安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题含答案.doc

1、 黄山市黄山市 2018201820192019 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 高二（理科）数学试题高二（理科）数学试题 第第卷（选择题卷（选择题 满分满分 6060 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ）一项是符合题目要求的 ） 1.若直线a平行于平面，则下列结论错误 的是( ) A. 直线a上的点到平面的距离相等 B. 直线a平行于平面内的所有直线 C. 平面内有无数条直线与直线a平行 D. 平面

2、内存在无数条直线与直线a成 90角 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到 答案. 【详解】由题意，直线 a 平行于平面 ，则对于 A 中，直线 a 上的点到平面 的距离相等是 正确的；对于 B 中，直线 a 与平面 内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于 C 中，平 面 内有无数条直线与直线 a 平行是正确的；对于 D 中，平面 内存在无数条直线与直线 a 成 90角是正确的，故选 D. 【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线 的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证

3、能力，属于基础题. 2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 ，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量 积的坐标运算，即求解. 【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中 解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题. 3.已知，则“直线与直线垂直”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充

4、分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选 B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两 直线的位置关系求得 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与 论证能力，属于基础题. 4.设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为 和 的圆柱（无底面） ，其体积分别 为和,则与的大小关系是( ) A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分别求得

5、卷得圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，求解两圆柱的体积， 比较即可得到答案. 【详解】由题意，当卷成高为 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为 ，则， 解得，则圆柱的体积为， 当卷成高为 的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为 ，则， 解得，则圆柱的体积为， 又由，所以，即，故选 C. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，以及圆柱的体积的计算问题，其中解答解答中， 根据题意求解两圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，准确求解圆柱的体积是解答的 关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5.若从集合中随机取一个数 ，从集合中随机取一个数 ，则直线 一定 经过第四象限的概率为( ) A. B

6、. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，利用列举法求得基本事件的总数，再列举出所求事件所包含的基本事件的个数， 利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从集合中随机取一个数 ，从集合中随机取一个数 ， 得到的取值的所有可能了结果共有： ，共计 9 种结果， 由直线，即，其中当时，直线不过第四象限， 共有，共计 4 种， 所以当直线一定 经过第四象限时，共有 5 中情况， 所以概率为，故选 D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及直线方程的应用，其中解答中根据 题意列举出基本事件的总数，进而利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着 重

7、考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.若直线与直线 关于点（2，1）对称，则直线 恒过定点( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，设直线 上的任意一点，则点 A 关于点的对称点为， 又由点 在直线上，代入求得直线 的方程，即可求解答案. 【详解】由题意，设直线 上的任意一点，则点 A 关于点的对称点为， 又由点 在直线上，即， 整理得，令，即时， 可得直线 过定点，故选 B. 【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对 称性求得直线 的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属 于基础题. 7.已知

8、双曲线 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，它的一条渐近线为，则该双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，分别求解当双曲线的焦点在 轴上和双曲线的焦点在 轴上时，得出的关系式，进 而求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】当双曲线的焦点在 轴上时，渐近线的方程为，即，即 可双曲线的离心率为； 当双曲线的焦点在 轴上时，渐近线的方程为，即，即 可双曲线的离心率为， 所以双曲线的离心率为或，故选 D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及双曲线的渐近线方程的应用，其中解 答中根据双曲线的焦点的位置，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了

9、分类讨论思想，以 及推理与计算能力，属于基础题. 8.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图可知几何体为三棱锥，且该三棱锥的底面为底边边长为 2，高为 2 的等腰 三角形，高为，利用体积公式，即可求解. 【详解】由三视图可知几何体为三棱锥，如图所示，根据三视图可知，该三棱锥的底 面为底边边长为 2，高为 2 的等腰三角形，高为，底面面积为， 所以该三棱锥的体积为，故选 D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由 三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在 三视

10、图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面 积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利 用相应体积公式求解. 9.若直线 将圆平分，且不通过第四象限，则直线 斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直线 将圆平分得直线 过圆心，再由直线 不经过第四象限， 即可求解直线 的斜率的取值 范围，得到答案. 【详解】由圆的方程，可知圆心坐标为， 因为直线 将圆平分，所以直线 过圆心，又由直线 不经过第四象限， 所以直线 的斜率的最小值为 ，斜率的最大值为， 所以直线 的斜率的取值范围是，

11、故选 B. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用， 其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属 于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 10.设实数对满足，则该实数对满足的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，得到表示的区域为圆及圆内的部分，又由不等式 表示直线的右上方的部分，作出图形，求得其面积，根据面积比的几何概型，即可求 解概率. 【详解】由题意，可知圆，表示圆心坐标，半径是 的圆， 其中表示的区域为圆及圆内的部分， 又由不等式表示直线的右上方的部

