5.3.1等积变形问题课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册.pptx

1、5.5.3.13.1等积变形问题等积变形问题第第5章章 一元一次方程一元一次方程5.35.3实践与探索实践与探索1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.学习目标学习目标一个关于数学的童话故事一个关于数学的童话故事 很久很久以前，有一个国王，他有一个非常漂亮的很久很久以前，有一个国王，他有一个非常漂亮的女儿，一年年，漂亮的公主长大了女儿，一年年，漂亮的公主长大了.为了给自己的女儿找为了给自己的女儿找到一个好的归宿，国王准备在全国范围内为自己的女儿到一个好的归宿，国王准备在全国范围内为自己的女儿招亲，因为这是一个农业大国，这个国家的

2、人民非常勤招亲，因为这是一个农业大国，这个国家的人民非常勤劳。所以，国王要为自己女儿找到一个全国最勤劳最聪劳。所以，国王要为自己女儿找到一个全国最勤劳最聪明的驸马明的驸马.课堂导入课堂导入合作学习合作学习亲爱的子民们：亲爱的子民们：如果你是如果你是20-2520-25岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的双手和智慧的头脑，你就有权来参加招亲双手和智慧的头脑，你就有权来参加招亲.参加招亲的年轻人都将得到一个长参加招亲的年轻人都将得到一个长6060米的栅栏，米的栅栏，如果你用这个栅栏围成的长方形耕地种得了所有人中如果你用这个栅栏围成的长方形耕地种得了所有人中最多的粮食，那么你会成

3、为驸马！最多的粮食，那么你会成为驸马！怎样才能围成最大的长方形呢？怎样才能围成最大的长方形呢？课堂导入课堂导入（2 2）如果长方形的宽比长少）如果长方形的宽比长少4 4厘米，求这个长方形的面积；厘米，求这个长方形的面积；用一根长用一根长6060厘米的铁丝围成一个长方形，厘米的铁丝围成一个长方形，（3 3）若设长方形的面积为若设长方形的面积为x x平方厘米，能否直接列方程？平方厘米，能否直接列方程？新知探究新知探究知识点 等积变形问题(2)(2)解解：设长为：设长为x x，则宽为，则宽为x-4x-4，由题意得：由题意得：2(x+x-4)=602(x+x-4)=60 解得：解得：x=17x=17则

4、则x-4=17-4=13x-4=17-4=13面积面积=17=1713=13=221(221(平方厘米平方厘米)所以长方形的面积是所以长方形的面积是221221平方厘米平方厘米.(3)(3)设设长方形的长方形的面积为面积为x x平方厘米，不能找出等量关系，平方厘米，不能找出等量关系，不能不能直直接接列出方程列出方程.新知探究新知探究知识点 等积变形问题（4 4）将问题（）将问题（2 2）中的宽比长少）中的宽比长少4 4厘米改为少厘米改为少3 3厘米、厘米、2 2厘米、厘米、1 1厘厘米和米和0 0厘米（即长与宽相等），分别计算这个长方形的面积是多少？厘米（即长与宽相等），分别计算这个长方形的面

5、积是多少？长长-宽宽=（厘米）（厘米）4 4厘米厘米3 3厘米厘米2 2厘米厘米1 1厘米厘米0 0厘米厘米长（厘米）长（厘米）宽（厘米）宽（厘米）面积（平方厘米）面积（平方厘米）171316.513.5161415.514.51515221222.75224224.75225新知探究新知探究知识点 等积变形问题提炼概念提炼概念 注意：长注意：长-宽宽=？也就是长比宽多多少或者宽比长少多少？也就是长比宽多多少或者宽比长少多少.观察以上数据，你能发现长方形的面积和长方形的长、宽之差有观察以上数据，你能发现长方形的面积和长方形的长、宽之差有什么关系么？什么关系么？长方形在周长一定的条件下，它的长与

6、宽越接近，面积就越大；长方形在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大.实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.新知探究新知探究知识点 等积变形问题招亲启事招亲启事亲爱的子民们：亲爱的子民们：如果你是如果你是20-2520-25岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的双手和岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的双手和智慧的头脑，你就有权来参加招亲。智慧的头脑，你就有权来参加

7、招亲。参加招亲的年轻人都将得到一个长参加招亲的年轻人都将得到一个长6060米的栅栏，如果你米的栅栏，如果你用这个栅栏围成的长方形耕地，并种得了所有人中最多的粮用这个栅栏围成的长方形耕地，并种得了所有人中最多的粮食，那么你会成为驸马！食，那么你会成为驸马！现在有谁能回答国王提出的问题呢？现在有谁能回答国王提出的问题呢？解解：当长方形的长为当长方形的长为1 15 5厘米厘米,宽为宽为1 15 5厘米时厘米时长方形的面积最大，最大值长方形的面积最大，最大值=新知探究新知探究知识点 等积变形问题实际上，若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七实际上，若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七

