《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第3章.ppt

1、第 3 章多维随机变量及其分布第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理 第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.二维随机变量二维随机变量1)二维随机变量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是S=e，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X，Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。定义2：设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数F(x，y)=PXx，Yy为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或联合分布函数。2)二维随机变量的

2、分布函数的性质（1）0F(x，y)1；（2）F(x，y)关于x、y均单调非降，右连续；（3）F(，y)=F(x，)=F(，)=0，F(+，+)=1；（4）Px1Xx2，y1Yy2=F(x2，y2)F(x1，y2)F(x2，y1)+F(x1，y1)。3)二维离散型随机变量的分布律定义1：如果二维随机变量(X，Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多，则称(X，Y)是二维离散型随机变量。定义2：设二维随机变量(X，Y)所有可能取的值为（xi，yj）（i=1，2，;j=1，2，），则称P(X=xi，Y=yj)=pij（i，j=1，2，）为二维离散型随机变量(X，Y)的分布律，或联合分布律。二维离散型

3、随机变量的联合分布律表示如下：4)二维连续型随机变量的概率分布定义：设(X，Y)是二维随机变量，如果存在一个非负函数f(x，y)，使得对于任意实数x、y，都有则称(X，Y)是二维连续型随机变量，函数f(x，y)称为二维连续型随机变量(X，Y)的密度函数，或联合密度函数。,d dxyF x yP Xx Yyf u vu v 2.边缘分布1)离散型随机变量的情形记，则关于X的边缘分布律为iijjppjijipp，关于Y的边缘分布律为 2)连续型随机变量的情形定理：设f(x，y)是(X，Y)的联合密度函数，则分别是(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数。,dXfxf x yy,dYfyf x yx，3.

4、随机变量的独立性定义：设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)，又X和Y的边缘分布函数为FX(x)和FY(y)。若对于任意的实数x与y，有PXx，Yy=PXxPYy，即F(x，y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。定理1：对于二维离散型随机变量(X，Y)，其联合分布律为PijX=xi，Y=yjpij（i=1，2，；j=1，2，）且X、Y的边缘分布律分别为PX=xi=pi （i=1，2，），PY=yj=pj （j=1，2，）则对任意i、j，有pij=pipj的充分必要条件为X与Y相互独立。定理2：对于二维连续型随机变量(X，Y)，其联合密度函数为f(x，y)，X

5、、Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)分别为则对任意x、y有f(x，y)=fX(x)fY(y)的充分必要条件为X与Y相互独立。,dXfxf x yy,dYfyf x yx，定理3：对于二维正态随机变量(X，Y)，X和Y相互独立的充要条件为参数=0。定理4：若随机变量X和Y相互独立，则对于任意连续函数p(x)和q(x)，均有p(X)、q(Y)相互独立。4.两个随机变量函数的分布1)Z=X+Y的分布Z=X+Y的分布函数为,d dZx y zFzP ZzP XYzfx yx y 密度函数为,d(),dZZfzf zy yyfzf x zxx或特别地，当X和Y相互独立时，设(X，Y)关于X、Y的边缘

6、密度函数分别为fX(x)和 fY(y)，则 dZXYfzfzy fyy dZXYfzfx fzxx这两个公式称为卷积公式，记为fX*fY，即 ddXYXYXYfffzy fyyfx fzxx2)的分布的分布函数为XZYXZY 12,d d,d dGGXF zP ZzPzfx yx yfx yx yY密度函数为 00,d,dZfzyfyz yyyfyz yy或,dZfzy fyz yy特别地，当X、Y相互独立时，上式可化为其中fX(x)、fY(y)分别为(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数。dZXYfzy fyz fyy 第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例3.1】将两封信投入编号为、的三个邮

7、筒中，设X、Y分别表示投入第号、第号邮筒中信的数目。（1）求（X，Y）的联合分布律；（2）X、Y是否相互独立？（3）求Y=0时X的条件分布律。解 （1）X、Y所有可能的取值分别为0、1、2，则2110,039P XYP两信均投入第邮筒1121220,139C CP XYP两信一投入第邮筒，另一投入第邮筒2110,239P XYP两信均投入第邮筒1121221,039C CP XYP两信分别投入第，邮筒故(X，Y)的联合分布律为（2）因为 所以X、Y不独立。1440,000999P XYP XP Y（3）Y=0时X所有可能的取值分别为0、1、2，于是其条件分布律为0,01/910004/94P

8、XYP XYP Y1,02/911004/92P XYP XYP Y2,01/912004/94P XYP XYP Y【例3.2】设随机变量X1、X2、X3相互独立且都服从参数为p的01分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为18，求:（1）参数p的值；（2）随机变量的分布律。3221XXXX3221XXXXY 解 （1）因为矩阵为正定矩阵的充要条件为其顺序主子式都大于零,所以2113210,08P XX XX即212311,0,118P XXXpp所以12p（2）所有可能的取值分别为1、0、1，即12213223XXYX XXXX由上表可得318P Y 408P Y 118P Y 故随机变量的分布律

