19.3 第1课时 正方形的性质（课件）2024-2025学年度华东师大版数学八年级下册.pptx

1、19.3 第1课时 正方形的性质学 习 目 标探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别形之间的联系和区别.(.(重、难点重、难点)情 境 导 入观察下面图形观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在在生活中无处不在生活中无处不在.你还能举你还能举出其他的出其他的例子吗？例子吗？讲 授 新 课 正方形是我们早已熟悉的平面图形，它既是正方形是我们早已熟悉的平面图形，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，具有如下性质：中心对称图形，也是轴对称图形，具有如下性质：1.1.四条边都相等；四条边都相等

2、；2.2.四个角都是直角；四个角都是直角；3.3.对角线相等且互相垂直平分对角线相等且互相垂直平分.知识点知识点 正方形的正方形的性质性质正方形有几条正方形有几条对称轴？它的对对称轴？它的对称中心称中心在哪里？在哪里？你能证明这你能证明这些结论些结论吗？吗？因此，正方形可以看成：因此，正方形可以看成：有一个角是直角的菱形；有一个角是直角的菱形；有一组有一组邻边相等的矩形邻边相等的矩形.讲 授 新 课已知：如图已知：如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.求证：正方形求证：正方形ABCDABCD四边相等四边相等,四个角都是直角四个角都是直角.A AB BC CD D证明：证明：四边形

3、四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，A=90A=90,AB=AC AB=AC（正方形的定义）（正方形的定义）.又又正方形是平行四边形正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形正方形是菱形(菱形的定义菱形的定义).).A=B=A=B=C=D=90C=D=90,AB=BC=AB=BC=CD=AD.CD=AD.讲 授 新 课已知：如图已知：如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O.求证：求证：AO=BO=AO=BO=CO=DO,CO=DO,ACBD.ACBD.A AB BC CD DO

4、O证明：证明：正方形正方形ABCDABCD是矩形是矩形,AO=BO=AO=BO=CO=DO.CO=DO.正方形正方形ABCDABCD是菱形是菱形.ACBD.ACBD.新 知 小 结矩形矩形菱形菱形正正方方形形平行四边形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形也是特殊的矩形,也是也是特殊的菱形特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质所以矩形、菱形有的性质,正方形都有正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：归纳归纳正方形的正方形的性质：性质：1.1.正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角,四条边相等四条边相等.

5、2.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分正方形的对角线相等且互相垂直平分.讲 授 新 课 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：A AB BC CD D典 例 精 析例例1 1 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD.ABCD.求求ABDABD、DACDAC、DOCDOC的大小的大小.ADCBO典 例

6、精 析?D?A?B?C?E例例2 2 如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，BECBEC是等边三角形，是等边三角形，求证：求证：EADEADEDAEDA1515 .证明：证明：BECBEC是等边三角形，是等边三角形，BE=BE=CE=BC,CE=BC,EBC=ECB=60EBC=ECB=60，四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=AB=BC=CD,BC=CD,ABC=DCB=90ABC=DCB=90，AB=BE=AB=BE=CE=CD,CE=CD,ABE=ABE=DCE=30DCE=30，ABEABE，DCEDCE是等腰三角形，是等腰三角形，BAE=BAE=BEA

7、=BEA=CDE=CDE=CED=75CED=75，EAD=EAD=EDA=90EDA=90-75-75=15=15.典 例 精 析【变式题】【变式题】四边形四边形ABCDABCD是正方形，以正方形是正方形，以正方形ABCDABCD的一边作等边的一边作等边ADEADE，求，求BECBEC的大小的大小解：当等边解：当等边ADEADE在正方形在正方形ABCDABCD外部时，如图外部时，如图，ABABAEAE，BAEBAE90906060150150.AEBAEB1515.同理可得同理可得DECDEC1515.BECBEC6060151515153030；典 例 精 析当等边当等边ADEADE在正方

8、形在正方形ABCDABCD内部时，如图内部时，如图，ABABAEAE，BAEBAE909060603030，AEBAEB7575.同理可得同理可得DECDEC7575.BECBEC360360757575756060150150.综上所述，综上所述，BECBEC的大小为的大小为3030或或150150.易错提醒：易错提醒：因为等边因为等边ADEADE与正方形与正方形ABCDABCD有一条公共有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边边，所以边相等本题分两种情况：等边ADEADE在正方在正方形的外部或在正方形的内部形的外部或在正方形的内部典 例 精 析例例3 3 如图，在正方形如图，在正方形A

9、BCDABCD中，中，P P为为BDBD上一点，上一点，PEBCPEBC于于E E，PFDCPFDC于于F.F.试说明：试说明：AP=EF.AP=EF.A AB BC CD DP PE EF F解解:连接连接PCPC，AC.AC.又又PEBC PEBC，PFDC,PFDC,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,FCE=90FCE=90,AC,AC垂直平分垂直平分BD,BD,四边形四边形PECFPECF是矩形是矩形,PC=EF.PC=EF.AP=PC.AP=PC.AP=EF.AP=EF.新 知 小 结 归纳归纳 在正方形的条件下证明两条线段相等：通在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连

10、接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.随 堂 检 测1.1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是()()A.A.四个角相等四个角相等 B.B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.C.对角互补对角互补 D.D.对角线相等对角线相等2.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.A.四条边相等四条边相等 B.B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.C.对角线平分一组对角对角线平分一组对角 D.D

11、.对角线相等对角线相等B BD D随 堂 检 测3 3在正方形在正方形ABCDABCD中中,ADB=,ADB=,DAC=DAC=,BOC=BOC=.4.4.在正方形在正方形ABCDABCD中，中，E E是对角线是对角线ACAC上一点，且上一点，且AE=ABAE=AB，则，则EBCEBC的度数是的度数是 .A AD DB BC CO OA AD DB BC CO OE E4545909022.522.5第第3 3题图题图第第4 4题图题图4545随 堂 检 测解：解：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACBDACBD，OAOAODOD2.2.在在RtRtAODAOD中，由勾股定理，

12、得中，由勾股定理，得正方形的周长为正方形的周长为4AD4AD ，面积为面积为ADAD2 28.8.222 2,ADAOOD8 25.5.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是正方形，对角线是正方形，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，AOAO2 2，求正方形的周长与面积求正方形的周长与面积随 堂 检 测解：解：四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BB9090，ABABBCBC1cm1cm，ACBACB4545.EFACEFAC，EFAEFAEFCEFC9090.又又ECFECF4545，EFCEFC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EFEFFC.FC.BAEBA

13、EFAEFAE，BBEFAEFA9090，AEAEAEAE，ABEABEAFEAFE，ABABAFAF1cm1cm，BEBEEF.FCEF.FCBE.BE.在在RtRtABCABC中，中，FCFCACACAFAF(1)cm1)cm，BEBE(1)cm1)cm222cm,ACABBC226.6.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为1cm1cm，ACAC为对角线，为对角线，AEAE平分平分BACBAC，EFACEFAC，求，求BEBE的长的长课 堂 总 结正方正方形的形的性质性质四个角都是直角四个角都是直角四条边都相等四条边都相等对角线相等且互相垂直平分对角线相等且互相垂直平分