试验的基本事件是什么， 然后找到所有的基本事件， 计算事件总数， 其次要找到所研究事件包含的基本事件， 计算总数， 然后根

4、据比值计算概率. 4.点 是抛物线的焦点，若抛物线上的点到 的距离为 3，则点 到 轴的距离为 A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线定义即可得到点到 轴的距离. 【详解】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1） ，准线方程为 y1， 根据抛物线定义， yM +13， 解得 yM2， 点 M 到 x 轴的距离为 2， 故选：C 【点睛】解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有 两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d， 则|MF|d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的

5、几何条件符合抛物 线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线 5.管理部门对某品牌的甲、 乙两种食品进行抽样检测， 根据两种食品中某种物质的含量数据， 得到下面的茎叶图： 由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由茎叶图中的数据计算出平均数和方差即可比较大小. 【详解】由茎叶图可得：， 所以， , 所以， 故选 B 【点睛】本题主要考查茎叶图，由茎叶图中数据计算平均数和方差，熟记公式即可，也可根 据茎叶图的特征判断，属于基础题型. 6.已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是( ) A

6、. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线焦点位置设出双曲线方程，再由渐近线的斜率即可求出结果. 【详解】因为双曲线的焦点在 轴上，所以设双曲线的方程为， 又渐近线方程为，所以,所以双曲线方程可能为 故选 D 【点睛】本题主要考查双曲线的方程，由渐近线方程可确定 a,b 的比值，进而可确定双曲线 的方程，属于基础题型. 7.为函数图象上一点，当直线，与函数的图象围成区域的面积等 于 时，的值为 A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论 【详解】直线，与函数的图象围成区域的面积 Sdx 故选：C 【点

7、睛】本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函 数，利用定积分表示面积 8.若双曲线的一个焦点 到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心 率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离， 再与实轴比较大小， 列出不等 式即可求出结果. 【详解】由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，整理得：， 故. 所以选 D 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单性质， 由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离， 根据题意列出不等式即可求解，属于基础题型. 9.执行

8、如图所示的程序框图，如图输出的 的值为 2，则判断框中的条件可能是（ ） A. ？ B. ？ C. ？ D. ？ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据程序框图逐步执行循环结构，即可求出结果. 【详解】第一步：由初始值得：；继续执行循环； 第二步：，此时，结束循环，故判断框中应填？ 故选 A 【点睛】本题主要考查程序框图，由程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型. 10.如图，在三棱锥中，平面， 为 的中点， 则直线与平面所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 取 PC 的中点为 E，连接 EO，易证 OE平面 PAC，即OCE 为直线与平面所成角. 【

9、详解】取 PC 的中点为 E，连接 EO，可得 OEBC， 平面，平面 ABC， 又 ACBC，ACBC=C， BC平面 PAC，又 OEBC， OE平面 PAC， OCE 为直线与平面所成角， 设，OE=1.，OC= cosOCE= 故选：B 【点睛】本题考查了直线与平面所成的角的作法和求法，解题 时要按作、证、算三步规范解题，要能熟练的将空间问题转化为平面问题加以解决 11.若函数在 上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数在上有极值点，得到其导函数所对应的方程在 上有实根，分类讨论即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上

10、有极值点， 可得在上有实根， 又恒成立，所以方程必有实根，由 得函数过点, 所以当时，函数开口向下，对称轴在 轴左侧，故此时 与 轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去; 当时，与 轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍 去; 当时， 函数开口向上， 又函数过点， 所以无论对称轴在 轴的任何一侧， 都能满足函数与 轴正半轴 有交点，即方程在上有实根； 综上，实数的取值范围是： 故选 A 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，由函数在某区间有极值，可得其导函数所对应 的方程在某区间内有实根，通常用分类讨论的思想来处理，属于常考题型. 12.直线与抛物线交于 ， 两点， 为抛物线上一点， ， ， 三点

11、的横坐标依次成等 差数列.若中，边上的中线的长为 3，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先设 ， ， 三点坐标，由 ， ， 三点的横坐标依次成等差数列，以及为边上的中 线可表示出 的坐标，再由点差法求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理 即可求出结果. 【详解】设，因为 ， ， 三点的横坐标依次成等差数列， 所以，又因为为边上的中线，所以轴，即， 因为，在抛物线上， 所以有，两式作差可得, 所以, 所以直线的方程为，即， 由得：， 所以， 所以， 故. 故选 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理 以

