2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——解直角三角形及其应用.docx

1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 解直角三角形及其应用 学生版知识清单梳理知识点一锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义如图，在RtABC中，C90，ABc，BCa，ACb，则sin Aac，cos Abc，tan Aab.2.特殊角的三角函数值（1）sin 30 ；cos 3032；tan 3033.（2）sin 4522；cos 4522；tan 45 .（3）sin 6032；cos 60 ；tan 603.知识点二解直角三角形3.解直角三角形由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形.4.直角三角形中的边角关系如图，在RtABC中，C90，a，b，

2、c分别为A，B，C的对边.（1）三边关系为 .（2）三角的关系为 .（3）边角关系为sin Aac，cos Abc，tan Aab.知识点三解直角三角形的应用5.（1）仰角、俯角：如图1，图中仰角是 ，俯角是 .（2）坡度（坡比）、坡角：如图2，坡角为 ，坡度（坡比）itan .（3）方向角：如图3，A点位于O点的 方向，B点位于O点的 方向，C点位于O， 点的 方向.高频考点过关考点一锐角三角函数 1.（2024槐荫二模）如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上.O过点A，E且与AB交于点C，点D是O上一点，则tanCDE .2.（2024市中一模）计算：42cos 60131（2 0

3、24）0.考点二解直角三角形3.如图，在ABC中，ABAC5，sin B45，则BC的长是（ ）A.3B.6C.8D.94.在ABC中，D是BC上的一点，且DAC30，过点D作EDAD交AC于点E，AE4，EC2.（1）求证：ADCD；（2）若tan B3，求线段AB的长.考点三解直角三角形的应用考法一仰角、俯角问题5.（2022济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上点C测得最高点A的仰角为22，再向前70 m至点D，又测得最高点A的仰角为58，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1 m.参考数据：sin 220.37， tan 22

4、0.40，sin 58 0.85，tan 581.60）A.28 mB.34 mC.37 mD.46 m6.（2024历城一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD8 m，CD的坡度为i13，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27.（1）求DE的长；（2）求塔AB的高度.（结果精确到1 m）（参考数据： tan 270.5，31.7）考法二坡度、坡角问题7.（2024东南片区一模）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先

5、步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.（结果精确到0.1 min）（参考数据：sin 530.80，cos 530.60，tan 531.33）考法三方向角问题8.（2023历下九校联考）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在

6、Q的北偏西70方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）A.200tan 70米B.200tan70米C.200sin 70米D.200sin70米9.（2023章丘二模）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上.（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.（结果保留根号）（参考数据：sin 37cos 530.

7、60，cos 37sin 530.80，tan 372，tan 764）考法四实物模型问题10.（2024历下一模）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够.现在为使房前的纳凉区域增加到2.76 m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长.测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4 m，其与墙面的夹角BAD70，其靠墙端离地高AD为3.5 m.通过查阅资料，了解到本地夏日正

8、午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角CFE）最小为60，若假设此时房前恰好有2.76 m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可.解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出CFE为60时，BC长度.运算过程.该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分.（结果精确到0.01 m，参考数据：sin 700.940，cos 700.342，tan 702.747，31.732）达标演练检测1.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基

9、地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan 430.9，sin 430.7，cos 350.8，tan 350.7，结果保留整数）A.188 mB.269 m C.286 mD.312 m2.如图，等边ABC钢架的立柱CDAB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，BED60.则新钢架减少用钢（ ）A.（24123） mB.（2483） mC.（2463） mD.（2443） m3.（2023槐荫二模）如图，ABC在边

10、长为1个单位的方格纸中，ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC的正切值为 .4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处.这时，B处距离A处 海里.（参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan 370.75）5.（2024历下一模）计算：2（2）01314tan 45.6.（2023历下二模）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i12（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB

