2025高考数学一轮复习-高考难点突破系列(一)导数中的综合问题-第二课时 构造函数证明不等式ppt课件.pptx

1、索引题型一移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式例例1(2023新高考新高考卷卷)已知函数已知函数f(x)a(exa)x.(1)讨论讨论f(x)的单调性；的单调性；解解f(x)aex1，xR.当当a0时，时，f(x)0时，令时，令f(x)0，得，得xln a；令令f(x)0，得，得x0时，函数时，函数f(x)在在(，ln a)上单调递减，在上单调递减，在(ln a,)上单调递增上单调递增.索引证明证明法一法一由由(1)得当得当a0时，函数时，函数f(x)的最小值为的最小值为f(ln a)1a2ln a.索引法二法二当当a0时，由时，由(1)得得f(x)minf(ln a)1a2ln a，构

2、造函数构造函数u(a)ln a(a1)(a0)，所以当所以当a1时，时，u(a)0；当；当0a0，所以函数所以函数u(a)在在(0，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减上单调递减，索引所以所以u(a)u(1)0，即即ln aa1，索引感悟提升1.若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的最值，利若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的最值，利用最值证明不等式用最值证明不等式.2.若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右左减右”的的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数

3、研究其单调性和最值，借助函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证所构造函数的单调性和最值即可得证.索引训练训练1(2023新高考新高考卷节选卷节选)证明：当证明：当0 x1时，时，xx2sin xx.证明证明令令h(x)xx2sin x(0 x1)，则则h(x)12xcos x(0 x1).令令p(x)12xcos x(0 x1)，则则p(x)2sin x0，所以所以p(x)即即h(x)在在(0，1)上单调递减，上单调递减，又又h(0)0，所以当所以当0 x1时，时，h(x)h(0)0，h(x)单调递减，单调递减，所以当所以当0 x1时

4、，时，h(x)h(0)0，索引即即xx2sin x.令令g(x)sin xx(0 x1)，则则g(x)cos x10，所以所以g(x)在在(0，1)上单调递减，上单调递减，又又g(0)0，所以当所以当0 x1时，时，g(x)g(0)0，即即sin xx.综上，当综上，当0 x1时，时，xx2sin xx.索引题型二分拆函数法证明不等式例例2(2024长沙模拟节选长沙模拟节选)已知函数已知函数f(x)axln xx2，g(x)exx1，0a1，求证：求证：f(x)g(x).证明证明要证明要证明f(x)g(x)，只需证明只需证明axln xx2exx1，则则0 x0，函数，函数u(x)在在(0，e

5、)上单调递增；上单调递增；xe时，时，u(x)0，函数，函数u(x)在在(e，)上单调递减；上单调递减；索引则则0 x2时，时，v(x)2时，时，v(x)0，函数，函数v(x)在在(2，)上单调递增；上单调递增；所以所以0a1时，时，f(x)0时，证明：时，证明：exsin x1xln x.证明证明设设h(x)xsin x，则则h(x)1cos x0，h(x)单调递增，单调递增，所以当所以当x0时，时，h(x)h(0)0，即即xsin x(x0).所以所以exsin x1exx1，所以要证所以要证exsin x1xln x，只需证明只需证明exx1xln x，设设f(x)exx1，则，则f(x

6、)ex1，索引则则x(，0)时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增.所以所以f(x)的最小值为的最小值为f(0)0.当当x(0，1)时，时，f(x)0，xln xxln x.当当x1，)时，设时，设F(x)exx1xln x，则则F(x)exln x2，因为因为g(x)在在1，)上单调递增，上单调递增，且且g(1)e10，索引所以所以g(x)0在在1，)上恒成立，上恒成立，所以所以g(x)在在1，)上单调递增，上单调递增，又又g(1)e20，所以所以F(x)0在在1，)上恒成立，上恒成立，故故F(x)在在1，)上单调递增，上单调递增，F(x)F(1)e20在在1，)上恒成立上恒成立.综上

7、，当综上，当x0时，时，exsin x1xln x.索引感悟提升索引训练训练3(2024济南模拟节选济南模拟节选)已知函数已知函数f(x)ex，证明：当，证明：当x2时，时，f(x)ln(x2).证明证明设设g(x)f(x)(x1)exx1(x2)，则，则g(x)ex1，当当2x0时，时，g(x)0；当当x0时，时，g(x)0，即，即g(x)在在(2，0)上单调递减，在上单调递减，在(0，)上单调递增，上单调递增，于是当于是当x0时，时，g(x)ming(0)0，因此因此f(x)x1(当且仅当当且仅当x0时取等号时取等号)，令令h(x)x1ln(x2)(x2)，则当则当2x1时，时，h(x)0

