《画法几何与机械制图》课件第2章 .ppt

1、2.12.1 投影法基础投影法基础 2.2 2.2 点的投影点的投影 2.3 2.3 直线的投影直线的投影 2.5 2.5 直线与平面、平面与平面之间的相对位置直线与平面、平面与平面之间的相对位置2.42.4 平面的投影平面的投影 退出退出 投射线投射线BACbca同理，可作出点同理，可作出点B、C在平面在平面P上的投上的投影影b、c，连接，连接abc，abc则为则为ABC在投影面在投影面P上的投影。上的投影。S为不在为不在P面上的一个点，称为面上的一个点，称为投射中心投射中心P投影面投影面平面平面P称为称为投影面投影面空间空间ABC上任一点上任一点A与投影中心与投影中心S的连的连线线SA称为

2、称为投射线投射线；交点交点a称为空间称为空间点点A在投影面在投影面P上的上的投影投影。这种使空间形体在平面这种使空间形体在平面上产生投影的方法称为上产生投影的方法称为投影法投影法。投射中心投射中心S工程中常用的投影法为工程中常用的投影法为中心投影法中心投影法和和平行投影法平行投影法投影的基本概念：投影的基本概念：2.1 2.1 投影法基础投影法基础 投射线投射线(投射方向投射方向)BACbcaP投射中心投射中心S 投射线从投射中心出发（即投射线相交于一点）的投影法，投射线从投射中心出发（即投射线相交于一点）的投影法，称为称为中心投影法。中心投影法。中心投影法主要用于绘制富有真实感的立体图即透视

3、图，中心投影法主要用于绘制富有真实感的立体图即透视图，在建筑制图中用这种方法绘制透视图。在建筑制图中用这种方法绘制透视图。2.1.1 中心投影法2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 若将投影中心若将投影中心S S按指定的方向移到无穷远处，则所有的投射线可看按指定的方向移到无穷远处，则所有的投射线可看作互相平行的，这种投射线互相平行的投影法称为作互相平行的，这种投射线互相平行的投影法称为平行投影法。平行投影法。(b)(b)正投影法：投射线垂直于投影面，称为正投影法：投射线垂直于投影面，称为正投影法正投影法(a)(a)斜投影法斜投影法投射线投射线投射方向投射方向P PbACBacP P投射

4、线投射线投射方向投射方向ABCbac(a)(a)斜投影法：斜投影法：投射线倾斜于投影面，称为投射线倾斜于投影面，称为斜投影法斜投影法平行投影法平行投影法工程图样主要是用工程图样主要是用正投影，正投影，简称简称投影投影。(b)(b)正投影法正投影法用用斜投影法斜投影法得到的投影得到的投影斜投影（画斜轴测图）斜投影（画斜轴测图）用用正投影法正投影法得到的投影得到的投影正投影正投影P2.2 2.2 点的投影点的投影由此可得到一个结论：由此可得到一个结论：过过A作投影面作投影面P的垂线，得到垂足的垂线，得到垂足a即为点即为点A在投影面在投影面P上的正投影。上的正投影。过点过点A只能作一条只能作一条P平

5、面的平面的垂线，所以垂线，所以A点在投影面点在投影面P上上的投影的投影a是唯一的。是唯一的。一般情况下，点的一个投影不能确定空间点的位置。一般情况下，点的一个投影不能确定空间点的位置。CABa（b、c）但但a却不能唯一确定空间点却不能唯一确定空间点A的的位置。因为过位置。因为过A所作的所作的P平面的垂平面的垂线上所有各点的投影都重合在线上所有各点的投影都重合在a上。上。2.2.1 投影面体系 图图a是由两个互相垂直的投影面构成的两投影面体系，可是由两个互相垂直的投影面构成的两投影面体系，可以反映空间点的三个坐标，即可用两投影面体系来确定空间以反映空间点的三个坐标，即可用两投影面体系来确定空间立

6、体的位置。立体的位置。V正立投影面（简称正面）正立投影面（简称正面）H水平投影面（简称水平面）水平投影面（简称水平面）V、H交线交线OX轴轴（a）四个分角）四个分角（b）第一分角）第一分角u 两投影面体系图图b b是第一分角是第一分角 虽然在两投影面体系中已经能够确定空间点的位置，但是虽然在两投影面体系中已经能够确定空间点的位置，但是对于立体来说，为了更清晰地表达其形状结构，也常将立体对于立体来说，为了更清晰地表达其形状结构，也常将立体放置在三个互相垂直的投影面体系中，画出立体的三面投影。放置在三个互相垂直的投影面体系中，画出立体的三面投影。（）八个分角的划分八个分角的划分 三个相互垂直的投影

