《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第2章.ppt

1、第 2 章随机变量及其分布第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.随机变量及其分布函数1)随机变量定义：设随机试验E的样本空间为S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，对于任意实数x，集合e|X(e)x有确定的概率,则称X=X(e)为随机变量。2)随机变量的分布函数定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数F(x)=PXx（x+）称为X的分布函数，记为XF(x)。性质1：F(x)是一个单调非减函数，若x1x2，则F(x1)F(x2

2、)。性质2：0F(x)1(x+)，且 lim1xFF x lim0 xFF x，性质3：F(x)右连续，即 00limxxF xF x2.离散型随机变量及其分布律1)离散型随机变量的分布律定义：设X是离散型随机变量，X可能的取值为x1，x2，则称PX=xi=pi （i=1，2，）为离散型随机变量X的概率分布律或分布律。由概率定义知，离散型随机变量的分布律具有如下性质：（1）非负性：pi0（i=1，2，）；（2）归一性：。1iip 2)常用离散型分布（1）两点分布（0-1）分布）：PX=1=p，PX=0=1p （0p1）（2）二项分布：Xb(n，p)，PX=k=Cknpk(1p)nk (k=0，

3、1，n；0p1;n和p是参数)（3）泊松分布:X()，e0,1,)!kP Xkknk（4）超几何分布:0,1,min,kn kDN DnNC CP Xkkn DC（5）几何分布:PX=k=(1p)k1p (k=1，2，；0p1)3.连续型随机变量及其密度函数1)密度函数及其性质定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，并称X的分布为连续型分布。dxF xP Xxf xx密度函数f(x)具有以下性质：（1）f(x)0 (x+)；（2）；（3）对任意实数x1、x2(x1x2)，有（4）若f(x)在点x处连续

4、，则有F(x)=f(x)。d1f xx 211221dxxP xXxF xF xfxx定理：设X为任意一个连续型随机变量，F(x)与f(x)分别是它的分布函数与密度函数，则（1）对任意一个常数a(a+)，有PX=a=0；（2）对任意两个常数a、b（ab+），有 PaXb=PaXb=PaXb=PaXb=2)三种重要的连续型分布（1）均匀分布：XU(a，b)，（2）指数分布:Xe()，（3）正态分布:XN(，2)，引理1：若XN(，2)，则Y=aX+bN(a+b，a22)(a0)。引理2：若XN(，2)，则N(0，1)。X 4.随机变量函数的分布1)离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的分布

5、律为则随机变量函数Y=g(X)的分布律可由下表求得,即2)连续型随机变量函数的分布设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)，则随机变量Y=g(X)的分布函数为 dyYyXIFyP YyP g XyP XIfxx其中，XIy与g(X)y是等价的随机事件，而Iy=x|g(x)y是实数轴上的某个集合，随机变量Y的概率密度函数fY(y)可由fY(y)=FY(y)得到。定理：设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)（x0（或恒有g(x)0时，当c0时，【例例2.8】设连续型随机变量X的密度函数为求:（1）Y=2X+3；（2）Y=X2的密度函数。解 （1）由Y=2X+3有23yx32yx12x，所

6、以（2）利用分布函数法求解，即所以第四节第四节 习习 题题 全全 解解2.1 下列给出的数列，哪些是随机变量分布律，并说明理由。解 （1）因为pk0(k=0，1，2，3，4，5)，且5012345012345011515151515kkppppppp所以,0,1,2,3,4,515kkpk满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。（2）因为23532063p 所以25,0,1,2,36kkpk不满足概率分布的条件，故该数列不是随机变量分布律。（3）因为10,2,3,4,54kpk，且523452111114444kkppppp所以1,1,2,3,4,525kkpk满足概率分布的条件，故该数

7、列是随机变量分布律。2.2 设随机变量X的分布函数为F(x)=+arctanx (x+)试求：（1）常数和；（2）随机变量X落在区间(1，1内的概率。解 （1）根据分布函数的性质知02F 12F，解得11,2（2）由（1）知 11arctan,2F xxx 故随机变量X落在区间(1，1内的概率为 11111111arctan1arctan122PXFF1111144442 2.3 一个袋中装有5个编号为1、2、3、4、5的乒乓球，从袋中同时取3只，以X表示取出的3只乒乓球中的最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。解 事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓球中的最大号码，所以X的分布律为