8、；当；当x1时，时，h(x)0，索引即有即有h(x)在在(2，1)上单调递减，在上单调递减，在(1，)上单调递增，上单调递增，于是当于是当x1时，时，h(x)minh(1)0，因此因此x1ln(x2)(当且仅当当且仅当x1时取等号时取等号)，因为等号不同时成立，因为等号不同时成立，所以当所以当x2时，时，f(x)ln(x2).索引微点突破 极值点偏移(无偏移，左右对称，如二次函数无偏移，左右对称，如二次函数)若若f(x1)f(x2)，则，则x1x22x0.索引(左陡右缓，极值点向左偏移左陡右缓，极值点向左偏移)若若f(x1)f(x2)，则，则x1x22x0；(左缓右陡，极值点向右偏移左缓右陡，

9、极值点向右偏移)若若f(x1)f(x2)，则，则x1x22x0.索引一、对称化构造辅助函数一、对称化构造辅助函数例例1(2024青岛调研青岛调研)已知函数已知函数f(x)xex.(1)求求f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值；解解f(x)(1x)ex，则由则由f(x)1；由；由f(x)0，得，得x2.证明证明不妨设不妨设x1x2，由，由(1)知知x11，要证要证x1x22，即证，即证x22x1，即即证证f(x1)f(x2)f(2x1).构造构造F(x)f(2x)f(x)(2x)ex2xex，x1，则则F(x)(1x)(ex2ex)F(1)0，故故F(x1)f(2x1)f(x1)0，x1f

10、(x1)f(x2)，又又x11，x21，且，且f(x)在在(1，)上单调递减，上单调递减，所以所以2x12.索引二、比、差值换元构造辅助函数二、比、差值换元构造辅助函数例例2 已知函数已知函数f(x)ln xax(x0)，a为常数，若函数为常数，若函数f(x)有两个零点有两个零点x1，x2(x1x2)，求证：，求证：x1x2e2.证明证明法一法一不妨设不妨设x1x2，因为因为ln x1ax10，ln x2ax20，所以所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，欲证欲证x1x2e2，即证，即证ln x1ln x22.因为因为ln x1ln x2a(x1x2)，索

11、引所以所以h(c)在在(1，)上单调递增，所以上单调递增，所以h(c)h(1)ln 100，索引法二法二由题意，函数由题意，函数f(x)有两个零点有两个零点x1，x2(x1x2)，即即f(x1)f(x2)0，易知易知ln x1，ln x2是方程是方程xaex的两个根，的两个根，设设t1ln x1，t2ln x2，g(x)xex，则则g(t1)g(t2)，从而从而x1x2e2ln x1ln x22t1t22.下证：下证：t1t22.g(x)(1x)ex，易得，易得g(x)在在(，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减，索引当当x时，时，g(x)；当；当x时，时，g(x)0

12、且且g(x)0，由由g(t1)g(t2)，t1t2，不妨设，不妨设t1t2，作出函数作出函数g(x)的图象如图所示，的图象如图所示，由图知必有由图知必有0t11F(0)0对任意的对任意的x(0，1恒成立，恒成立，即即g(1x)g(1x)对任意的对任意的x(0，1恒成立恒成立.索引由由0t11g1(1t1)g(t1)g(t2)，即即g(2t1)g(t2).又又2t1，t2(1，)，且，且g(x)在在(1，)上单调递减，上单调递减，所以所以2t12，即即x1x2e2.索引训练训练 (1)已知函数已知函数f(x)x(1ln x)，若，若f(x)m有两个根有两个根x1，x2(x1x2)，求证：，求证：

13、x1x22.当当x(0，1)时，时，f(x)0；当；当x(1，)时，时，f(x)0，所以所以f(x)在在(0，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减上单调递减.不妨设不妨设0 x112，即证即证x22x1.因为因为0 x111，2x11，又又f(x)在在(1，)上单调递减，上单调递减，所以即证所以即证f(x2)f(2x1)，索引又又f(x1)f(x2)，所以，所以即证即证f(x1)f(2x1)，即证当即证当x(0，1)时，时，f(x)f(2x)0.构造函数构造函数F(x)f(x)f(2x)，则则F(x)f(x)f(2x)ln xln(2x)lnx(2x).当当0 x1时，时，x(2

