16.3 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程及其解法（课件）2024-2025学年度华东师大版数学八年级下册.pptx

1、16.3 可化为一元一次方程的分式方程第1课时 可化为一元一次方程的分式方程及其解法学 习 目 标1.1.掌握解分式方程的基本思路和解法掌握解分式方程的基本思路和解法(重点重点)理解分式方程可能无解的原因理解分式方程可能无解的原因.(难点难点)合 作 探 究知识点知识点1 1 分式方程的分式方程的有关概念有关概念 轮船在顺水中航行轮船在顺水中航行8080千米所需的时间和在逆水中航千米所需的时间和在逆水中航行行6060千米所需的时间相同千米所需的时间相同,已知水流的速度是已知水流的速度是3 3千米千米/时时,求轮船在静水中的速度求轮船在静水中的速度.8 06 033xx问题问题1 1分析：分析：

2、设轮船在静水中的速度为设轮船在静水中的速度为x千米千米/时，时，根据题意，得根据题意，得合 作 探 究 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某校团总支号某校团总支号召同学们自愿捐款召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为已知第一次捐款总额为48004800元元,第二次捐第二次捐款总额为款总额为50005000元元,第二次捐款人数比第一次多第二次捐款人数比第一次多2020人人,而且两次而且两次人均捐款额恰好相等人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为如果设第一次捐款人数为x人人,那么那么x应应满足怎样的方程？满足怎样的方程？4800500020 xx问题问题2

3、2合 作 探 究 一艘轮船在一艘轮船在静水静水中的最大航速为中的最大航速为3030千米千米/时时,它沿江它沿江以最大航速以最大航速顺流顺流航行航行9090千米所用时间千米所用时间,与以最大航速与以最大航速逆流逆流航行航行6060千米所用时间相等千米所用时间相等.设江水的流速为设江水的流速为x千米千米/时时,根根据题意可列方程据题意可列方程 .906030+30 xx这些方程是我们以前学过的方程吗？它这些方程是我们以前学过的方程吗？它们与们与一元一次一元一次方程有什么区别？方程有什么区别？问题问题3 3思 考 由上面的问题由上面的问题,我们得到了三个方程我们得到了三个方程,它们有什么共同特点？它

4、们有什么共同特点？4800500020 xx分母中都含有未知数分母中都含有未知数8 06 033xx906030+30 xx讲 授 新 课分式方程的特征分式方程的特征:方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这这样的方程叫做分式方程样的方程叫做分式方程.(1 1)是是方程；方程；(2 2)方程中含有分母；方程中含有分母；(3 3)分母中含有未知数分母中含有未知数.分式方程的概念分式方程的概念:针 对 练 习13(2)2xx2(1)23xx3(3)2xx1(4)1xx 105126xx）（215xx）（2131xxx437xy 下列方程中下列方程中,哪些是

5、分式方程？哪些是整式方程？哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方整式方程程分式方分式方程程解题技巧解题技巧:判断一个方程是否为分式方程判断一个方程是否为分式方程,主要是看主要是看分母中是否含有未知数分母中是否含有未知数.(.(注意注意:不是未知数不是未知数)思 考你能试着解这个分式方程吗？你能试着解这个分式方程吗？(2)(2)怎样怎样去分母去分母？(3)(3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去都约去？(4)(4)这样做的这样做的依据依据是什么？是什么？解分式方程最关键的问题是什么？解分式方程最关键的问题是什么？(1)(1)如何把它如何把它转化

6、转化为整式方程呢？为整式方程呢？“去分母去分母”9 06 03 0+3 0 xx知识点知识点2 2 分式方程的解法分式方程的解法讲 授 新 课方程各分母最简公分母是方程各分母最简公分母是:(3 30+0+x)(3 30-0-x)解解:方程两边同乘方程两边同乘(30+30+x)(30-30-x),得得 检验检验:将将x=6 6代入原分式方程中代入原分式方程中,左边左边=右边右边,因此因此x=6 6是原分式方程的解是原分式方程的解.9090(30-30-x)=60(30+=60(30+x),9 06 03 0+3 0 xx解得解得x=6.=6.x=6=6是原分式是原分式方程的解吗？方程的解吗？52

7、新 知 小 结将将分式方程分式方程化为化为整式方程整式方程,具体做法是具体做法是“去分母去分母”,”,即方程两边都乘以同一个整式，所乘的整式通常即方程两边都乘以同一个整式，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的取方程中出现的各分式的最简公分母最简公分母.这也是解分这也是解分式方程的一般方法式方程的一般方法.解分式方程的基本思路解分式方程的基本思路:合 作 探 究下面我们再讨论一个分式方程下面我们再讨论一个分式方程:2110525xx解解:方程两边同乘方程两边同乘(x+5)(+5)(x-5)-5),得得x+5=10+5=10,解得解得x=5.=5.x=5=5是原分式是原分式 方程的解吗？方程的解吗