8、22351310CP XC23353410CP XC24356510CP XC或写成下面求X的分布函数F(x)。当x3时，Xx是不可能事件，因此F(x)=0当3x4时，Xx等同于X=3，因此 1310F xP X 34F xP XP X134101010当4x5时，Xx等同于X=3或X=4，因此当x5时，Xx为必然事件，因此F(x)=1综上可得，F(x)的分布函数为2.4 试确定常数a，使成为某个随机变量X的分布律，并求：（1）PX1；（2）0,1,2,33kaP Xkk1522PX解 由于，因此。而301kkp3013kka33012300111114033333327kkkkaaaa因此由

9、等式解得40127a 2740a 将代入原式得2740a 310,1,2,340 3kP Xkk（1）对于该题X1等价于X=0或X=1，因此279361010.9404040P XP XP X（2）对于该题等价于X=1或X=2，因此1522X93121120.3404040P XP XP X2.5 从含有10个黑球及3个白球的袋中一个一个随机摸球，在下列三种情形下，分别求出直到摸到黑球为止所需次数X的分布律：（1）每次取出的球，待观察颜色后，立即放回袋中再取下一个；（2）每次取出的球都不放回袋中；（3）每次取出一个球后总是放回一个黑球。解 （1）事件“X=1，2，3，k”表示摸到黑球所需要的次

10、数，所以X的分布律为13101313kP Xk或写成（2）作不放回抽取时，由于白球共3个，至多到第4次抽取便会抽到黑球，所以X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成（3）由于每次取出一球后总放回一个黑球，所以至多到第4次抽取时便可取到黑球，因此X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成2.6 设离散型随机变量X的分布函数为且，试求常数a、b的值和X的分布律。122P X 解 X的分布律为据题意，故122P X 21232ab 再利用分布律的归一性知a+b=1将和联立方程组解得代入X的分布律中有2.9 设随机变量X的密度函数为试求：（1）常数a；（2）X的分布函数F(x)。解

11、（1）由于，即 d1f xx 112001dd122af xxax xax故a=2（2）由(1)得X的密度函数为由定义，得 dxF xf tt当x0时，F(x)=0当0 x1时，20d2 dxxF xf ttt tx当0 x1时，所以X的分布函数为当x1时，2.10 设随机变量X的密度函数为 （1）求常数a；（2）求X的分布函数F(x)；（3）画出f(x)和F(x)的图形。解 （1）由于，即 d1f xx 2122120101ddd2211 22122xxf xxx xaxxaxaa故a=2（2）由（1）得X的密度函数为由定义，得当x0时，F(x)=0当0 x1时，dxF xf tt 200d

12、0dd2xxxF xf tttt t当1x2时，20101d0dd2d122xxxF xf tttt tttx 当x2时，012012d0dd2d0d1xxF xf tttt tttt所以X的分布函数为（3）图21所示为f(x)的图形，图22所示为F(x)的图形。图2-1图2-22.11 设随机变量X的密度函数为f(x)=ae|x|(x+)试求：（1）常数a；（2）P1X2；（3）X的分布函数F(x)。解 （1）由于，即 d1fxx 0000de de d ee21xxxxf xxaxaxaaa故12a。（2）由（1）得X的密度函数为由连续型随机变量的性质可得（3）由定义，得当x0时，dxF

13、xf tt 111de dee222xxxttxF xf ttt当x0时，000011de de d22111 ee1e222xxttxttxF xf tttt 所以X的分布函数为2.12 设随机变量X的分布函数为试求：（1）常数a；（2）PX4；（3）P3X4；（4）PX=2.5；（5）X的密度函数f(x)。解 （1）根据分布函数的性质知F(x)是右连续的，故 即1a=0所以a=1。（2）由（1）知X的分布函数为 由F(x)的形式知Xe(0.4)，故X为连续型随机变量。根据连续型随机变量的性质知PX=4=0，所以PX4=1PX4=1F(4)=1(1e0.44)=e1.6（3）P3X4=P30