7、三个相互垂直的投影面，将空间划分成八个面，将空间划分成八个分角，我国采用的是第分角，我国采用的是第一分角投影，有些国家一分角投影，有些国家采用的第三角投影。采用的第三角投影。u 三投影面体系 第一分角的三个投影面，也可以看作在原有两投影第一分角的三个投影面，也可以看作在原有两投影面的基础上，再增加一个与它们垂直的投影面构成的，面的基础上，再增加一个与它们垂直的投影面构成的，称为三投影面体系。称为三投影面体系。WHVV正立投影面（简称正面）正立投影面（简称正面）H水平投影面（简称水平面）水平投影面（简称水平面）W侧立投影面（简称侧面）侧立投影面（简称侧面）OYZXV、H、W的交点的交点原点原点O

8、V、H交线交线OX轴轴V、W交线交线OZ轴轴H、W交线交线OY轴轴AxAzAaayaayAazax2.2.3 2.2.3 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影aA点的正面投影（点的正面投影（V面投影）面投影）aA点的水平投影（点的水平投影（H面投影）面投影）a”A点的侧面投影（点的侧面投影（W面投影）面投影）xAA点的点的x坐标坐标yAA点到点到y坐标坐标zAA点的点的z坐标坐标HWVOYZX（立体图）实际作图时，将三个投影面展开在一个面上。实际作图时，将三个投影面展开在一个面上。1.1.点的投影与坐标的关系如下：点的投影与坐标的关系如下：A点到点到W面的距离面的距离 Aa”A点到

9、点到V面的距离面的距离 AaA点到点到H面的距离面的距离 Aa=xA（点的（点的X坐标）坐标）=yA（点的（点的Y坐标）坐标）=zA（点的（点的Z坐标）坐标）(x,y,z)（注（注2.2.22.2.2节节“点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影”穿插在本节中）穿插在本节中）aXzaaYWa aY YH HaaayAyAxAzA V面保持不动，沿面保持不动，沿OY轴将轴将H面和面和W面分开，面分开，H面绕面绕OX轴向下旋转轴向下旋转90，W面绕面绕OZ轴向后旋转轴向后旋转90，摊平为，摊平为同一平面。同一平面。投影面展开投影面展开推论：推论：过过a的水平线与过的水平线与过a”的垂线必的

10、垂线必 相交于过相交于过O点的点的45的斜线上。的斜线上。YHXHY YZVWO OW1）aaO OX（同反映（同反映X坐标）；坐标）；2）aaO OZ（同反映（同反映Z坐标）；坐标）；3）aaX=O OaYH=O OaYW=aaZ（同反映（同反映Y 坐标）坐标）点的投影规律：点的投影规律：45投影与投影面大小无关，投影与投影面大小无关，画画 投影图时可不画图框投影图时可不画图框2.2.点的投影规律点的投影规律A(x,y,z)xAHzAaayWaaVyAazaxOZXYYWXYHZaa”a45OA(10,12,13)例例1 如图所示，已知点如图所示，已知点A的的两面投影两面投影a和和a，求，求

11、a。XOZYHYWaaaaaa 例例2 已知点已知点A距离距离 H、V、W分分别为别为 13、12、10，作出其三面投，作出其三面投影影a、a、a。YWXZYHO2.2.4 2.2.4 投影面和投影轴上的点投影面和投影轴上的点(a)(a)立体图cCcc”VHWZXYBbbb”DddOd”(b)(b)投影图cc”OXcbbb”ddd”YwYHZ2.2.5 2.2.5 两点的相对位置两点的相对位置YHYWXZOaa”abb”bZXHWVYObbBb”aaAa”为了比较两点的相对位置，我们作如下约定：为了比较两点的相对位置，我们作如下约定：OX左右方向左右方向OY前后方向前后方向OZ上下方向上下方向

12、坐标差：坐标差：左右方向：左右方向：xA xB上下方向：上下方向：zA zB前后方向：前后方向：yA yB 若已知两点的相对位置及其中若已知两点的相对位置及其中一点的投影即可作出另一点的投影。一点的投影即可作出另一点的投影。B在在A之右、之后、之下之右、之后、之下或者或者 A在在B之左、之前、之上之左、之前、之上1085bb”b例例3 已知点已知点A的三面投影的三面投影a、a、a”，B点在点在A之左之左10、之上之上8、之前、之前5；画出；画出B点的三面投影。点的三面投影。aa”aXYWYHZOXVZHYWo2.2.6 2.2.6 重影点重影点aaAa”A、C两点处于两点处于正前正后正前正后的

