【高中同步培优】平面向量专题通关9讲（学生版）.docx

1、目录第 1 讲 平面向量的概念2考点一 向量与数量的区别2考点二 向量的几何表示3考点三 向量相关概念的辨析4考点四 相等向量与平行向量5第 2 讲 平面向量的线性运算7考点一 向量的加法运算8考点二 向量的减法运算9考点三 向量的数乘10考点四 向量线性运算的实际运用12第 3 讲 平面向量的共线定理、数量积13考点一 共线定理14考点二 共线定理的应用15考点三 向量的数量积16考点四 向量的夹角17考点五 向量的模长18考点六 向量的投影18考点七 向量的综合运用19第 4 讲 平面向量的基本定理及坐标表示20考点一 向量基底的选择21考点二 向量的基本定理22考点三 线性运算的坐标表示

2、23考点四 数量积的坐标表示24考点五 向量与三角函数综合运用25第 5 讲 平面向量在几何和物理中的运用26考点一 向量在几何中的运用26考点二 向量在物理中的运用28第 6 讲 正、余弦定理30考点一 正余弦定理的选择30考点二 边角互换31考点三 三角形的面积32考点四 判断三角形的形状33考点五 三角形个数的判断34考点六 最值问题34第 7 讲 正、余弦定理的实际运用35考点一 距离测量36考点二 高度测量37考点三 角度测量40考点四 几何中的正余弦定理41考点五 三角函数与解三角形43第 8 讲 平面向量及其应用 章末测试（基础）44第 9 讲 平面向量及其应用 章末测试（提升）

3、501/ 55第 1 讲 平面向量的概念【考点梳理】考点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.考点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB，线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度记作|AB|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母 a，b，c，表示(印刷用黑体 a，b，c，书写时用 a ，b， c).考点三：.模、零向量、单位向量

4、向量AB的大小，称为向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0；长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量.考点四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量 a 与 b 平行，记作 ab.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【考点精讲】考点一 向量与数量的区别【例 1】（2021全国高一课时练习）有下列物理量:质

5、量;速度;力;加速度;路程;功.其中，不是向量的个数是（）A1B2C3D42/ 55【考点精练】1（2021安徽定远县育才学校高一月考）以下选项中，都是向量的是（）A正弦线、海拔B质量、摩擦力CABC 的三边、体积D余弦线、速度2（2021山西临汾高一月考）下列各量中是向量的为（）A海拔B压强C加速度D温度3（2021上海高一课时练习）给出下列物理量：质量；速度；位移；力；路程；功；加速度.其中是向量的有（）A4 个B5 个C6 个D7 个考点二 向量的几何表示【例 2】（2021全国高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1） OA ，使| O

6、A |4 2 ，点 A 在点 O 北偏东 45；2ABAB4BA（ ），使 ，点在点正东；（3） BC ，使 BC 6，点 C 在点 B 北偏东 30.【考点精练】1（2021全国高一课时练习）如图的方格由若干个边长为 1 的小正方形组成，方格中有定点 A，点 C 为小正方形的顶点，且 AC = 5 ，画出所有的向量 AC .2（2021浙江高一课时练习）老鼠由 A 向东北方向以 6m/s 的速度逃窜,猫由 B 向东南方向以10m/s 的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?3/ 553（2021全国高一课时练习）如图所示，已知向量 a, b, c, d ，求作向量 a - b, c - d

7、4（2021上海高一课时练习）已知飞机从 A 地按北偏东 30 方向飞行 2000km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东30 方向飞行 2000km 到达 C 地，再从 C 地按西南方向飞行10002km 到达 D 地画图表示向量 AB, BC, CD ，并指出向量 AD 的模和方向考点三 向量相关概念的辨析【例 3】（2021上海高一课时练习）给出如下命题：向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个公共终点的向量，一定是共线向量；向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A ， B

8、 ， C ， D 必在同一条直线上其中正确的命题个数是（）A1B2C3D4【考点精练】1（2021云南隆阳高一期中）下列说法错误的是（）A长度为 0 的向量叫做零向量B零向量与任意向量都不平行C平行向量就是共线向量D长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量2（2021江苏南京二十七中高一期中）下列命题中正确的有（）A若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合4/ 55B若 a 和 b 是都是单位向量，则 a = bC若 a / /b ，则 a 与 b 的夹角为 0D零向量与任何向量共线3（2021浙江杭州市富阳区场口中学高一月考）下列说法错误的是（）A向量 CD 与向量 DC 长度相等B单位