8、？合 作 探 究 检验检验:将将x=5=5代入原方程中代入原方程中,分母分母x-5-5和和x2-25-25的值都为的值都为0 0,相应的分式无意义相应的分式无意义.因此因此x=5=5虽是整式方程虽是整式方程x+5=10+5=10的解的解,但不是原分式方程但不是原分式方程 的解的解,实际上实际上,这个分式这个分式方程无解方程无解.2110525xx思 考上面两个分式方程中上面两个分式方程中,为什么为什么 去分母后去分母后所得整式方程的解就所得整式方程的解就是是原分式方程的解原分式方程的解,而而 去分母后所得整式方程的解却去分母后所得整式方程的解却不是不是原原分式方程的解呢？分式方程的解呢？906

9、030+30 xx2110525xx讲 授 新 课真相揭秘真相揭秘:分式两边同乘了不为分式两边同乘了不为0 0的式子的式子,所得整式方程的解所得整式方程的解与分式方程的解相同与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程我们再来观察去分母的过程:90(30-90(30-x)=60(30+=60(30+x)两边同乘两边同乘(30+30+x)(30-30-x)当当x=6=6时时,(,(30+30+x)(30-30-x)00906030+30 xx讲 授 新 课真相揭秘真相揭秘:分式两边同乘了等于分式两边同乘了等于0 0的式子的式子,所得整式所得整式方程的解使分母为方程的解使分母为0 0,这个整式方程

10、的解就不是原这个整式方程的解就不是原分式方程的解分式方程的解.x+5=10+5=10两边同乘两边同乘(x+5)(+5)(x-5)-5)当当x=5=5时时,(x+5)(+5)(x-5)=0-5)=02110525xx新 知 小 结 解分式方程时解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为使原方程的分母为0 0,所以分式方程的解必须检验所以分式方程的解必须检验怎样检验？怎样检验？这个整式方程的解是这个整式方程的解是不是原分式的解呢？不是原分式的解呢？分式方程解的检验分式方程解的检验必不可少的步骤必不可少的步骤检验方法检验方法:将整式方程的解代入最简公分

11、母将整式方程的解代入最简公分母,如果最简如果最简公分母的值不为公分母的值不为0 0,则整式方程的解是原分式方程的解；则整式方程的解是原分式方程的解；否则否则,这个解不是原分式方程的解这个解不是原分式方程的解.新 知 小 结1.1.在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母,约去分母约去分母,化成化成 整式方程整式方程；2.2.解这个整式方程；解这个整式方程；3.3.把整式方程的解代入最简公分母把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母如果最简公分母 的值的值不为不为0 0,则整式方程的解是原分式方程的解则整式方程的解是原分式方程的解,否则否则需舍去；需舍去；4.4.写出原方程的

12、根写出原方程的根.简记为简记为:“:“一化二解三检验一化二解三检验”.“去分母法去分母法”解分式方程的步骤解分式方程的步骤:典 例 精 析例例1 1解方程解方程:解解:两边都乘以最简公分母两边都乘以最简公分母(x+1)(+1)(x-1)1),得得x+1+1=2 2,解得解得 x=1 1.检验检验:把把x=1 1代入原方程代入原方程,最简公分母为最简公分母为0,0,分式无意义分式无意义.因此因此x=1 1不是原分式方程的解不是原分式方程的解,从而原方程无解从而原方程无解.(x+1)(x-1)典 例 精 析解解 :方方程两边都乘最简公分母程两边都乘最简公分母x(x7)7),得得解这个解这个整式方程

13、整式方程,得得x=1010.检验检验:把把x=1010代入最简公分母代入最简公分母,得得 因此因此x=1010是原分式方程是原分式方程的解的解x(x-7)100(100(x-7)=30-7)=30 x.x(x7)0,7)0,针 对 练 习解方程解方程:解解:方程两边乘方程两边乘(x1)1)(x +2 2),得得 x(x+2)+2)(x1)1)(x+2)=3.+2)=3.解得解得 x=1.=1.检验检验:当当x=1=1时时,(,(x1)1)(x+2)=0.+2)=0.因此因此x=1=1不是原分式方程的解不是原分式方程的解.所以所以,原分式方程无解原分式方程无解.讲 授 新 课解分式方程解分式方程

