19.3 第2课时 正方形的判定（课件）2024-2025学年度华东师大版数学八年级下册.pptx

1、19.3 第2课时 正方形的判定学 习 目 标1.1.探索并证明正方形的判定；探索并证明正方形的判定；(重、难点重、难点)2.2.会运用正方形会运用正方形的性质的性质及判定条件进行有关的论证和计算及判定条件进行有关的论证和计算 .(.(难点难点)合 作 探 究知识点知识点 正方形的正方形的判定判定活动活动1 1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形正方形猜想猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？满足怎样条件的矩形是正方形？矩形矩形正方正方形形一组邻边相等一组邻边

2、相等对角线互相垂直对角线互相垂直合 作 探 究已知：如图已知：如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AC,DB,AC,DB是它的两条对角线是它的两条对角线,ACDB.ACDB.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是正方形是正方形.证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,AO=CO=AO=CO=BO=DO.BO=DO.ACDB,ACDB,AC AC与与BDBD互相垂直平分，互相垂直平分，AD=ABAD=AB=BC=CD=BC=CD,矩形矩形ABCDABCD是正方形是正方形.A AB BC CD DO O证一证：证一证：对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形.

3、合 作 探 究活动活动2 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形量量看是不是正方形.正方形正方形菱形菱形猜想猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？满足怎样条件的菱形是正方形？正方正方形形一个角是直角一个角是直角对角线相等对角线相等合 作 探 究已知：如图已知：如图,在菱形在菱形ABCDABCD中中,AC,DB,AC,DB是它的两条对角线是它的两条对角线,AC=DB.AC=DB.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是正方形是正方形.证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,AB=

4、BCAB=BC=CD=AD=CD=AD,ACDB,ACDB.AC=DB,AC=DB,AO=BO=AO=BO=CO=DO,CO=DO,AOD,AOD,AOB,AOB,COD,COD,BOCBOC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DAB=ABCDAB=ABC=BCD=A=BCD=AD DC=90C=90,菱形菱形ABCDABCD是正方形是正方形.A AB BC CD DO O证一证：证一证：对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.新 知 小 结正方形判定的几条途径：正方形判定的几条途径：正方正方形形正方正方形形+先判定菱形先判定菱形先判定矩形先判定矩形矩形条件矩形条件(二选一二选一)菱

5、形条件菱形条件(二选一二选一)一个直角，一个直角，一组邻边相等，一组邻边相等，对角线相等对角线相等对角线垂直对角线垂直平行四平行四边形边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角针 对 练 习在四边形在四边形ABCDABCD中，中，O O是对角线的交点，能判定是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（这个四边形是正方形的是（）A AAC=BDAC=BD，ABCDABCD，AB=CDAB=CDB BADBCADBC，A=CA=CC CAO=BOAO=BO=CO=DO=CO=DO，ACBDACBDD DAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，AB=BCAB=BCC CA

6、 AB BC CD DO O典 例 精 析例例1 1 在正方形在正方形ABCDABCD中，点中，点E E、F F、M M、N N分别在各边上，且分别在各边上，且AE=BFAE=BF=CM=DN=CM=DN四边形四边形EFMNEFMN是正方形吗是正方形吗?为什么为什么?解：解：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=BCAB=BC=CD=DA=CD=DA，A=B=A=B=C=D=90C=D=90.AE=BFAE=BF=CM=DN=CM=DN，AN=BE=AN=BE=CF=DM.CF=DM.分析：由已知可证分析：由已知可证AENAENBFEBFECMFCMFDNMDNM，得四边形，得

7、四边形EFMNEFMN是菱形，是菱形，再证有一个角是直角即可再证有一个角是直角即可.典 例 精 析在在AENAEN、BFEBFE、CMFCMF、DNMDNM中，中，AE=BF=AE=BF=CM=DN,CM=DN,A=B=A=B=C=D,C=D,AN=BE=AN=BE=CF=DM,CF=DM,AENAENBFEBFECMFCMFDNM,DNM,EN=FEEN=FE=MF=NM=MF=NM，ANE=BEF,ANE=BEF,四边形四边形EFMNEFMN是菱形，是菱形，NEF=180NEF=180（AEN+BEFAEN+BEF）=180 =180（AEN+ANEAEN+ANE）=180=1809090

8、=90=90.四边形四边形EFMNEFMN是正方形是正方形 .典 例 精 析证明：证明：DEAC DEAC，DFAB DFAB，DEC=DFC=90DEC=DFC=90.又又 C=90 C=90，四边形四边形EDFCEDFC是矩形是矩形.过点过点D D作作DGABDGAB，垂足为，垂足为G.G.ADAD是是CABCAB的平分线的平分线DEACDEAC，DGABDGAB，DE=DG.DE=DG.同理得同理得DG=DFDG=DF，ED=DFED=DF，矩形矩形EDFCEDFC是正方形是正方形.例例2 2 如图，在直角三角形中，如图，在直角三角形中，C=90C=90，A A、B B的平分线交的平分线