13、位置，的位置，正面投影重合为一点正面投影重合为一点对正面的重影点对正面的重影点（X、Y方向的距离差为零，即方向的距离差为零，即XAXc0；YAYc0）两点处于两点处于正上正下正上正下的位置，水平的位置，水平投影重合为一点投影重合为一点 对水平面的重影点对水平面的重影点（Y、Z方向的距离差为零，即方向的距离差为零，即YAYc0；ZAZc0）两点处于两点处于正左正右正左正右的位置，侧的位置，侧面投影重合为一点面投影重合为一点 对侧面的重影点对侧面的重影点 当两个点对某一投影面的当两个点对某一投影面的投影重合时，称这两个点为投影重合时，称这两个点为对对这一投影面的重影点。这一投影面的重影点。（X、Z

14、方向的距离差为零，即方向的距离差为零，即XAXc0；ZAZc0）Ccc”(c)两点在同一投影面上的投影重合，就产生了投影的可见性的问题。两点在同一投影面上的投影重合，就产生了投影的可见性的问题。根据正投影的特性可知：根据正投影的特性可知：即对即对正面正面的重影点的重影点前遮后前遮后对对水平面水平面的重影点的重影点上遮下上遮下对对侧面侧面的重影点的重影点左遮右左遮右a(c)acc”a”oYHZXYW 在投影重合的正面，被遮住的在投影重合的正面，被遮住的点的正面投影点的正面投影c c写在写在a a之后，并加之后，并加上括号，写成上括号，写成a a(c(c)；不强调可见；不强调可见性时，也可不加括号

15、写成性时，也可不加括号写成a ac c。对正面的重影点应是前面的点遮后面的点：对正面的重影点应是前面的点遮后面的点：前前后后前前后后XVZHYWoaaAa”Ccc”(c)c”()5 10ccbb”例例4 已知点已知点A与点与点B为对为对H面的重影点，面的重影点，B距距A为为5,求求b、b”；已知点已知点C与点与点A为对为对W面的重影点，面的重影点，C 在在A之左之左10，求，求C的三面投影的三面投影c、c、c”。Xb(a)oYHZYWaa”2.3 2.3 直线的投影直线的投影当直线当直线投影面时投影面时投影反映投影反映实长实长（真实性）（真实性）当直线当直线投影面时投影面时投影为投影为一点一点

16、（积聚性）（积聚性）当直线当直线投影面时投影面时投影为投影为缩短的直线缩短的直线（类似性）（类似性）1直线对单一投影面的投影特性直线对单一投影面的投影特性 2.3.1 2.3.1 直线的分类及投影特性直线的分类及投影特性 直线对三个投影面直线对三个投影面H、V、W的倾角（夹角）分别用的倾角（夹角）分别用、来表示来表示（1 1）投影面垂直线）投影面垂直线 在三投影面体系中在三投影面体系中，直线按照对投影面的相对位置，直线按照对投影面的相对位置分为以下三种分为以下三种:（2 2）投影面平行线）投影面平行线（3 3）一般位置直线）一般位置直线下面分别介绍它们的定义和投影特性下面分别介绍它们的定义和投

17、影特性2 2直线在三投影面体系中的分类及投影特性直线在三投影面体系中的分类及投影特性1）投影面垂直线）投影面垂直线侧垂线侧垂线（W 面垂直线）：面垂直线）：W，H，V。正垂线正垂线（V 面垂直线）：面垂直线）：V，H，W。铅垂线铅垂线（H 面垂直线）：面垂直线）：H，V，W。当直线当直线投影面时，倾角为投影面时，倾角为0，当直线，当直线投影面时，倾角为投影面时，倾角为90。正垂线正垂线V面面（H和和W面）面）铅垂线铅垂线H面面（V和和W）侧垂线侧垂线W面面（H和和V面）面）a(b)b”a”baABVHYWXoZYZVHWXoaba”b”ABa(b)ababa”(b”)ABVHYWXoZ直线按照

18、对投影面的相对位置可分为以下三种直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种:投影面垂直线的投影特性1 1、在直线所垂直的投影面上，其投影积聚为一点；、在直线所垂直的投影面上，其投影积聚为一点；2 2、其余两面投影平行于相应的轴线，反映直线的实长。、其余两面投影平行于相应的轴线，反映直线的实长。正垂线正垂线V V面（面（H H和和W W面）面）铅垂线铅垂线H H面（面（V V和和W W）侧垂线侧垂线W W面（面（H H和和V V面）面）投影特性投影特性空空间间情情况况名称名称投投影影图图2）投影面平行线）投影面平行线正平线正平线（V面平行线）面平行线）：水平线水平线（H面平行线）面平行线）：侧平线