12、及题中条件即可求解，属于常考题型 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.函数 ，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，再将 代入即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型. 14.如图，为椭圆的左、右焦点，过 的直线与椭圆交于其中一点 ，与 轴 交于点，且.直线与的外角平分线交于 点，则的周长为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果. 【详解】由题意可

13、得，是的外角平分线， 所以，所以，又，所以， 又由椭圆的方程可得：， 所以的周长为. 故答案为 3 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义， 由两三角形相似确定相似比， 结合椭圆的定义即可求解. 15.如图，边长为的正三角形内接于圆 ，点 为弧上任意一点，则 的面积大于 的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 过点 作直线与平行交弧于点 ，的面积恰好为，点 由 点向 点移动的过程 中，的面积越来越大，结合古典概型中与角度有关的几何概型即可求出结果. 【详解】因为的边长为，所以的高为设外接圆 的半径为，则， 所以，,所以 点到的距离为 ，过点 作直线与平行交弧于点 ，的面积 恰好为，所以点 由 点向

14、 点移动过程中，的面积越来越大；点 由 点向 点移动 过程中，的面积越来越小，因此，为使的面积大于，只需点 由 点向 点移动， 所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比. 因，所以的面积大于的概率为. 故答案为 【点睛】本题主要考查几何概型，根据题意，将问题转化为求圆心角之比即可，属于基础题 型. 16.已知函数，其图象上存在两点 ， ，在这两点处的切线都与 轴 平行，则实数的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，由题意函数图象上存在两点， 的切线都与 轴平行，即是在 上有两不等实根，再由导数的方法求解即可. 【详解】因为，所以，由函数图象上存在两点， 的切线都

15、与 轴 平行，所以在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 即直线与曲线在上有两个不同交点. 因，由得，由得; 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以有最小值；又，当时， 所以为使直线与曲线在上有两个不同交点，只需. 故答案为 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化 为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. .） 17.命题 ：实数 满足集合， ：实数

16、满足集合. （1）若 ， 为真命题，求集合 ， ； （2）若 是 成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）解绝对值不等式与分式不等式，即可得到集合 ， ； （2） 是 成立的充分不必要条件，即，建立不等式组，即可得到结果. 【详解】 （1）由，得，. . 由，解得. . （2） 是 成立的充分不必要条件，. ， 即实数的取值范围是. 【点睛】本题考查不等式的解法，集合的有关概念及运算等基本知识，属基础题 18.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积 极性，从 2004 年开始，国家实施了对种粮农民直接

17、补贴.通过对 20142018 年的数据进行 调查，发现某地区发放粮食补贴额 （亿元）与该地区粮食产量 （万亿吨）之间存在着线性 相关关系.统计数据如下表： 年份 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 补贴额 亿元 9 10 12 11 8 粮食产量 万 亿吨 23 25 30 26 21 （）请根据如表所给的数据，求出 关于 的线性回归直线方程； （）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划 2019 年在该地区发放粮食补贴额 7 亿元， 请根据（）中所得的线性回归直线方程，预测 2019 年该地区的粮食产量. （参考公式：，） 【答案】 （1）（2）粮食产量大约

18、为 18.7 万亿吨. 【解析】 【分析】 （1）由最小二乘法求出 a,b 的估计值，进而可得回归直线方程； （2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果. 【详解】 （1）由已知数据，可得， . 代入公式，经计算，得， . 所求 关于 的线性回归直线方程为. （2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得. 2019 年该地区的粮食产量大约为 18.7 万亿吨. 【点睛】 本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题， 由最小二乘法 先求出 a,b 的估计值，进而即可求解，属于基础题型. 19.某校高二 （20） 班共 50 名学生， 在期中考试中， 每位同学的数学

19、考试分数都在区间 内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：， ，绘制出频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数； （2）已知成绩为 104 分或 105 分的同学共有 3 人，现从成绩在中的同学中任选 2 人，则至少有 1 人成绩不低于 106 分的概率为多少？（每位同学的成绩都为整数） 【答案】 （1）中位数为 114，平均数为 114.32（2） 【解析】 【分析】 （）根据中位数的两边概率相等，即可求出中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求 和即可求出平均数； （）先由题意求出成绩在的人数，对成绩为 104 分或 105 分的同学和成绩为