8、凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆。凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆。这里面的道理需要这里面的道理需要较为高深的较为高深的数学知识，在以后的学习中，我们继续去探究其中数学知识，在以后的学习中，我们继续去探究其中的道理的道理.续接故事：如果没有要求围成方形地，那么，围成什么样形状的续接故事：如果没有要求围成方形地，那么，围成什么样形状的地，面积最大？地，面积最大？新知探究新知探究知识点 等积变形问题例例:如图，小明家打算靠墙如图，小明家打算靠墙(墙长墙长1414米米)修建一个长方形的养鸡修建一个长方形的养鸡场，另三边用场，另三边用3535米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的米长的竹篱笆

9、围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多长比宽多2 2米，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多米，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5 5米，你认为米，你认为他们谁的设计合理他们谁的设计合理?按照这种设计，鸡场的面积是多少平方米按照这种设计，鸡场的面积是多少平方米?新知探究新知探究知识点 等积变形问题解：设鸡场的宽为解：设鸡场的宽为x x米米.若按小明爸爸的设计，则其长应为若按小明爸爸的设计，则其长应为(x+2)(x+2)米米.x+2+2x=35 x+2+2x=35 x=11.x=11.因为因为11+2=13(11+2=13(米米)墙长墙长1414米，米，所以小明爸爸的设计合理，所以小明爸爸的设计合理，这时

10、鸡场的面积为这时鸡场的面积为13x11=143(13x11=143(平方米平方米).).经检验：符合题意经检验：符合题意新知探究新知探究知识点 等积变形问题若按小明妈妈的设计，则其长应为若按小明妈妈的设计，则其长应为(x+5)(x+5)米米.x+5+2x=35x+5+2x=35 x=10.x=10.因为因为10+5=15(10+5=15(米米)墙长墙长1414米，米，所以小明妈妈的设计不合理所以小明妈妈的设计不合理.经检验：不符合题意经检验：不符合题意新知探究新知探究知识点 等积变形问题应应用用一一元元一一次次方方程程 图形等长变化图形等长变化应用一元一次方应用一元一次方程解决实际问题程解决实

11、际问题的步骤的步骤 图形等积变化图形等积变化列 检 解设 审 答 新知探究新知探究知识点 等积变形问题1.1.一个长方形的周长是一个长方形的周长是40 cm40 cm，若将长减少，若将长减少8 cm8 cm，宽，宽 增加增加2 cm2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的，长方形就变成了正方形，则正方形的 边长为边长为()A.6 cm A.6 cmB B.7 cm7 cmC C.8 cm8 cmD D.9 cm9 cmB B随堂练习随堂练习2.2.用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长形的边长比圆的半径长2

12、(2(2)m2)m，求这两根等长的铁丝的长，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大度，并通过计算说明谁的面积大随堂练习随堂练习解：设圆的半径为解：设圆的半径为r r m m，则正方形的边长为，则正方形的边长为 r r2(2(2)m.2)m.根据题意，得根据题意，得答：铁丝的长为答：铁丝的长为8 8 m m，圆的面积较大，圆的面积较大因为因为4 44 44 4，所以，所以16164 42 2，所以圆的面积大所以圆的面积大正方形的面积为正方形的面积为 442(2(2)2)2 24 42 2(m(m 2 2)所以圆的面积是所以圆的面积是 4 42 21616(m(m 2 2)，所以铁丝的

13、长为2r8(m)2 2r r4(4(r r2 24)4)，解得，解得 r r4.4.随堂练习随堂练习3.3.一种牙膏出口处直径为一种牙膏出口处直径为5 mm5 mm，小明每次刷牙都挤出，小明每次刷牙都挤出1 cm1 cm长的牙长的牙膏，这样一支牙膏可以用膏，这样一支牙膏可以用3636次，该品牌牙膏推出新包装，只是将次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为出口处直径改为6 mm6 mm，小明还是按习惯每次挤出，小明还是按习惯每次挤出1 cm1 cm的牙膏，这的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？样，这一支牙膏能用多少次？随堂练习随堂练习4.4.根据图中给出的信息，可得正确的方程是根据图中给出

14、的信息，可得正确的方程是()A)5(262822xx)5(262822xx)5(6822xx56822xA.B.C.D.随堂练习随堂练习5.5.周长为周长为8080厘米的铁丝，围成一个长方形厘米的铁丝，围成一个长方形（1 1）当长方形的长和宽为多少厘米时，面积最大？最大面积是多少？）当长方形的长和宽为多少厘米时，面积最大？最大面积是多少？（2 2）利用上面探究的结果，尝试下题：）利用上面探究的结果，尝试下题：若若a a0 0，b b0 0且且a+b=3a+b=3，求，求abab的最大值的最大值 随堂练习随堂练习3.3.某居民楼顶有一个底面直径和高均为某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m4 m

15、的圆柱形储水的圆柱形储水箱现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，箱现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由需要将它的底面直径由4 m4 m减少为减少为3.2 m3.2 m那么在容积不变的前提那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的下，水箱的高度将由原先的4 m4 m变为多少米？变为多少米？随堂练习随堂练习解：.如果设水箱的高变为x m，填写下表：列出方程2 22 24 41.61.62 2x x=解得 x=5因此，水箱的高度变成了5 m.随堂练习随堂练习应用一元一次方程 图形等长变化应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等积变化列 检 解设 审 答 课堂小结课堂小结