初中几何模型 专题15 阿氏圆中的双线段模型与最值问题（教师版）.docx

1、专题3 阿氏圆中的双线段模型与最值问题【专题说明】 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造PABCAP 推出 PA2 = ，即：半径的平方=原有线段 构造线段。【模型展示】如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆（1）角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的角平分线，则证明：，即（2）外角平分线定理：如图，在ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则ACDAED（SAS），CD=ED且AD平分BDE，则，即接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作APB的角

2、平分线交AB于M点，根据角平分线定理，故M点为定点，即APB的角平分线交AB于定点；作APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，故N点为定点，即APB外角平分线交直线AB于定点；又MPN=90，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆【例题】1、如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值【解析】（1）由题意A（，0），B（

3、3，0），C（0，3），设抛物线的解析式为ya（x+3）（x），把C（0，3）代入得到a，抛物线的解析式为yx2x3（2）在RtAOC中，tanOAC，OAC60AD平分OAC，OAD30，ODOAtan301，D（0，1），直线AD的解析式为yx1，由题意P（m，m2m3），H（m，m1），F（m，0）FHPH，1m1（m2m3）解得m或（舍弃），当FHHP时，m的值为（3）如图，PF是对称轴，F（，0），H（，2）AHAE，EAO60，EOOA3，E（0，3）C（0，3），HC2，AH2FH4，QHCH1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，QHKA

4、HQ，QHKAHQ，KQAQ，AQ+QEKQ+EQ，当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值2、如图1所示，O 的半径为 r,点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点， 已知 r=kOB.连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？【解析】1:连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值；4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似:5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA+K*PB的最小值。本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取

5、 OC 使 OC=kr,则可说明BPO 与PCO 相似，即 kPB=PC。本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值。3、如图，ACB=90，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=，故求最小值即可考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案4、如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，对于PDM，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值