19、侧平线（W面平行线）：面平行线）：V面，面，H面，面，W面。真实反映面。真实反映、。H面，面，V面，面，W面。真实反映面。真实反映、。W面，面，H面，面，V面。真实反映面。真实反映、。正平线正平线V面面 H和和W水平线水平线H面面 V和和W侧平线侧平线W面面 H和和Vb”a”ABabbaabb”a”ABababa”b”ab AB VZHYWXoVZHYWXoVHWoXZ直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种:1）投影面垂直线）投影面垂直线投影特性投影特性1 1、在直线所平行的投影面上，其投影反映实长；、在直线所平行的投影面上，其投影反映实长；2 2、其

20、余两面投影为缩短的直线，且平行于相应的轴线。、其余两面投影为缩短的直线，且平行于相应的轴线。水平线水平线H H面（面（V V和和W W面）面）投影面平行线的投影特性空空间间情情况况名称名称正平线正平线V V面（面（H H和和W W）侧平线侧平线W W面（面（H H和和V V面）面）投投影影图图例例1 已知已知A点的三面投影，作正平线点的三面投影，作正平线AB，B点在点在A 点之左、之上点之左、之上,30，AB实长为实长为25。30bb”bXoYHZYWa”aa253）一般位置直线）一般位置直线：H、V、W面面(b)投影图投影图(a)空间情况空间情况 一般位置直线的投影一般位置直线的投影投影特性

21、：投影特性：三面投影均倾斜于投影轴，且为三面投影均倾斜于投影轴，且为缩短的直线缩短的直线(类似性类似性)，不反映直线对投影面，不反映直线对投影面倾角的真实大小。倾角的真实大小。baabb”a”ABVHYWXoZbab”a”abXoYHZYW2）投影面平行线）投影面平行线直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种:1）投影面垂直线）投影面垂直线 根据直线的投影，建立投影、实长和倾角之间的几何关系也可以求出根据直线的投影，建立投影、实长和倾角之间的几何关系也可以求出一般位置直线的实长和对投影面的真实倾角，下面讨论用直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影面的真

22、实倾角，下面讨论用直角三角形法求一般位置直线的实长及对投影面的倾角。一般位置直线的实长及对投影面的倾角。直角三角形法原理图直角三角形法原理图b0ZBZA实长实长水平投影长水平投影长ZW面投影长面投影长X实长实长正面投影长正面投影长Y实长实长 直角三角形法中直角三角形法中四个要素关系示意图四个要素关系示意图ZaHXVbabAB在在投影长、坐标差、倾角、实长投影长、坐标差、倾角、实长四要素四要素中，只要知道其中的两个，便可用直角中，只要知道其中的两个，便可用直角三角形法求出另外两个。三角形法求出另外两个。2.3.2 2.3.2 直角三角形法直角三角形法实长实长Ab0=ab返回返回实长实长Z实长实长

23、水平投影长水平投影长ZZ例例2 求直线求直线AB的实长及对的实长及对H面的倾角面的倾角。用直角三角形法求线段实长及对投影面倾角用直角三角形法求线段实长及对投影面倾角baabXoab实长实长解法一解法一在水平投影上以在水平投影上以ab为底边作直为底边作直角三角形。角三角形。解法二解法二在正面投影上以在正面投影上以Z为直角边作为直角边作直角三角形。直角三角形。实长实长Y正面投影长正面投影长Y实长实长例例3 求直线求直线AB的实长及对的实长及对V面的倾角面的倾角。解法一解法一在正面投影上以在正面投影上以ab为底边作为底边作直角三角形。直角三角形。解法二解法二在水平投影上以在水平投影上以Y为直角边作为

24、直角边作直角三角形。直角三角形。实长实长YbaabXo 用直角三角形法求线段实长及对投影面倾角用直角三角形法求线段实长及对投影面倾角abbab”a”abABbab”a”ab2.3.3 2.3.3 直线上点的投影直线上点的投影（1）如果点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上。）如果点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上。k”kKkk”kkoXYWZYHoXYZVH空间情况空间情况投影图投影图（2）不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比投影前后保持不变）不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比投影前后保持不变 （定比定理）。（定比定理）。bkkakbakbkkaKBAK=即：即：例例44 如

25、图所示，已知直线如图所示，已知直线ABAB的两面投影，试在直线上的两面投影，试在直线上 求出一点求出一点C C，使，使AC:CB=2:3AC:CB=2:3。AC=2 CB=3bbaaXoccCAB2312345作图步骤：作图步骤：（a）由）由a（或（或b）任作一直线）任作一直线aB0；（b）在）在aB0 上以适当长度取上以适当长度取5等分，等分，得等分点得等分点1、2、3、4、5；（c）连）连b5，自，自2作直线平行于作直线平行于5b，此直线与此直线与ab的交点即的交点即c点；点；（d）由）由c求得求得c，c及及c即为所求。即为所求。B0分析：分析：baab例例5 如图所示，试判断点如图所示，