12、分， 如图所示，则阴影部分的面积为， 又由圆的面积为，所以概率为，故选 C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计 算问题，其中解答中根据题意，画出相应的图形，分别求解其面积，利用面积比求解概率是 解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 11.两圆与只有一条公切线，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由两圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，再由题意可知两圆相内切，求得，利用 基本不等式即可求解的最小值，得到答案. 【详解】由题意可知两圆相内切，又由两圆的标准方程为， 可的圆心分别为，半径分别为 2 和 1， 则，所以， 又由，当

13、且仅当时等号成立， 所以，所以的最小值为，故选 C. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，以及利用基本不等式求最值，其中解答中 根据两圆的位置关系，求得是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于基础题. 12.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点 是它们的一个公共点，且，设椭圆 和双曲线的离心率分别为，则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，设点 P 是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且，则根据椭圆和双 曲线的定义求得，再由曲线的离心率得到，在中，由正弦定理化简 可得，即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，

14、半焦距为 ， 由题意，设点 P 是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且， 则根据椭圆和双曲线的定义可得 ，则， 又由， 在中，由正弦定理得， 即，故选 D. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的定义和性质的应用，其中解答中根据椭圆 和双曲线的离心率的定义，借助在中，合理利用正弦定理运算求解是解答的关键，着重 考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题 满分满分 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.).) 13.命题“,使得”的否定是_ 【答案】,

15、都有 【解析】 【分析】 由题意，根据全称命题与存在性命题的否定关系，即可得到答案. 【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“,使得” 的否定是“,都有”. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关 系，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 14.如图，圆与圆 交于 、 两点，则公共弦 的长是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由两圆的方程相减求得公共弦的方程，在根据圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆 可得公共弦 AB 的方程为， 整理得公共弦 AB 的方程为， 因为圆的圆心，半径为， 圆心

16、到直线 AB 的距离为， 所以公共弦 AB 的长为. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系及弦长的求法，其中 解答中根据两圆的方程相减，得到公共弦的方程，再由圆的弦长公式求解是解答的关键，着 重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15.长方体中， ，则异面直线所成角的余弦 值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，以 D 点为原点，建立适当的空间直角坐标系，求得，利用 空间向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，以 D 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以， 可得. 【点睛】 本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角， 其中解答中根据几何

17、体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16.已知抛物线，斜率为 的直线 过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若以线 段为直径的圆与抛物线的准线相切于点 ，则点 到直线的距离为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设直线 AB 的方程为，线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切与点 P，列出方程， 求得， 得出直线 AB 的方程， 从而求出点 P 的坐标和 AB 的方程， 即可得出答案. 【详解】设直线 AB 的方程为， 代入抛物线可得， 设，AB 的中点为, 则，所以， 所以， 因为线段 AB 为直径的圆与抛物线的准

18、线相切与点 P，所以， 解得，即直线 AB 的方程为，即， 所以点 P 的坐标为， 所以点 P 到直线 AB 的距离为. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单的几何性质，以及直线与抛物线位置关系 的应用，其中设出直线，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系和题设条件，列出方程求 得 的值，得出直线的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档 试题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.设命题 在矩形中，线段上存在一点，使得；命题 ，函数图象

19、与 轴没有交点如果命题“ ”是真命题，且“ ”是假命题，求实数 的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 由题， 由于， 则点在以为直径的圆上， 所以直线与圆 有公共点， 根据， 求得；再由命题 中，根据，求得，再根据命题一真一假，分类讨论，即 可求解. 【详解】由题意，若命题 为真：如图,由于，则点在以为直径的圆上，所以直 线与圆 有公共点， 因此，解得 若命题 为真： 由题可知，命题一真一假，则或 解得. 【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求得参数的取值范围问题，其中解答中根据圆 的性质和二次函数的图象与性质，正确求解命题是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力，属于基础题. 18.

20、如图，圆柱内有一个直三棱柱 ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆 直径，分别为上的动点，且 （）若该圆柱有一个内切球，求圆柱的侧面积和内切球的体积 （）在（）的条件下，当时，求异面直线与所成角的余弦值 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （）由圆柱有一个内切球，求得，进而得到圆柱的底面半径和高，进而 求得求得半径，利用球的体积公式，即可求解. （）由题意，以 C 为坐标原点，所在方向分别为的正方向建立空间直角坐标 系分别求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 （）由题可知，由于圆柱有一个内切球， 所以 因此，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的侧面积为 由题可知，

21、圆柱的内切球的半径为， 所以该内切球的体积 （）由于，所以分别为 AC、BC 的中点 由题可知两两垂直，所以可以以 C 为坐标原点，所在方向分别为的 正方向建立空间直角坐标系（如图） 由（）的条件可得： ， ， 即异面直线与所成角的余弦值为 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征的应用，球的体积 的计算，以及利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中正确认识组合体的结构特征， 以及建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力，属于基础题. 19.如图所示，在平面直角坐标系中，平行于 轴且过点的入射光线 被直线 反射，反射光线 交 轴于 点，圆 过点