14、x)0，即当即当0 x0，所以，所以F(x)在在(0，1)上单调递增上单调递增，所以当所以当0 x1时，时，F(x)F(1)0，所以当所以当0 x11时，时，f(x1)f(2x1)f(x1)f(x2)，又又x11，x21，且，且f(x)在在(1，)上单调递减，上单调递减，所以所以2x12.索引(2)(2024南通模拟改编南通模拟改编)已知函数已知函数f(x)aexx，aR.若若f(x)有两个不同的零点有两个不同的零点x1，x2，证明：，证明：x1x22.所以所以g(x)在在(，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减，由于由于x1，x2是方程是方程g(x)0的实根的实根，

15、不妨，不妨设设x11x2.设设0 x11x2，由，由g(x1)g(x2)，得，得x1ex1x2ex2，等式两边取对数得等式两边取对数得ln x1x1ln x2x2.索引所以当所以当t1时，时，h(t)单调递增，所以单调递增，所以h(t)h(1)0，索引课时分层精练K E S H I F E N C E N G J I N G L I A N A级 基础巩固1234索引证明证明当当x0时，要证时，要证f(x)x1，即证即证ln xx2x0，令令g(x)ln xx2x(x0)，当当0 x1时，时，g(x)0，g(x)单调递增；单调递增；当当x1时，时，g(x)0，g(x)单调递减，单调递减，g(x

16、)g(1)0，即，即当当x0时，时，f(x)x1.索引12342.(2024唐山模拟唐山模拟)已知已知x1，证明：，证明：(1)ex1xln(x1)；当当1x0时，时，f(x)0时，时，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增，所以所以f(x)f(0)0，等号仅当，等号仅当x0时成立，时成立，即即xln(x1)，从而从而exeln(x1)x1，所以所以ex1x.综上，综上，ex1xln(x1).索引1234(2)(ex1)ln(x1)x2.证明证明显然当显然当x0时，时，(ex1)ln(x1)x20.令令h(x)(1x)ex1，则，则h(x)xex，当当x0，h(x)单调递增；单调递增；当当x0

17、时，时，h(x)0，h(x)单调递减，单调递减，所以所以h(x)h(0)0，等号仅当，等号仅当x0时成立，时成立，索引1234所以所以g(x)在在(，0)和和(0，)上单调递减上单调递减.由由(1)知，当知，当1xxln(x1)；当当x0时，时，xln(x1)0，所以所以g(x)1且且x0时，时，x(ex1)0，所以所以(ex1)ln(x1)x2.综上，当综上，当x1时，时，(ex1)ln(x1)x2.索引12343.已知函数已知函数f(x)axsin x.(1)若函数若函数f(x)为增函数，求实数为增函数，求实数a的取值范围；的取值范围；解解f(x)axsin x，f(x)acos x，由函

18、数由函数f(x)为增函数，为增函数，则则f(x)acos x0恒成立，恒成立，即即acos x在在R上恒成立，上恒成立，ycos x1，1，a1，即实数即实数a的取值范围为的取值范围为1，).索引1234(2)求证：当求证：当x0时，时，ex2sin x.证明证明由由(1)知，当知，当a1时，时，f(x)xsin x为增函数，为增函数，当当x0时，时，f(x)f(0)0 xsin x，要证当要证当x0时，时，ex2sin x，只需，只需证当证当x0时，时，ex2x，即证即证ex2x0在在(0，)上恒成立，上恒成立，设设g(x)ex2x(x0)，则，则g(x)ex2，令令g(x)0解得解得xln

19、 2，g(x)在在(0，ln 2)上单调递减，在上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，上单调递增，g(x)ming(ln 2)eln 22ln 22(1ln 2)0，g(x)g(ln 2)0，ex2x成立成立，故，故当当x0时，时，ex2sin x.B级 能力提升索引12344.设函数设函数f(x)ln(ax)xe.(1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间；xa，f(x)0，得，得0 xe；令；令g(x)e，g(x)在在(0，e)上单调递增，在上单调递增，在(e，)上单调递减，上单调递减，索引1234令令h(x)0，得，得x1；令；令h(x)0，得，得0 x0；当；当x(2e，)时，时，g(x)0，g(x)在在(0，2e)上单调递增，在上单调递增，在(2e，)上单调递减，上单调递减，g(x)g(2e)ln(2e)1ln 20，则，则h(x)ex10在在(0，)上恒成立上恒成立.h(x)在在(0，)上单调递增上单调递增，h(x)e001，本课结束