9、向量都相等C向量的模可以比较大小D任一非零向量都可以平行移动4（2021上海高一课时练习）下列命题中，正确的是A若| a|=| b | ，则 a = bC若，则| a| | b |a b|=| b |B若 a= b ，则 | aD若| a |= 0 ，则 a = 0考点四 相等向量与平行向量【例 4】（2021全国高一课时练习）如图，ABC 和ABC是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三a角形，设ABC 的边长为 a，写出图中给出的长度为 3 的所有向量中，（1）与向量 GH 相等的向量；（2）与向量 GH 共线的向量；（3）与向量 EA 平行的向量.【考点精练】1（2021上海高一课时练习

10、）如图， D 、 E 、 F 分别是 ABC 的边 AB 、 BC 、 CA 的中点，写出与 共 AB 线（平行）的向量.5/ 552（2021全国高一课时练习）在如图所示的向量 a, b, c, d , e 中（小正方形的边长为 1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有_；（2）方向相反的向量有_；（3）模相等的向量有_.13（2021全国高一课时练习）如图所示， DABC 和 DABC是在各边的 3 处相交的两个全等的等边三角形，a设 DABC 的边长为 a ，图中列出了长度均为 3 的若干个向量则：（1）与向量 GH 相等的向量有_；（2）与向量 GH 共线，且模相等的向量

11、有_；（3）与向量 EA 共线，且模相等的向量有_6/ 55第 2 讲 平面向量的线性运算【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作ABa，BCb，则向量AC叫做 a 与 b 的 三角形法和，记作 ab，即 abABBCAC.则这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量 a，规定 a00aa以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB，则以 O 为起点的对角线OC就平行四边是 a 与 b 的和.把这种作两个向量和的方法叫

12、做向量加法的平行四边形法则形法则考点二向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系(1)首尾相接三角形法则作出的图形三角形法则是平行四边形法则作出(2)适用于任何向量求和图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a(a)(a)a0.7/ 55(3)若 a，b 互为相反向量，则 ab，ba，ab0.考点四：向量的减法1.定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 aba(b)，

13、因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点 O，作OAa，OBb，则向量 abBA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.考点四 向量数乘的定义实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.当0 时，与 a 的方向相同；(2)a (a0)的方向 当0 时，与 a 的方向相反.特别地，当0 时，a0.，当1 时，(1)aa.考点五 向量数乘的运算律1 .(1)(a)()a.(2)()

14、aaa.(3)(ab)ab.特别地，()aa(a)，(ab)ab.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.【题型归纳】考点一 向量的加法运算【例 1-1】（2021全国高一课时练习）已知向量 a, b, c 如图，求作向量 a + b + c .【例 1-2】（2021全国高一课时练习）化简： BC AB ； DB CD BC ； AB DF CD BC FA .8/ 55【考点精练】1（2021全国高一课时练习）化简（1） AB + CD + BC + DA （2） (AB + MB )+ (BO +

15、 BC )+ OM 2（2021全国高一课时练习）如图，在 ABC 中， O 为重心，点 D, E, F 分别是 BC , AC , AB 的中点，化简下列各式：(1) BC + CE + EA ;(2) OE + AB + EA ;(3) AB + FE + DC .3（2021全国高一课时练习）如图，已知向量 a、b、c，求作和向量 a + b + c .考点二 向量的减法运算2021ab1.，求作向量 2a -b【例 2-1】（全国高一课时练习）如图，已知向量，39/ 55【例 2-2】（2021全国高一课时练习）化简下列式子：（1） NQ - PQ - NM - MP ；（2） (BA

16、 - BC) - (ED - EC) 【考点精练】1（2021山西临汾高一月考）化简 AB + CD - MB - CM =（）A MDB ADC ACD MA2（2021河北邢台高一月考）如图，在 ABC 中，点 D 为 AC 上一点，则 AB - DB + DC =（）A ACB BCC ABD DC3（2021广东江门市新会第二中学高一月考）（多选）下列各式结果为零向量的有（）B AB + AC + BD + CDA AB+ CA+ BCC OA -OD + ADD NQ + QP + MN - MP考点三 向量的数乘【例 3-1】（2021全国高一课时练习）化简：)；（1） 5(2a

17、- 2b )+ 4(2b - 3a)；（2） 6 (a - 3b+ c )- 4 (-a + b - c11（3）(3a -2b )+5a -(6a - 9b) ；23（4） (x - y )(a + b )- (x - y )(a - b ).【例 3-2】（2021安徽定远县育才学校高一月考（文）如图，解答下列各题10/ 55（1）用 a，d，e表示 DB ；（2）用 b，c表示 DB ；（3）用 a，b，e表示 EC ；（4）用 d，c表示 EC .【考点精练】1（2021湖南长沙市湘郡长德实验学校高一月考）化简（1） 5 (2a - 2b )+ 4 (2b -3a )；11（2）(3a