22、 ，且与 、 相切 （）求 所在直线的方程； （）求圆 的方程 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （）设 与 交于点 D， 求得 D 点的坐标，进而利用直线的倾斜角求得直线 的斜率，再利用 直线的点斜式方程，即可求解. （）设圆心，根据圆心 在过点 且与 垂直的直线上，且 点在 点的下方，求得 ，再由圆心 C 在过点 A 且与 垂直的直线上，求得的值，进而求得圆的方程. 【详解】 （）如图，直线 ：，设 与 交于点 D，则 D（，2）. 的倾斜角为 30 的倾斜角为 60，即 所以反射光线 所在直线方程为， 即. （）设圆心，由题意可知：圆心 在过点 且与 垂直的直线上，且 点在 点的下

23、方， 则， 又圆心 C 在过点 A 且与 垂直的直线上， 故圆 C 的半径，所以圆 C 的方程为. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的标准方程的求解，其中解答中根据题设 条件的对称性，求得直线 的斜率，以及第二问中根据圆的性质求得圆心的坐标是解答本题的 关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 20.如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，点 是棱的中点，点 是 的中点. （）求证：直线； （2）平面平面； （）若底面为正方形，,求二面角大小 【答案】 （）详见解析（） 【解析】 【分析】 （） （1） 中， 设菱形的对角线相交于点 ， 连接 根据中位线的行贿， 证得 ， 进而利用线

24、面平行的判定定理，即可得到平面； （2）由于，证得所以，再由，得，利用线面垂直 的判定定理，证得平面，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面 . （）由题意，分别以的方向为坐标轴方向，建立空间直角坐标系.分别求得平面 和平面的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 （）证明： （1）设菱形的对角线相交于点 ，连接由题可得点 、 分别 为线段、的中点，又，. （2）由于， 所以，由可得， 又是平面内两相交直线， ，因为， 故平面平面. （）由题可知、两两垂直，则分别以的方向为坐标轴方向，建立空 间直角坐标系.由可得，于是可令， 则 设平面的一个法向量为由于， 所以，解得，所以

25、因为 轴平面，所以可设平面的一个法向量为 由于，所以，解得， 所以 故所以二面角的大小为 【点睛】本题考查了立体几何中的线面位置关系的判定与 证明，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关 键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理；同时 对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向 量的夹角公式求解. 21.如图，森林的边界是直线 ，图中阴影部分是与 垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草 原上点 和点 处，其中，现兔子随机的沿直线，以速度准备越过森林边界 逃入森林，同时，狼沿线段以速度 进行

26、追击，若狼比兔子先到或同时到达点处，狼就 会吃掉兔子某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系（如图） ， 并假设点的坐标为 （）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积 ； （）若兔子随机沿与成锐角）的路线越过 向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概 率 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （）由题意，可知狼要想吃掉兔子，就必须先到达 M 点或与兔子同时到达 M 点，即 ，化简可求解相应的不等式关系，得到答案. （）过点 作半圆的切线，切点为 ，在中，求得，进而根据 几何概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】 （）如图所示，狼要想吃掉兔子，就必须先到达 M

27、点或与兔子同时到达 M 点， 即有：. 化简得，即 两边平方并整理得： 即 所以，兔子的所有不幸点构成的区域为半圆及其内部. 所以，兔子的所有不幸点组成的区域的面积 S 为. （）如图，过点 作半圆的切线，切点为 ， 在中，所以 兔子要想不被狼吃掉，则不能沿的以内方向跑，则，又. 故兔子能逃脱的概率是. 【点睛】本题主要考查了不等式的实际应用问题，以及几何概型及其 概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理建立不等式关系式，进而利用面积比的几 何概型求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 22.已知点和圆，过的动直线 与圆交于、 两点，过作直线 ，交于 点

28、（）求动点 的轨迹 的方程； （）若不经过的直线 与轨迹 交于两点，且.求证：直线 恒过定点 【答案】 （） （）详见解析 【解析】 【分析】 （I）由题意可得是等腰三角形，即，再圆的性质和椭圆定义，即可求解 的值，得出椭圆的方程； （II）设，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，又由， 整理求得解得，进而判定处直线过定点问题. 【详解】 （I）由，知是等腰三角形，即. ， 点轨迹是以为焦点的椭圆， ，故， 因此点 的轨迹 . （II）设，则 联立 则，又由知： ， ， 将式代入并化简得：，解得. 当时，直线恒过，不满足题意； 当时，直线恒过定点. 当直线 与横轴垂直时，令， ，化简得， 解得或（舍去） ， ，即此时也有直线 过定点. 综上可知，当，直线 过定点. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆 的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常求得的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是 基础，再通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数 的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考 生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.