20、 106 分、107 分的学生编号，用列举法结合古典概型的概率计算公式即可求出结果. 【详解】 （）由频率分布直方图，知， 所以学生成绩的中位数为. 平均数为 . （）因为， 所以成绩在之间的学生共有 6 人. 设成绩为 104 分、105 分的学生为 ， ， ，成绩为 106 分、107 分的学生为，. 从 6 人中任选 2 人， 共有， ，15 种情况，其中恰好 2 人都不低于 106 分的 有，共 3 种情况， 所以从成绩在中的同学中任选2人， 则恰好2人成绩都不低于106分的概率为. 【点睛】 本题主要考查根据频率分布直方图求中位数、 平均数的问题以及古典概型的概率计 算公式的问题；

21、频率分布直方图中的中位数两边概率之和相等， 根据每组的中间值乘该组的 频率再求和即可求出平均数；列举法处理古典概型的问题是常用的做法，属于基础题型. 20.在如图（1）所示的四边形中，. 将沿折起，使二面角为直二面角（如图（2） ） ， 为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 (1)由题意可得平面， 故 . 以 为坐标原点， 分别以，为 轴、 轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，明确平面 BOP 的法向量与 AD 的方向向量，利用二者 共线，即可证得； （2）求出平面的法向量，利用法向量的夹角余弦即可得到二面角的余弦值. 【

22、详解】 （1）证明：由题，知，. 又二面角为直二面角，平面. 又平面，. 以 为坐标原点，分别以，为 轴、 轴、轴建立如图所示空间直角坐标系. ， 由平面几何知识，可得，. 为的中点，. 设平面的法向量为. 即 令，则. 又，. 平面. （2）解：设 为中点，连接，如图. 平面，平面， 平面平面，交线为. 又为等边三角形，. 又平面.平面.是平面的法向量. ， . ， 二面角的余弦值为. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是： （1）观察图形，建立恰当的空间直角 坐标系； （2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量， 利用两直线垂直数量积为零列出方程组

23、求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21.椭圆的右焦点为 ， 为圆与椭圆 的一个公共点， . （）求椭圆 的标准方程； （）如图，过 作直线与椭圆 交于，两点，点为点 关于 轴的对称点. （1）求证：； （2）试问过 ，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】 （）； （） （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （）根据题意布列关于 a，b 的方程组，即可得到椭圆 的标准方程； （） （1）由题意，设的方程为，联立方程可得，利用韦达 定理即可得到结果； （2）直线的方程为，可化为 .从而得到定点.

24、【详解】 （）解：设是椭圆的左焦点，连接，. ，. . . 又，. 椭圆 的标准方程为. （） （1）证明： 当直线斜率为 0 时，的方程为，等式 显然成立； 当直线斜率不为 0 时，由题意，设的方程为. ，点为点 关于 轴的对称点，则. 整理，得. ， ，. . 等式成立. （2）解：过 ，的直线过定点. 当直线斜率不为 0 时， 直线的方程为， 即， 即. 由（1）可知， . . 过 ，的直线过定点； 当直线斜率为 0 时，的方程为，直线也过定点. 综上可知，过 ，的直线过定点. 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方

25、程与参数 无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 22.已知函数， . （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3） 求证：当时，恒成立. 【答案】 （1）； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导函数，得到切线斜率，利用点斜式得到切线方程； （2）解不等式即可得到函数的单调区间； （3）要证恒成立，即证恒成立.分别求左侧函数与右侧函数的最小 值与最大值即可. 【详解】 （1）解：， . .又， ，即. 函数在点处的切线方程为. （2）解：函数的定义域为. ， 当时，；当时，. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）证明：由，得， 要证恒成立，即证恒成立. 令，. ， 当时，为增函数； 当时，为减函数. . 又， 当时，为增函数； 当时，为减函数. . 恒成立. 当时，恒成立. 【点睛】 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函 数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据 条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用 放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.(3)构造双函数，求函数的最值即可.