18、 -2b )+5a -(6a -9b )3212（2021全国高一课时练习）（1）化简：2(2a + 4b) - 4(5a - 2b) 4（2）已知向量为 a, b ，未知向量为 x, y 向量 a, b ， x, y 满足关系式 3x - 2 y = a, -4 x + 3 y3（2021云南罗平县第二中学高一月考）如图，四边形 ABCD 中，已知 AD = 2BC（1）用 AB ， AD 表示 DC ；3（2）若 AE = 2EB ， DP =DE，用 AB ， AD 表示 AP .4= b ，求向量 x, y .11/ 554（2021全国高一专题练习）如图，在OAB 中，延长 BA 到

19、 C，使 AC=BA，在 OB 上取点 D，使 DB = 13 OB ， DC 与 OA 交点为 E，设 OA = a,OB = b ，用 a ， b 表示向量 OC ， DC .考点四 向量线性运算的实际运用【例 4-1】（2021全国高一课时练习）如图，两条绳子悬挂一个重量为 G 的物体，已知每条绳子用力为 4N，两条绳子的夹角为 90，则 G = _.【例 4-2】（2021全国高一课时练习）已知正方形 ABCD 的边长为 1， =，=b，则+b+|AB aBCAC = c| ac等于（）A0BCD 2322【考点精练】1（2021全国高一课时练习）一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中

20、航行的速度均为 5km / h .如果此船实际向南偏西 30 方向行驶 2km ，然后又向西行驶 2km ，你知道此船在整个过程中的位移吗?2（2021全国高一课时练习）一架飞机向南飞行 100 km ，又向西飞行 100 km ，则此飞机飞行的路程为_，位移的大小为_.3（2021云南玉溪高一期末）在矩形 ABCD 中， AB = 3, AD = 2 ，E 为 BC 的中点，则 AE + BE = （）12/ 55A 5B 11C 13D 154（2021全国高一课时练习）若向量 a 表示“向东航行 1km”，向量 b 表示“向北航行3 km”，则向量 a + b 表示（）A向东北方向航行

21、2kmB向北偏东 30方向航行 2kmC向北偏东 60方向航行 2kmD向东北方向航行(1) km3第 3 讲 平面向量的共线定理、数量积【考点梳理】考点一向量共线定理向量 a (a0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 ba.考点二两向量的夹角与垂直1.(0)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，O 是平面上的任意一点，作OAa，OBb，则AOB叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示).当0 时，a 与 b 同向；当时，a 与 b 反向. 考点三向量数量积的定义非零向量 a，b 的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|

22、cos ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 0.考点四 投影向量在平面内任取一点 O，作OMa，ONb，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量.设与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为，则OM1与 e，a，之间的关系为OM1|a|cos e.考点五 平面向量数量积的性质设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为，e 是与 b 方向相同的单位向量.则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当 ab 时，ab |a|b|，a 与 b 同向，|a|b|，a 与 b 反向.特别地，aa|a|2 或|a|aa.(4

23、)|ab|a|b|.考点六平面向量数量积的运算律1.abba(交换律).2.(a)b(ab)a(b)(数乘结合律).13/ 553.(ab)cacbc(分配律).【考点精讲】考点一共线定理【例 1-1】（2021全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量 a , b 是否共线（其中 e1, e2 是两个非零不共线向量）（1） a = 5e1 , b = -10e1 ；11（ ） a =e-e, b = 3e- 2e；2321212（3） a = e1 + e2 , b = 3e1 - 3e2 【例 1-2】（2021上海高一课时练习）设 a, b 是不共线的两个非零向量.（1）若 OA = 2a

24、 - b，OB = 3a + b，OC = a - 3b，求证： A，B，C 三点共线；（2）若 8a + kb与 ka + 2b 共线，求实数 k 的值；（3）若 AB = a + b，BC = 2 a -3 b，CD = 2 a - kb，且 A，C，D 三点共线，求实数 k 的值.【考点精练】21（2021全国高一课时练习）如图，在 ABC 中， D ， F 分别是 BC ， AC 的中点， AE =AD ， AB = a ，3AC = b （1）用 a ， b 表示 AD ， A E ， AF ， BE ， BF ；（2）求证： B ， E ， F 三点共线14/ 552（2021全国