26、试判断点K是否在直线是否在直线AB上。上。解法一：用定比定理解法一：用定比定理解法二：利用第三投影解法二：利用第三投影k”bA0=baK0kkA0b”a”bK0=bkXoYHZYWoXababkk结论：结论：K点不在点不在AB上上2.3.4 2.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的的相对位置有三种情况：空间两直线的的相对位置有三种情况：平行平行相交相交交叉交叉:既不平行，也不相交既不平行，也不相交(b)投影图投影图 ababcdcdXo当空间两直线平行时，它们的同面投影分别平行。当空间两直线平行时，它们的同面投影分别平行。1 1平行两直线平行两直线ABCD，则则abcd、abc

27、d、abcd。平行两直线的投影特点平行两直线的投影特点(a)立体图立体图VHXoabcdABCDbacdcdabcdOXb 例例6 已知已知AB、CD为相交两直线，求为相交两直线，求AB的正面投影。的正面投影。分析：分析：（4）过）过a作作OX轴的垂线与轴的垂线与bk的延长线的延长线 相交得到相交得到a，连接，连接ab即为所求。即为所求。根据相交两直线的投影特点，可求出根据相交两直线的投影特点，可求出交点交点K的正面投影的正面投影k，a必在必在bk的延长的延长线上，据此求出线上，据此求出a，得到，得到ab。作图步骤：作图步骤：（1）ab、cd的交点即为的交点即为K点的水平投影点的水平投影k；（

28、2）过）过k作作OX轴的垂线，在轴的垂线，在cd上求出上求出k；（3）连接）连接bk并延长；并延长；akk 若空间两直线相交，同面投影均相交，且交点的投影一定符合若空间两直线相交，同面投影均相交，且交点的投影一定符合点的投影规律。点的投影规律。2 2相交二直线相交二直线 相交两直线相交的投影特点相交两直线相交的投影特点（a）立体图）立体图（b）投影图）投影图ababcdZYHYWXod”c”b”a”k”bdcaHABCDKkcdkk、两点两点 对对正面正面的重影点的重影点baAB、两点两点 对对水平面水平面的重影点的重影点3 3交叉两直线交叉两直线空间既不平行也不相交的两直线，称为交叉两直线。

29、空间既不平行也不相交的两直线，称为交叉两直线。交叉两直线在空中不存在交点，但在同面投影图上可能出现相交的情况交叉两直线在空中不存在交点，但在同面投影图上可能出现相交的情况，此时投影图上的，此时投影图上的“交点交点”是两直线上点的同面投影重合产生的，即是两直线上点的同面投影重合产生的，即重影重影点点的投影。的投影。dcCDH1(2)cdcdc”d”ababa”b”1”122”ZXYHYWO(4)35”（6”）1(2)、两点两点 对对侧面侧面的重影点的重影点交叉两直线的三面投影都相交，交叉两直线的三面投影都相交，但各但各同面投影交点的关系不符合点的投影同面投影交点的关系不符合点的投影规律，均为重影

30、点的投影。此例中有规律，均为重影点的投影。此例中有三对重影点。三对重影点。有时，交叉两直线会出现两组同面投影平行，另一组相交，有时，交叉两直线会出现两组同面投影平行，另一组相交，有一对重影点的情况。有一对重影点的情况。还会出现两组同面投影相交、另一组平行，有两对重影点的情况。还会出现两组同面投影相交、另一组平行，有两对重影点的情况。YWXoYHZbab”aba”cdd”c”cdXYHZYWob”baaba”cdd”c”cd一对重影点一对重影点两对重影点两对重影点cdbaabdcd”c”b”a”45XoYHZYW例例7 判断判断图图中的交叉二直线有几对重影点中的交叉二直线有几对重影点，并作出这几

31、并作出这几 对重影点的三面投影。对重影点的三面投影。122”(4)31(2)1”33”4”656(6”)5”、两点两点 对对正面正面的重影点的重影点、两点两点 对对水平面水平面的重影点的重影点、两点两点 对对侧面侧面的重影点的重影点例例8 作直线作直线AB与与CD相交，交点相交，交点B距离距离V面为面为20mm。2020bDOBOcDOcdcBOcb（a）因因CD为正垂线，为正垂线，b的正面投影与的正面投影与cd重合；距重合；距OX轴为轴为20 的直线与的直线与cd的交点为的交点为b点。点。（a）dcaac（d）oXaacdcdoX（b）（b）距距OX轴轴20mm的直线与的直线与cd的交点是的