9、交于点于点D.DEACD.DEAC，DFAB.DFAB.求证求证:四边形四边形CEDFCEDF为正方形为正方形.A AB BC CD DE EF FG G典 例 精 析证明：证明：四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形,OB=OC,OB=OC,ABO=BCO=45ABO=BCO=45,BOC=90BOC=90=COH+BOH.COH+BOH.EGFH,EGFH,BOE+BOH=90BOE+BOH=90,COH=BOE,COH=BOE,CHO CHO BEO,BEO,OE=OH.OE=OH.同理可证：同理可证：OE=OE=OF=OG,OF=OG,B BA AC CD DO OE EH HG

10、 GF F例例3 3 如图，如图，EG,FHEG,FH过正方形过正方形ABCDABCD的对角线的交点的对角线的交点O,O,且且EGFH.EGFH.求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是正方形是正方形.典 例 精 析OE=OF=OG=OH.OE=OF=OG=OH.又又EGFH,EGFH,四边形四边形EFGHEFGH为菱形为菱形.EO+GO=EO+GO=FO+HO,FO+HO,即即EG=HF,EG=HF,菱形菱形EFGHEFGH为正方形为正方形.B BA AC CB BO OE EH HG GF F随 堂 检 测2.2.一个正方形的对角线长为一个正方形的对角线长为2cm2cm，则它的面积是（）

11、，则它的面积是（）A A.2cm2cm2 2 B B.4cm4cm2 2 C C.6cm6cm2 2 D D.8cm8cm2 2 A A1.1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A A对角线互相平分对角线互相平分 B B对角线互相垂直对角线互相垂直 C C对角线相等对角线相等 D D对角线互相垂直且相等对角线互相垂直且相等 A A随 堂 检 测3.3.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，ABCABC=BCD=CDA=BCD=CDA=90=90，请添加一个条件，请添加一个条件_，可，可得出该四边形是正方形得出该四边形是正方形AB=

12、BCAB=BC(答案不唯一答案不唯一)A AB BC CD DO O4.4.已知四边形已知四边形ABCDABCD是平行四边形，再从是平行四边形，再从AB=BCAB=BC，ABC=90ABC=90，AC=AC=BDBD，ACACBDBD四个条件中，选两四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形个作为补充条件后，使得四边形ABCDABCD是正方形，其中是正方形，其中错误的是错误的是_（只填写序号）（只填写序号）或或随 堂 检 测5.5.如图如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,BE,BE平分平分ABCABC,CE,CE平分平分DCB,BFDCB,BFCE,CE,CFCFBE.BE.求证：四边形

13、求证：四边形BECFBECF是正方形是正方形.F FA AB BE EC CD D证明证明:BFCE,CFBEBFCE,CFBE，四边形四边形BECFBECF是平行四边形是平行四边形.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,ABC=90ABC=90,DCB=90DCB=90,BEBE平分平分ABC,CEABC,CE平分平分 DCB,DCB,EBC=45EBC=45,ECB=45ECB=45,EBC=EBC=ECB.ECB.EB=EC,EB=EC,BECFBECF是菱形是菱形 .在在EBCEBC中中EBC=45EBC=45,ECB=45ECB=45,BEC=90BEC=90,菱形菱形BECFB

14、ECF是正方形是正方形.随 堂 检 测6.6.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中中,AB=BC,AB=BC,对角线对角线BDBD平分平分 ABC,ABC,P P是是BDBD上一点上一点,过点过点P P作作PMPM AD,AD,PNPN CD,CD,垂足分别为垂足分别为M M、N.N.(1)(1)求证：求证：ADB=ADB=CDBCDB;(2)(2)若若 ADC=90ADC=90,求证：四边形求证：四边形MPNDMPND是正方形是正方形.C CA AB BD DP PM MN N证明：（证明：（1 1）AB=BC,BDAB=BC,BD平分平分ABC.ABC.1=2.1=2.BD=BD

15、BD=BDABDABDCBD (SAS).CBD (SAS).ADB=CDB.ADB=CDB.1 12 2随 堂 检 测C CA AB BD DP PM MN N（2 2）ADC=90ADC=90;又又PMAD,PMAD,PNCD;PNCD;PMD=PND=90PMD=PND=90.四边形四边形NPMDNPMD是矩形是矩形.PMND PMND，PNPNMD.MD.ADB=CDB;ADB=CDB;ADB=CDB=45ADB=CDB=45.MPD=NPD=45MPD=NPD=45.DM=DM=PM,DN=PN.PM,DN=PN.矩形矩形NPMDNPMD是正方形是正方形.课 堂 总 结5 5种判种判定方法定方法三个角是直角三个角是直角四条边相等四条边相等一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直或对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直或对角线垂直一个角是直角一个角是直角或对角线相等或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结