11、的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面CF行走了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号.参考数据：sin 140.24，cos 140.97，tan 140.25）（1）求点D到地面的垂直高度DE的长；（2）求楼AB的高度.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 解直角三角形及其应用 学生版知识清单梳理知识点一锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义如图，在RtABC中，C90，ABc，BCa，ACb，则sin Aac，cos Abc，tan Aab.2.特殊角的三角函数值（1）sin 3012；cos 3032；tan 3

12、033.（2）sin 4522；cos 4522；tan 451.（3）sin 6032；cos 6012；tan 603.知识点二解直角三角形3.解直角三角形由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形.4.直角三角形中的边角关系如图，在RtABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边.（1）三边关系为a2b2c2.（2）三角的关系为ABC.（3）边角关系为sin Aac，cos Abc，tan Aab.知识点三解直角三角形的应用5.（1）仰角、俯角：如图1，图中仰角是1，俯角是2.（2）坡度（坡比）、坡角：如图2，坡角为，坡度（坡比）itan l.（3）方向角：

13、如图3，A点位于O点的北偏东30方向，B点位于O点的南偏东60方向，C点位于O， 点的北偏西45（或西北）方向.高频考点过关考点一锐角三角函数 1.（2024槐荫二模）如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上.O过点A，E且与AB交于点C，点D是O上一点，则tanCDE12.2.（2024市中一模）计算：42cos 60131（2 024）0.解：42cos 60131（2 024）02212315.考点二解直角三角形3.如图，在ABC中，ABAC5，sin B45，则BC的长是（B）A.3B.6C.8D.94.在ABC中，D是BC上的一点，且DAC30，过点D作EDAD交AC于点E，A

14、E4，EC2.（1）求证：ADCD；（2）若tan B3，求线段AB的长.（1）证明：EDAD，ADE90.在RtADE中，DAE30，AE4，DEA60，DE12AE2.EC2，DEEC，EDCC.又EDCCDEA60，C30DAE，ADCD.（2）解：如图，过点A作AFBC于点F，则AFCAFB90.AE4，EC2，AC6.在RtAFC中，AFC90，C30，AF12AC3.在RtAFB中，AFB90，tan B3，BFAFtanB1，ABAF2BF210.考点三解直角三角形的应用考法一仰角、俯角问题5.（2022济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上点C测

15、得最高点A的仰角为22，再向前70 m至点D，又测得最高点A的仰角为58，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（C）（精确到1 m.参考数据：sin 220.37， tan 220.40，sin 58 0.85，tan 581.60）A.28 mB.34 mC.37 mD.46 m6.（2024历城一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD8 m，CD的坡度为i13，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27.（1）求DE的长；（2）求塔AB的高度.（结

16、果精确到1 m）（参考数据： tan 270.5，31.7）解：（1）由题意得：DEEC，在RtDEC中，CD的坡度为i13，CD8，tanDCEDECE1333，DCE30，DE12CD4（m），即DE的长为4 m.（2）过点D作DFAB，垂足为F.根据题意得：DEEA，ABAE，四边形AEDF是矩形，DFEA，FADE4 m，设ACx m，在RtDEC中，ECCDcosDCE8cos 3083243（m），DFAECEACx43，在RtACB中，BCA45，ABACtanBCAACtan 45x，在RtBDF中，BDF27，BFDFtanBDFDFtan 270.5（x43），BFAFAB

17、，0.5（x43）4x，解得：x43815，AB15 m.答：塔AB的高度约为15 m.考法二坡度、坡角问题7.（2024东南片区一模）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.（结果精确到0.1 min）（参考数据：sin 53

18、0.80，cos 530.60，tan 531.33）解：（1）如图，过B点作BCAF于点C，BEDF于点E，则四边形BEFC是矩形.在RtABC中，ACB90，A30，AB300 m，EFBC12AB150 m，DEDFEF600150450（m），答：登山缆车上升的高度DE为450 m.（2）在RtBDE中，DEB90，DBE53，DE450 m，BDDEsin534500.8562.5（m），从山底A处到达山顶D处大约需要：30030562.56019.37519.4（min），答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min.考法三方向角问题8.（2023历下九校联考）如图，为了测量