32、交点是b，b可由定比分点求得。可由定比分点求得。分析：分析：bbbXoccdedeffhgh(g)例例9 AB 与与CD平行，且分别与直线平行，且分别与直线EF、GH相交于相交于A、B，求出直线求出直线AB的两面投影。的两面投影。分析：分析：（3）由）由a求出求出a，过，过a作直线作直线cd，直线与，直线与hg的交点即为的交点即为b。abab（1）AB与与GH相交，交点相交，交点B既在既在AB上也在上也在GH上，而上，而GH为铅垂线，所以为铅垂线，所以B点的水平投点的水平投影影b重合在重合在h(g)上；上；（2）又因）又因ABCD，据平行，据平行二直线的投影特性，可过二直线的投影特性，可过b作

33、作直线直线cd，得到，得到a；直角投影定理直角投影定理投影图投影图 当两直线相交成直角时，如果两直线中有一条直线平行于某一投影当两直线相交成直角时，如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角，这种投影特点，通面，则两直线在该投影面上投影的夹角仍为直角，这种投影特点，通常称为常称为直角投影定理直角投影定理。现以垂直相交直线之一为现以垂直相交直线之一为H面平行线加以证明。面平行线加以证明。Xcababc 已知：已知：ABBC，ABH，证明：证明：abbc。ABBbcC平面，平面，则则abbc。证明：证明：ABBC、又又ABBb，立体图立体图AacBbHC2.3.

34、5 2.3.5 直角投影定理直角投影定理(两直线相交成直角的投影两直线相交成直角的投影)例例10 过过C作作AB的垂线的垂线CD，D为垂足，并求垂线的实长。为垂足，并求垂线的实长。DodZ实长实长XabbaccdDo=Z分析：分析：AB为水平线，为水平线，CDAB时，时，CD的水的水平投影平投影cd应垂直于应垂直于AB的水平的水平投影投影ab（直角投影定理），这是解决问题的（直角投影定理），这是解决问题的关键。关键。作图步骤：作图步骤：（1）过）过c作作ab的垂线得到垂足的垂线得到垂足 D的水平投影的水平投影d，cd为垂为垂 线线CD的水平投影；的水平投影；（2）由）由d求得求得d，连接，连接

35、cd 得到垂线得到垂线CD的正面投影；的正面投影；（3）以）以dc为底边，用直角三角为底边，用直角三角 形法求得垂线形法求得垂线CD的实长。的实长。d2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法通常可以用确定平面的几何元素的投影来表示平面通常可以用确定平面的几何元素的投影来表示平面用几何元素表示平面用几何元素表示平面不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点XobabccaX相交两直线相交两直线ccbaaboc平行两直线平行两直线dda”bacbXo任意平面图形任意平面图形bbcaacXo 直线与直直线与直 线外一点线外一点aabbccXo2.4 2.4 平面的投影平面的投影返回返回当平面当

36、平面投影面时投影面时投影反映投影反映实形实形（真实性）（真实性）当平面当平面投影面时投影面时投影为投影为一直线一直线（积聚性）（积聚性）当平面当平面投影面时投影面时投影为投影为缩小的类似形缩小的类似形（类似性）（类似性）对单一投影面而言对单一投影面而言2.4.2 2.4.2 平面的分类和投影特性平面的分类和投影特性平面的投影是由平面对投影面的相对位置所决定的平面的投影是由平面对投影面的相对位置所决定的1 1平面对单一投影面的投影特性平面对单一投影面的投影特性平面对三个投影面平面对三个投影面H、V、W的倾角分别用的倾角分别用、来表示来表示（1 1）投影面平行面）投影面平行面平面按照对投影面的相对

37、位置可分为以下三种平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种:（2 2）投影面垂直面）投影面垂直面（3 3）一般位置直平面）一般位置直平面下面分别介绍它们的定义和投影特性下面分别介绍它们的定义和投影特性2 2平面在三投影面体系中的分类及投影特性平面在三投影面体系中的分类及投影特性1）投影面平行面）投影面平行面正平面正平面（V面平行面）面平行面）：平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种:水平面水平面（H面平行面）面平行面）：侧平面侧平面（W面平行面）：面平行面）：V面，面，H面，面，W面。面。H面，面，V面，面，W面。面。W面，面，H面，面，V面。面。水平

38、面水平面H面面V面、面、W面面侧平面侧平面W H面、面、V面面正平面正平面V面面H面、面、W面面ppp”VHWXYZopp”pPPVHWXYZoVHWXYZop”pPp投影特性投影特性1 1、在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；、在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；2 2、其余两面投影积聚为直线，且平行于相应的轴线。、其余两面投影积聚为直线，且平行于相应的轴线。水平面水平面H H面（面（V V和和W W面）面）投影面平行面的投影特性空空间间情情况况名称名称正平面正平面V V面（面（H H和和W W）侧平面侧平面W W面（面（H H和和V V面）面）投投影影图图2）投影面垂直面）投影面垂