25、高一课时练习）如图，已知 ABC 两边 AB, AC 的中点分别为 M，N，在 BN 延长线上取点 P，使 NP = BN ，在 CM 延长线上取点 Q，使 MQ = CM .求证：P，A，Q 三点共线.3（2021安徽黄山高一期末）设 G 为 ABC 的重心， G 为 BCG 的重心，过 G 作直线 l 分别交线段 AB ， AC (不与端点重合)于 M ， N .若 AM = xAB， AN = y AC .（1）求证 1x + 1y 为定值；（2）求 x + y 的取值范围.考点二 共线定理的应用【例 2】（2021上海市奉贤中学高一期中）设 O 为ABC 所在平面内一点，满足 OA +

26、 2OB + 2OC = 0，则ABC的面积与 BOC 的面积的比值为（）A 6B8C12D 537【考点精练】1（2021山西省长治市第二中学校高一期末）已知ABC 的三个顶点 A B C 及平面内一点 P 满足PA + PB + PC = AB ，则ABP 与 ABC 的面积比为（）A1B1C2D123542（2021江西新余高一期末（理）若点 M 是ABC 所在平面内的一点，点 D 是边 AC 靠近 A 的三等分点，且满足 5AM = AB + AC ，则ABM 与ABD 的面积比为（）15/ 55A1B2C3D9555253（2021甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知 D 是ABC 的

27、边 AB 的中点，点 M 在 DC 上，且满足5AM = AB + 3AC ，则 ABM 与 ABC 的面积之比为（）A1B2C3D45555考点三 向量的数量积【例 3】（1）（2021全国高一课时练习）若 p 与 q 是相反向量，且p=3，则 p q 等于（）A9B0C-3D-9（2）（2021江西九江一中高一月考）已知向量 a 、 b 满足 a = 1, b = 2 ，a 与 b 的夹角为 p4 ，则(a - b) (2a + b) = （）A1B 3C -1D -5【考点精练】1（2021江西宜春九中高一月考） RtABC 中， C = 90 ， A = 30 ， BC = 1 ， D

28、 为斜边 AB 的中点，则 AB CD = （）A1B 1C2D 212（2021安徽合肥艺术中学 高一月考）如图， ABCD 是边长为 4 的正方形，若 DE =EC，且 F 为 BC3的中点，则 EA EF = （）A3B4C5D63（2021全国高一课时练习）正三角形 ABC 边长为 2 ，设 BC = 2 BD ， AC = 3AE ，则 ADBE = _.16/ 554（2021安徽淮北一中高一月考）已知 AD 是 RtABC 的斜边 BC 上的高， P 在 DA 延长线上，( PB + PC ) AD = 82 ，若 AD 的长为 2，则 PB PC = _.考点四 向量的夹角【例

29、 4】（2021上海高一课时练习）设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 p3 ，求向量 a = 2m + n 与 b = 2n - 3m 的夹角.【考点精练】1（2021吉林延边二中高一月考）已知 a = 4 ， b = 3 ， (2a - 3b)(2a + b) = 61 .（1）求 a 与 b 的夹角q ；（2）若 c = ta + (1- t )b ，且 b c = 0 ，求 t .22021a b1(ab)(ab)1（浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考）已知a= 1， =，- +=，求：22（1） a 与 b 的夹角；（2） a - b 与 a + b 的夹角的余弦值3（2

30、021江苏南通高一期末）如图，菱形 ABCD 的边长为 2 ， DAB = 60 ， DE = EC ， DF = 2FB 17/ 55求：（1） AE AF ；（2） cos EAF 考点五 向量的模长【例 5】（1）（2021湖北大冶市第一中学高一月考）若向量 a 与 b 的夹角为 60， b = 4 ，r= （(a + 2b ) (a - 3b )= -72，则a）A2B4C6D12= 1 ，b= 5 ，则3a - b（2）（2021上海高一课时练习）已知向量 a ， b 的夹角为120 ，a等于（）A7B6C5D4（3）（2021河北正定中学高一月考）已知平面向量 | a |=1则 | b | 的最大值（，a - b）3A+1B 2+1C-1D 2-13333【考点精练】, b 为单位向量，且1，则| a +2 b |（）1（2021全国高一课时练习）设 aa - bABC3D737= 2 ，b=1，则a - b2（2021全国高一课时练习）已知平面向量 a, b ，a的最大值为（）A1B2C3D53（2021全国高一课时练习）已知a= 4,b= 3, (2a - 3