19、一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70方向，则河宽（PT的长）可以表示为（B）A.200tan 70米B.200tan70米C.200sin 70米D.200sin70米9.（2023章丘二模）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上.（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前

20、去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.（结果保留根号）（参考数据：sin 37cos 530.60，cos 37sin 530.80，tan 372，tan 764）解：（1）在ABC中，ACB180BBAC180375390.在RtABC中，sin BACAB，所以ACABsin 37250.615（海里）.答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.（2）过点C作CMAB，垂足为M，由题意易知，D，C，M在一条直线上.在RtACM中，CMACsinCAM150.812（海里），AMACcosCAM150.69（海里）.在RtADM中，tanDAMMDAM，所以MDAM

21、tan 7636（海里）.所以ADAM2MD292+362917（海里），CDMDMC24（海里）.设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2416917v，解得v617.经检验，v617是原方程的解.答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.考法四实物模型问题10.（2024历下一模）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够.现在为使房前的纳凉区域增加到2.76 m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度

22、BC的长.测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4 m，其与墙面的夹角BAD70，其靠墙端离地高AD为3.5 m.通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角CFE）最小为60，若假设此时房前恰好有2.76 m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可.解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出CFE为60时，BC长度.运算过程.该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分.（结果精确到0.0

23、1 m，参考数据：sin 700.940，cos 700.342，tan 702.747，31.732）解：（1）如图1，作BMAD于点M，AB4 m，BAD70.在RtBAM中，sinBAMBMAB，即sin 70BM4，BMsin 7040.94043.76 m， 答：遮阳篷前端B到墙面AD的距离约为3.76 m.（2）解：如图2，作BMAD于点M，CHAD于点H，延长BC交DE于点K，则BKDE.四边形BMHC、四边形HDKC是矩形，由（1）得BM3.76 m，DKHCBM3.76 m，在RtABM中，cosBAMAMAB，即cos 70AM4，AMcos 7040.34241.368（

24、m），由题意，得DF2.76 m，FKDKDF3.762.761（m），RtCFK中，tanCFKCKFK，即tan 60CK1，CK1tan 6011.7321.732（m），BCADAMCK3.51.3681.7320.40（m），答：挡沿部分BC的长约为0.40 m.达标演练检测1.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35，则M，N之间的距离为（C）（参考数据：tan 430.9，sin 430.

25、7，cos 350.8，tan 350.7，结果保留整数）A.188 mB.269 m C.286 mD.312 m2.如图，等边ABC钢架的立柱CDAB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，BED60.则新钢架减少用钢（B）A.（24123） mB.（2483） mC.（2463） mD.（2443） m3.（2023槐荫二模）如图，ABC在边长为1个单位的方格纸中，ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC的正切值为 12.4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处.这时，B处距离A处

26、140海里.（参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan 370.75）5.（2024历下一模）计算：2（2）01314tan 45.解：2（2）01314tan 45213410.6.（2023历下二模）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i12（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面CF行走了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号.参考数据：sin 140.24，c

27、os 140.97，tan 140.25）（1）求点D到地面的垂直高度DE的长；（2）求楼AB的高度.解：（1）i12，即DECE12.设DEx米，则CE2x米.由勾股定理得DE2CE2CD2，即x24x2202，解得x45.答：点D到地面的垂直高度DE的长为45米.（2）如图，过点D作DGAB于点G.DEBE，ABBE，四边形DEBG是矩形，BGDE，DGBE.ABBE，ACB45，ABBC.由（1）知DE45米，CE2DE85米.设ABBCy米，DGBECEBC（85y）米，AGABBGABDE（y45）米.在RtADG中，AGDGtan 14，即y45（85y）0.25，解得y85.答：楼AB的高度为85米.