39、直面侧垂面侧垂面（W W 面垂直面）：面垂直面）：W W面（面（H H、V V，反映反映、）正垂面正垂面（V V 面垂直面）：面垂直面）：V V面（面（H H、W W，反映，反映、）铅垂面铅垂面（H H 面垂直面）：面垂直面）：H H面（面（V V、W W，反映，反映、）当平面当平面投影面时，倾角为投影面时，倾角为0当平面当平面投影面时，倾角为投影面时，倾角为90。正垂面正垂面V面面 H和和W面面 反映反映YZVHWXoVHYWXoZYZVHWXoppp”PppPp”pp”pP侧垂面侧垂面W面面 H和和V面面 反映反映铅垂面铅垂面H面面 V和和W面面 反映反映、分别表示平面对投影面分别表示平面

40、对投影面H、V、W的倾角。的倾角。1）投影面平行面）投影面平行面平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种:投影面垂直面的投影特点1 1、在平面所垂直的投影面上，该平面的投影积聚为一直线；、在平面所垂直的投影面上，该平面的投影积聚为一直线；2 2、其余两面投影为缩小的类似形。、其余两面投影为缩小的类似形。正垂面正垂面铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面投影特性投影特性空空间间情情况况名称名称投投影影图图3）一般位置平面）一般位置平面：H、V、W面面投影特性：投影特性：三面投影均为小于实形的类似形。三面投影均为小于实形的类似形。ABCbacabcVHYWXoZb”a”c

41、”abcabcb”c”a”(b)投影图投影图(a)空间情况空间情况 一般位置平面的投影XYHYWZo1）投影面平行面）投影面平行面2）投影面垂直面）投影面垂直面平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种平面按照对投影面的相对位置可分为以下三种:2.4.3 2.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线（1）点在平面上，必在平面的一条直线上。）点在平面上，必在平面的一条直线上。（2）直线在平面上，则该直线必定通过平面上的两个点；）直线在平面上，则该直线必定通过平面上的两个点；或通过一个点且平行于平面内一直线。或通过一个点且平行于平面内一直线。根据平面几何知识可知，点和直线在平面上的几何条件是：根据平

42、面几何知识可知，点和直线在平面上的几何条件是：例例1 判断点判断点D是否在是否在ABC上。上。例例2 作出三角形上的直线作出三角形上的直线EF的正面投影。的正面投影。ccbaab11ddoXoX1122ababcceffeD点不在点不在ABC上上 由已知条件可知，求出由已知条件可知，求出C的水平投的水平投影后连线即可。影后连线即可。因因C是四边形是四边形ABCD上的一点，因上的一点，因此可将四边形所表示的平面，转换为用此可将四边形所表示的平面，转换为用两条相交直线两条相交直线AC、BD所表示的平面，所表示的平面，而而C点必在点必在A与两直线的交点的连线上，与两直线的交点的连线上，从而求得从而求

43、得C点的水平投影。点的水平投影。分析：分析：（4）连接）连接dc、cb得到四边形的水平投影。得到四边形的水平投影。作图步骤：作图步骤：（1）连接）连接ac、bd得交点得交点k；（2）连接）连接bd，由，由k在在bd上求得其水平投影上求得其水平投影k；（3）连接）连接ak并延长，由并延长，由c在在ak的延长线的延长线 上求得其水平投影上求得其水平投影c；ckk 例例3 已知平面四边形已知平面四边形ABCD的正面投影和的正面投影和AB、AD边的边的 水平投影，试完成该四边形的水平投影。水平投影，试完成该四边形的水平投影。dcbadabXOVHWXYZo(a)(a)立体图立体图PV平面主要用几何元素

44、表平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示。示，也可以用迹线表示。2.4.4 2.4.4 平面的平面的迹线迹线表示法表示法迹线迹线平面与投影面的交线平面与投影面的交线平面平面P与与H面交线面交线水平迹线水平迹线,用用PH表示表示平面平面P与与W面交线面交线侧面迹线侧面迹线,用用PW表示表示平面平面P与与V面交线面交线正面迹线正面迹线,用用PV表示表示(b)(b)投影图投影图XYHYWZoPVPHPWPPHPW基本概念基本概念1.1.一般位置平面的迹线表示法一般位置平面的迹线表示法 VHWXYZo(a)(a)立体图立体图2.2.投影面平行面的迹线表示法投影面平行面的迹线表示法 (b)(b)投影图