9、为3221XXXXY【例3.3】设随机变量X、Y相互独立，且都服从同一分布。试证明：证明 令Z=min(X，Y)，FZ(z)=Pmin(X，Y)z，当X、Y相互独立，且都服从同一分布时，FZ(z)=Pmin(X，Y)z=11FX(z)2所以【例3.4】设二维随机向量(X，Y)的联合密度函数为试求：（1）(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数；（2）。1122PXY解 （1）当0 x1时，有 2221012,dd233fxf x yyxxyyxx当x1时，有fX(x)=0所以(X，Y)关于X的边缘密度函数为同理可得(X，Y)关于Y的边缘密度函数为（2）由条件概率的定义知11,11221222PXYP

10、XYPY而11222001115,dd223192PXYxxxyy112200119dd2348PYxxxyy于是51151929223648PXY【例3.6】设(X，Y)服从区域D=(x，y)|0y1x2上的均匀分布。（1）写出(X，Y)的联合密度函数；（2）求X和Y的边缘密度函数；（3）求概率PYX2。解 （1）由于区域D是由曲线y=1x2和y=0所围成的，其面积为12141d3Axx所以(X，Y)的联合密度函数为（2）X的边缘密度函数为Y的边缘密度函数为（3）记G=(x，y)|yx2，则GD为图31所示阴影部分,从而有图3-1 第四节第四节 习习 题题 全全 解解3.1 已知随机变量X1

11、和X2的分布律分别为且PX1X2=0=1，求(X1，X2)的联合分布律。解 由已知的边缘分布律和PX1X2=0=1可得 PX10，X20=0于是PX11，X21=PX11，X21=0设联合与边缘概率密度表如下：显然p12=0，故(X1，X2)的联合分布律为3.2 设随机变量(X，Y)的密度函数为试求：（1）常数c；（2）联合分布函数F(x，y)；（3）P0X1，00，y0时，如图3-4所示，有3400,d d3ed4edxyxyuvF x yf u vu vuv 343400ee1 e1 exyuvxy 所以联合分布函数为341 e1 e,0,0,d d0,xyxyxyF x yf x yx

12、y 其他 图3-3图34（3）令区域D=(x，y)|0 x1，0y2，如图3-5所示。图3-5方法一：由分布函数的性质知 P0X1，0Y2=F(0，0)F(0，2)F(1，0)+F(1，2)=000+(1e3)(1e8)=(1e3)(1e8)方法二:12340001,02,d d 3ed4edDxyPXYf x yx yxy12343800ee1 e1 exy 3.3 已知随机变量X和Y的联合密度函数为求(X，Y)的联合分布函数F(x，y)。解 f(x，y)的区域图形如图36所示，从而有下面分块计算上式的广义二重积分。（1）当x0或y1时，如图39所示,有112220000,d d4d dxy

13、xxF x yf u vu vuv u vuvx 图3-8图3-9（4）当x1且0y1时，如图3-10所示,有112220000,d d4d dxyyyF x yf u vu vuv u vuvy （5）当x1且y1时，如图3-11所示,有1111220000,d d4d d1xyF x yf u vu vuv u vuv 图3-10图3-11综上可得(X，Y)的联合分布函数为3.4 设随机变量(X，Y)的联合密度函数为3,01,0,0,xxyxf x y其他 解 方法一：先求关于X、Y的边缘密度函数。如图3-12所示,当0 x1时，有 2003 d33xxXfxx yxyx所以 23,010

14、,Xxxfx其他 当0y0时，00,d0de d0dyyYyfyfx yxxxx00e0eyyyxy3.7 设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为求随机变量Z=X+Y的分布律。解 Z=X+Y所有可能的取值为3、5、7，由于X和Y是相互独立的随机变量，故PZ=7=PX=3，Y=4=PX=3PY=4=0.70.4=0.28所以Z=X+Y的分布律为3.8 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为求随机变量Z=X+Y的密度函数。1,01,e,0,0,0,0yXYxyfxfyy其他 解 方法一：,d dZx y zFzP ZzP XYzfx yx y 而e,01,0,0,yxyf x y