14、时时,将分式方程转化为整式方程所求得整式方程的根将分式方程转化为整式方程所求得整式方程的根,使原分式方程使原分式方程中最简公分母中最简公分母(或分母或分母)为零为零,这种根通常这种根通常称为称为增根增根.知识点知识点3 3 分式方程的增根分式方程的增根1.1.关于关于x的方程的方程 有增根有增根,则增根则增根是是 .练习练习x=3令令x-3=0-3=02.2.关于关于x的方程的方程 有增根有增根,则增根则增根是是 .x=0,1-1=0,1-1法二：令法二：令x=0,=0,x-1=0,-1=0,x(x+1)=0+1)=0法一：令最简公分母法一：令最简公分母x(x-1)(-1)(x+1)=0+1)

15、=0 x=0,1-1.=0,1-1.典 例 精 析分析：去分母分析：去分母,得得2 2xax1 1,解得解得xa1.1.关于关于x的方程的方程 的解是正数的解是正数,x0 0且且x11,a1 10 0且且a1111,解得解得a1 1且且a2 2,a的取值范围是的取值范围是a1 1且且a2.2.解题技巧：解题技巧：求出方程的解求出方程的解(用未知字母表示用未知字母表示),然后根据解的正然后根据解的正负性负性,列关于未知字母的不等式求解列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为特别注意分母不能为0.0.a1 1且且a2 2例例2 2 关于关于x的方程的方程 的解是正数的解是正数,则则a的取值范

16、围的取值范围是是_典 例 精 析若关于若关于x的分式方程的分式方程 无解无解,求求m的值的值分析：先把分式方程化为整式方程分析：先把分式方程化为整式方程,再分两种情再分两种情 况讨论求解：一元一次方程无解与分式方况讨论求解：一元一次方程无解与分式方 程有增根程有增根例例3 3典 例 精 析解：方程两边都乘以解：方程两边都乘以(x2)(2)(x2)2),得得2(2(x2)2)mx3(3(x2)2),即即(m1)1)x10.10.当当m1 10 0时时,此方程无解此方程无解,此时此时m1 1；方程有增根方程有增根,则则x2 2或或x2.2.当当x2 2时时,代入代入(m1)1)x1010,得得(m

17、1)1)2 21010,解得解得m4 4；当当x2 2时时,代入代入(m1)1)x1010,得得(m1)1)(2)2)1010,解得解得m6.6.m的值是的值是1 1,4 4或或6.6.新 知 小 结解题技巧：解题技巧：分式方程无解与分式方程有增根所表分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的：分式方程有增根仅仅针对达的意义是不一样的：分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为使最简公分母为0 0的数；分式方程无解不但包括使的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为最简公分母为0 0的数，而且还包括分式方程化为整的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数式方程后，使整式方程无解

18、的数随 堂 检 测D D2.2.要把方程要把方程 化为整式方程化为整式方程,方程两边可以同乘以方程两边可以同乘以()()250363yyA.3A.3y-6 B.3-6 B.3y C.3(3 C.3(3y-6)D.3-6)D.3y(y-2)-2)1.1.下列关于下列关于x的方程中，是分式方程的是的方程中，是分式方程的是()A.B.C.D.A.B.C.D.D D3.3.若关于若关于x的分式方程的分式方程 无解，则无解，则m的值为的值为()()A.A.1 1，5 5 B.B.1 C.1 C.1.51.5或或2 D.2 D.0.50.5或或1.51.5D D随 堂 检 测4.4.解方程解方程:(1):

19、(1)23.3xx解解:(1):(1)方程两边乘方程两边乘x(x-3),-3),得得2 2x=3=3x-9.-9.解得解得 x=9.=9.检验检验:当当x=9=9时时,x(x-3)0.-3)0.所以所以,原分式方程的解为原分式方程的解为x=9.=9.2(1)(1)2(1).xxxx x12.x 11)0.4x x（(2)(2)12.1xxxx(2)(2)去分母，得去分母，得解得解得检验检验:把把 代入代入12x所以原方程的解为所以原方程的解为12.x 随 堂 检 测5.5.若关于若关于x的方程的方程 有增根，求有增根，求m的值的值.2222xmxx解：方程两边同乘以解：方程两边同乘以x-2,-2,得得 2-2-x+m=2=2x-4.-4.合并同类项，得合并同类项，得3 3x=6+=6+m，m=3=3x-6.-6.该分式方程有增根，该分式方程有增根，x=2=2，m=0.=0.课 堂 总 结定 义定 义分式分式方程方程分母中含有未知数的方分母中含有未知数的方程叫做分式方程程叫做分式方程一化（分式方程转化为整式方程）；一化（分式方程转化为整式方程）；二解（解整式方程）；二解（解整式方程）；三检验（代入最简公分母看是否为三检验（代入最简公分母看是否为零）零）解法解法增 根增 根使最简公分母使最简公分母(或分母或分母)为零的根为零的根