45、投影图ZYWXYHo（水平面）（水平面）SSVSWbBbb”SVSWbbb”可用平面有积聚可用平面有积聚性的迹线表示投性的迹线表示投影面平行面影面平行面bboXQv B B点在水平面点在水平面Q Q 上，上，B B的正面投影必在的正面投影必在Q QV V上，上，因此过因此过b b作平行于作平行于X X轴的直线轴的直线QvQv即为所求水平面。即为所求水平面。bBQvVHXoQb 例例4 4 过过B B点作水平面点作水平面Q Q。3.3.投影面垂直面的迹线表示法投影面垂直面的迹线表示法 (b)(b)投影图投影图ZYWXYHoPVPHPWaa”a(a)(a)立体图立体图VHWXYZoPVPHPWAa

46、a”aP（正垂面）（正垂面）因为包含一条直线只能做一个因为包含一条直线只能做一个平面与另一个平面垂直，所以平面与另一个平面垂直，所以平面有积聚性的迹线即可确定平面有积聚性的迹线即可确定平面的空间位置，所以可以用平面的空间位置，所以可以用有积聚性的迹线来表示投影面有积聚性的迹线来表示投影面垂直面。垂直面。PVXoaaZYWXYHo(a)(a)用迹线表示的正垂面用迹线表示的正垂面PVPHPWaa”a（b b）用有积聚性的正面）用有积聚性的正面 迹线表示正垂面迹线表示正垂面MHaaoXA点在铅垂面点在铅垂面M M上，上，A A的的水平投影水平投影a a必在必在M MH H上，上，过过a a的所有倾斜

47、于的所有倾斜于X X轴的轴的直线均符合题意，所以直线均符合题意，所以可以作无数个。可以作无数个。MMHHXoVAaaMv例例5 过过A A点作铅垂面点作铅垂面M M，可以作几个？可以作几个？在在V面上所有倾面上所有倾斜于斜于X轴轴的直线的直线均可表示正垂面均可表示正垂面在在H面上所有倾面上所有倾斜于斜于X轴轴的直线的直线均可表示铅垂面均可表示铅垂面（b）过点）过点B作正垂面作正垂面Q用迹线表示特殊位置平面用迹线表示特殊位置平面(a)过点过点A作正平面作正平面P（c）过直线）过直线EF作铅垂面作铅垂面SPHaaXoSHQvbbXoeeffXo例例6（a）过点）过点A作正平面作正平面P；（；（b）

48、过点）过点B作正垂面作正垂面Q；（c）过直线）过直线EF作铅垂面作铅垂面S,均用迹线表示。均用迹线表示。（1）如图（）如图（a）所示，过）所示，过a作作PHOX轴，轴，PH为所求正平面。为所求正平面。（2）如图（）如图（b）所示，过）所示，过b作作QV倾斜于倾斜于OX轴（有无穷解，轴（有无穷解，只求一解），只求一解），QV为所求正垂面。为所求正垂面。（3）如图（）如图（c）所示，过）所示，过ef作作SH，SH为所求铅垂面。为所求铅垂面。作图：作图：水平圆的投影水平圆的投影 XYHYWZoccc”同理，可自行总结出其它投影同理，可自行总结出其它投影面平行圆的投影特点。面平行圆的投影特点。平行于一

49、个投影面，垂直于其他两个投影面的圆称为投影面平行圆。平行于一个投影面，垂直于其他两个投影面的圆称为投影面平行圆。它的分类方式与投影面平行面类似。它的分类方式与投影面平行面类似。2.4.5 2.4.5 圆的投影圆的投影投影面平行圆投影面平行圆（1）水平圆（）水平圆（H面平行圆）：面平行圆）：H面，面，V面，面，W面。面。（2）正平圆（）正平圆（V面平行圆）：面平行圆）：V面，面，H面，面，W面。面。（3）侧平圆（）侧平圆（W面平行圆）：面平行圆）：W面，面，H面，面，V面。面。水平圆水平圆H面，面，V面，面，W面，因此，在面，因此，在H面的面的投影反映圆的实形，而在投影反映圆的实形，而在V面和面

50、和W面的投影，积聚面的投影，积聚成一条直线（长度为圆的成一条直线（长度为圆的直径）。直径）。1 1投影面平行圆投影面平行圆正垂圆正垂圆(V、H、W):垂直于一个投影面，倾斜于其它两个投影面的圆称为垂直于一个投影面，倾斜于其它两个投影面的圆称为投影面垂直圆。投影面垂直圆。投影面垂直圆投影面垂直圆（1）正垂圆（）正垂圆（V面垂直圆）：面垂直圆）：V面，面，H面，面，W面。面。（2）铅垂圆（）铅垂圆（H面垂直圆）：面垂直圆）：H面，面，V面，面，W面。面。（3）侧垂圆（）侧垂圆（W面垂直圆）：面垂直圆）：W面，面，H面，面，V面。面。Xocc 求出椭圆的长、短轴后可求出椭圆的长、短轴后可由由“四心圆