14、时，f(x)=F(x)=(1e0.4x)=0.4e0.4x当x0时，f(x)=F(x)=0故X的密度函数为2.16 设XN(3，22)。（1）求P2X5，P42，PX3；（2）确定c，使得PXc=PXc；（3）设d满足PXd0.9015，问d至多为多少？解 （1）随机变量X服从正态分布，且=3，=2,故对于任意区间(x1，x2有21123322xxP xXx53232522PX 10.5110.50.84131 0.69150.8413 1 0.6915 0.5328 1034341022PX 3.53.53.513.50.99981 0.99980.9998 1 0.9998 0.9996

15、212122PXPXPX 2323110.52.522 110.512.51 0.99380.6915 0.6977 PX3=1PX3=1F(3)因为 xF x所以 3331100.52P X （2）对于XN(3，22)有=3,因为正态概率密度曲线关于直线x=对称,所以有PX=PX故c=3（3）由PXd0.9015得1PXd0.9015即所以故因为分布函数(x)是一个不减函数，故解得2.17 设随机变量X的密度函数为（1）求常数a的值；（2）X服从什么分布?参数是多少？24e,xxf xax 解（1）依题意有24ed1xxax又2222111424ededeed 2 eed2 e xxxxxt

16、axaxaxata 于是得到，即2 e 1a11e4a（2）由（1）知X的密度函数为 2222122411ee,422xxxf xx 即X服从正态分布，且，记做XN(2，2)。2,22.18 设随机变量X的分布律为分别求Y=X2，Z=3X+1，W=|X|1的分布律。解 Y所有可能取值为0、1、4，因为PY=0=PX2=0=PX=0=0.4PY=1=PX2=1=PX=1=0.3PY=4=PX2=4=PX=2+PX=2=0.2+0.1=0.3所以Y的分布律为 Z所有可能取值为5、2、1、7，因为PZ=5=PX=2=0.2PZ=2=PX=1=0.3PZ=1=PX=0=0.4PZ=7=PX=2=0.1

17、所以Z的分布律为 W所有可能取值为1、0、1，因为PW=1=PX=0=0.4PW=0=PX=1=0.3PW=1=PX=2+PX=2=0.2+0.1=0.3所以Z的分布律为2.19 设随机变量X的密度函数为分别求随机变量Y=X2，Z=2X，W=X+1的密度函数。解 Y的分布函数为当0y1时，200d2 dyyyXyPyXyfxxx xxy当y1时，11200d2 d1yXyPyXyfxxx xx所以Y的分布函数为因此 Z的分布函数为当z0时,22222000d2 d24zzzXzzP Xfxxx xx当0z2时，当z2时，1011200d0d2 d12XzP Xfxxxx xx所以Z的分布函数为

18、因此2.20 设随机变量X的密度函数为试求：（1）常数a的值；（2）Y=arctanX的密度函数；（3）Z=X2的密度函数。2,1afxxx 解解 （1）根据题意有2d11axx又221ddarctan1122axaxaxaaxx图2-3所示。图2-3 于是a=1，即故X的密度函数为1a 21,1fxxx （2）方法一:Y的分布函数为而所以Y的分布函数为 0,21,2221,2YyyFyyy 因此 1,220,YYyfyFy其他（3）Z的分布函数为 2,00,0ZPzXzzFzP ZzP Xzz 而 21dd 1zzXzzPzXzfxxxx12arctanarctanzzxz所以Z的分布函数为因此2.21 设随机变量X在区间(1，2)内服从均匀分布,随机变量试求随机变量Y的分布律。解 因为X在区间(1，2)内服从均匀分布，故X的分布函数为 0,11,1231,2xxF xxx 又Y的所有可能取值为1、0、1，由 11010013P YP XPXFF 000P YP X121010133P YP XP X 即得Y的分布律为