2024年中考数学二轮题型突破题型9 二次函数综合题 类型7 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）（教师版）.docx

1、类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1（2023山东烟台统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为；(2)存在，点M的坐标为或 或；(3)【分析】（1）根据对称轴，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：当时，求出直线的解析式为，解方程组，

2、即可得到点M的坐标；当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可【详解】（1）解：抛物线的对称轴，将代入直线，得，解得，直线的解析式为；将代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）存在点，直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点当时，当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，得或，点M的坐标为；当时，设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，解得或，点M的坐标为 或综上，点M的坐标为或 或；（3）如图，在上取

3、点，使，连接，、，又，即，当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，的最小值为【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键2（2023内蒙古统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点(1)求点的坐标；(2)是线段上一点，连接，且求证：是直角三角形；的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标【答案】(1)，；(2)证明见解析，点的坐标为或【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交

4、点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）设然后利用勾股定理求解，过点作轴，垂足为再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得分两种情况分析：（i）当点在直线的左侧抛物线上时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，求解即可【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，当时，当时，直线交抛物线于两点，解得点在点的左侧，点的横坐标为3，当时，；（2）如图，抛物线交轴于点A，当时，,在中，由勾股定理得，设，是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，是等腰直角三角形，是直角三角形 平分轴，设点的坐标为，根据题意得（i）当点在直线的左侧抛物线上时，过点作轴，垂足为，在中，（舍去）

5、当时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，过点作轴，垂足为，在中，（舍去）当时，点的坐标为或【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键3（2023四川内江统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【

6、答案】(1)；(2)存在，的最大值为，；(3)或【分析】（1）将、代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解【详解】（1）解：由题意得 ，解得：，抛物线的解析式为（2）解：设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为；设（），解得：，当时，的最大值为，故的最大值为，（3）解：存在，如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，抛物线的对称轴为直线，设，解得：，；设直线的解析式为，则有，解得，直线解析式为，且经过，直线解析式为

7、，当时，；综上所述：存在，的坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键4（2023四川统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由见解析【分析】

8、（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解【详解】（1）解：将点，代入得解得：，抛物线解析式为；（2）点，抛物线的对称轴为直线：，如图所示，设与交于点，过点作于点以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，设，则，点在抛物线上解得：（舍去）或,，如图所示，设与交于点，过点作于点以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，设，则，点在抛物线上解得：（舍去

9、）或，当点与点重合时，如图所示，是等腰直角三角形，且，此时，综上所述，或或；（3）设，直线的解析式为，的解析式为，点，解得：，直线的解析式为，的解析式为，对于，当时，即，对于，当时，即，在抛物线上，则为定值【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5（2023江苏连云港统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为(1)当时，求点的坐标；(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数

10、表达式；(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由【答案】(1)；(2)或；(3)，见解析【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，则抛物线进而得出可得，当时，如图1，过作轴，垂足为求得，代入解析式得出，求得当时，如图2，过作，交的延长线于点同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；当时，此情况不存在（3）由（2）知，当时，此时的面积为1，不合题意舍去当时，此时的面积为3，符合题意由题意可求得取的中点，在中可求得在中可求得易知当三点共线时，取最小

11、值，最小值为【详解】（1），抛物线的顶点坐标，点和点关于直线对称（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，抛物线当时，可得当时，如图1，过作轴，垂足为，直线轴，又点在图像上，解得或当时，可得，此时重合，舍去当时，符合题意将代入，得当时，如图2，过作，交的延长线于点同理可得，又点在图像上，解得或，此时符合题意将代入，得当时，此情况不存在综上，所对应的函数表达式为或（3）如图3，由（2）知，当时，此时则，则的面积为1，不合题意舍去当时，则，此时的面积为3，符合题意依题意，四边形是正方形，取的中点，在中可求得在中可求得当三点共线时，取最小值，最小值为【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题

12、，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键6.（2022山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接(1)求线段AC的长；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，分别列出等式求解即可(1)

13、与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），AO=1,CO=3,;(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t）， t=-1，P（1，-1）；(3)设点M（m,m2-2m-3），,当时，解得，（舍），M（1，-4）；当时，解得，（舍），M（-2，5）；当时，解得，M或；综上所述：满足条件的M为或或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题7.（2021四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C

14、（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作C，在C上是否存在点P，使得BPEP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交C于点P，连接EP，则BF的长即为所求【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为E（2，8），设该抛物线的表达式为y=a（x

15、-2）2+8，与y轴交于点C（0，6），把点C（0，6）代入得：a=，该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；（2）BCE是直角三角形理由如下：抛物线与x轴分别交于A、B两点，当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，A（-2，0），B（6，0），BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，BE2=BC2+CE2，BCE=90，BCE是直角三角形；（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交C于点P，连接EP，则BF的长即为所求连接CP，CP为半径， ，又FCP=PCE，FCPPCE， ，FP=EP，BF=

16、BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值CF=CE，E（2，8），F（，），BF=【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键8.（2021湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三

17、角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，； ，；，【分析】（1）由和，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：过点作，交抛物线于点，在下方作交于点，交抛物线于；（3）为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当；当；当【详解】解：（1）将和代入得 又顶点的坐标为解得 抛物线的解析式为：（2）和直线的解析式为：抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，则C点坐标为，B点坐标为过点作，交抛物线于点，则直线的解析式为，结合抛物线可知，解得：（舍），故 过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，由可知四边形为正方形，直线的解析式