15、其他 如图3-21所示。图3-21方法二:因为 e,01,00,z xXYxzxfx fzx其他 所以fX(x)fY(zx)的区域图形如图3-22所示。图3-22因为X与Y相互独立,所以 dZXYfzfx fzxx相当于沿一条穿越fX(x)fY(zx)区域的水平线对x进行积分，如图3-23所示。图3-233.9 设随机变量(X，Y)的密度函数为试求的密度函数。e,0,0,0,x yxyfx y其他12ZXY解 方法一：采用分布函数法。f(x，y)的区域图形如图3-24所示，所以 22,d d2Zx yzXYFzP ZzPzP XYzfx yx y 当z0时，如图325所示,有 20d d0Zx

16、 yzFzx y 图324图325当z0时，如图3-26所示,有 22002,d ded de de dzz xx yxyZx yzDFzf x yx yx yxy 22222200e1 edee1 e2 ezzz xxxzzzxxz 图3263.10 设随机变量(X，Y)的密度函数为试求Z=XY的密度函数。8,001,0,xyxyyf x y且其他 解 f(x，y)的区域图形如图3-27所示，则图3-27,d dZxy zFzP ZzP XYzf x yx y当z0时，如图3-28所示,有图3-27 0d d0Zxy zFzx y当z=0时，如图329所示，有图3-29 0d d0Zxy z

17、Fzx y当0z1时，如图3-30所示,有 12,d d8d d18d dZxy zDDFzfx yx yxy x yxy x y 211221 8dd1 4dyzzzyzy yx xy yyy 1422214ln2lnzyzyzzz 图3-30当z1时，如图331所示，有,d d8d d1Zxy zDFzfx yx yxy x y即所以图3313.11 设随机变量X与Y相互独立，并且都服从区间0，a)上的均匀分布，求随机变量Z=XY的密度函数。解 方法一：由题意有 11,0,00,0,XYxayafxfyaa其他其他由于X与Y相互独立，故(X，Y)的联合密度函数为 21,0,0,0,XYxa

18、yafx yfxfya其他 f(x，y)的区域图形如图332所示,则,d dxzyXF zP ZzPzf x yx yY图332（1）当z0时，如图333所示,有图3-33 120d d0ZDDFzx y（2）当z=0时，如图334所示,有图334 340d d0ZDDFzx y（3）当01时，如图336所示,有 622200111,d dd ddddaaaxZzxDzyxFzf x yx yx yxyxaaaa z2201122axxaa zz 图335综上所述,得所以Z=XY的密度函数为方法二：因为 21,0,00,XYyzayafyzfya其他 fX(yz)fY(y)的区域图形如图3-3

19、7所示,则 dZXYfzy fyz fyy图337相当于在一条穿越fX(yz)fY(y)区域的水平线上对y进行积分，其图形如图3-38所示。当z0时，0d0Zfzyy当01时，dZXYfzy fyz fyy02010dd0dazazyyyyyya22200111d22aazzyyyaz即的密度函数为XZY 20,01,0121,12Zzfzyzz 3.12 一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知(X，Y)的联合分布函数为（1）判断X、Y是否相互独立；（2）求两个部件的寿命均超过100小时的概率。0.50.50.51 eee,0,0,0,x yxyxyF

20、 x y其他 解 （1）设X、Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则 0.51 e,0,0,xXxFxF x 其他 0.51 e,0,0,yYyFyF y 其他 可见F(x，y)=FX(x)FY(y)，所以X和Y相互独立。（2）方法一：100100,0.1,0.110001000P XYP XY0.050.050.110.110.1eeeXYFF方法二：由（1）知X、Y相互独立，且X、Y均服从参数为=0.5的指数分布，所以由式得 dettP Ttf xx100100,0.1,0.110001000P XYP XY 20.5 0.10.10.10.1eeeettP XP Y方法三：由0.5

21、0.25e,0,0,x yxfx y其他 及式,d dGPX YGf x yx y得到所求概率为100100,0.1,0.110001000P XYP XY0.5220.10.10.10.10.25ed de ded22xyx yxyx y 0.050.050.1eee3.13 设X1、X2相互独立，且都服从(0，1)内均匀分布，记Y1=minX1，X2，Y2=maxX1，X2，试求(Y1，Y2)的密度函数。解 方法一：因为FY1Y2(x，y)=PY1x，Y2y=PminX1，X2x，maxX1，X2y=P(X1x或X2x)且(X1y且X2y)分情况讨论:（1）若x0或y0，则FY1Y2(x，

22、y)=0（2）若0yx1，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图3-39所示，此时，FY1Y2(x，y)=y2（3）若0y1x，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图3-40所示，此时 FY1Y2(x，y)=y2图339图340（4）若0 xy1，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图341所示,此时FY1Y2(x，y)=2xyx2（5）若0 x1y，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图342所示，此时FY1Y2(x，y)=2xx2图3-41图342综上所述，得因此1 21 22,201,0YYYYFx yxyfx yx y 其他方法二：因此1 21 22,201,0YYYYFx yxyfx yx y 其他