18、为与轴交于点，在下方作交于点，交抛物线于又OC=CG， ，又由可得直线的解析式为，结合抛物线可知，解得（舍），故综上所述，符合条件的点坐标为：， （3），直线的解析式为设M的坐标为，则N的坐标为 ，直线的解析式为为等腰直角三角形当时，如下图所示则Q点的坐标为解得：（舍去），此时，；，；当时，如下图所示则Q点的坐标为解得：（舍去），此时，；，；当时，如图所示则Q点纵坐标为 Q点的坐标为Q点到MN的距离=（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：（舍去），此时，；，综上所述，点及其对应点的坐标为：，；，；，；，； ，；，【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形该题综合性较强，属于中考压轴题9.（

19、2021湖北中考真题）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）【答案】（1）；（2）4；（3）【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积（3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，

20、对进行分类讨论，从而求得的最小值【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到抛物线的对称轴为，即，解得抛物线的方程为（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：是等腰直角三角形，又轴为等腰直角三角形设，则，又解得或当时，符合题意，当时，不符合题意综上所述：（3）设，在抛物线上，则将代入上式，得 当时，时，最小，即最小=当时，时，最小，即最小，综上所述【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键10.如图，已知抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0，4）

21、三点（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD5DE求直线BD的解析式；已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；先确定出点Q的坐标，设点P（x，12x2+x+4）（1x4），得出PGx1，GQ

22、=12x2+x+3，再利用三垂线构造出PQGQRH（AAS），得出RHGQ=12x2+x+3，QHPGx1，进而得出R（12x2+x+4，2x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论【解析】（1）抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），设抛物线的解析式为ya（x+2）（x4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为ya（x+2）（x4）中，得8a4，a=12，抛物线的解析式为y=12（x+2）（x4）=12x2+x+4；（2）如图1，设直线AC的解析式为ykx+b，将点A（2，0），C（0，4），代入ykx+b中，得2k+b=0b=4，k=2b=4，直线A

23、C的解析式为y2x+4，过点E作EFx轴于F，ODEF，BODBFE，OBBF=BDBE，B（4，0），OB4，BD5DE，BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，BF=BEBDOB=654=245，OFBFOB=2454=45，将x=45代入直线AC：y2x+4中，得y2（45）+4=125，E（45，125），设直线BD的解析式为ymx+n，4m+n=045m+n=125，m=12n=2，直线BD的解析式为y=12x+2；抛物线与x轴的交点坐标为A（2，0）和B（4，0），抛物线的对称轴为直线x1，点Q（1，1），如图2，设点P（x，12x2+x+4）（1x4），过点P作PGl

24、于G，过点R作RHl于H，PGx1，GQ=12x2+x+41=12x2+x+3，PGl，PGQ90，GPQ+PQG90，PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，PQRQ，PQR90，PQG+RQH90，GPQHQR，PQGQRH（AAS），RHGQ=12x2+x+3，QHPGx1，R（12x2+x+4，2x），由知，直线BD的解析式为y=12x+2，x2或x4（舍），当x2时，y=12x2+x+4=124+2+44，P（2，4）11.如图，抛物线经过A（3，6），B（5，4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分；（3）抛物线的对称轴上是否存在

25、点M，使得是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，9）或（，11）【解析】【分析】（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明ABCABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到CAB=BAD；（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AMAB，作BMAB，分别交抛物线的对称轴与M、M，依据点A和点B的坐标可得到tanBAE=，

26、从而可得到tanMAE=2或tanMBF=2，从而可得到FM和ME的长，故此可得到点M和点M的坐标【详解】解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，得解得故抛物线的表达式为y （2）证明：AO=3，OC=4，AC=5取D（2，0），则AD=AC=5由两点间的距离公式可知BD=5C（0，-4），B（5，-4），BC=5BD=BC在ABC和ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，ABCABD，CAB=BAD，AB平分CAO；（3）存在如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F抛物线的对称轴为x=，则AE=A（-3，0），B（5，-4），tanEAB=MAB=90t

27、anMAE=2ME=2AE=11，M（，11）同理：tanMBF=2又BF=，FM=5，M（，-9）点M的坐标为（，11）或（，-9）【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和ME的长是解题的关键12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N（1）求抛物线的函数解析式；（2）当的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的

28、三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.【解析】【分析】（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出SBMD=，再求最值即可；（3）分当QMN=90时，当QNM=90时，当MQN=90时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）直线过点B，点B在x轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，B（6，0），

29、D（0，-6），点C和点D关于x轴对称，C（0，6），抛物线经过点B和点C，代入，解得：，抛物线的表达式为：；（2）设点P坐标为（m，0），则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），MN=-m+6=，SBMD=SMNB+SMND=-3（m-2）2+48当m=2时，SBMD最大=48，此时点P的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），设点Q的坐标为（0，n），当QMN=90时，即QMMN，如图，可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，即Q（0，12）；当QNM=90时，即QNMN，如图，可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，即Q（0，-4）；当MQN=90时，MQNQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，MQN=90，MQE+NQF=90，又MQE+QME=90，NQF=QME，MEQQFN，即，解得：n=或，点Q（0，）或（0，），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.