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1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 三角形的基本概念及性质 学生版知识清单梳理知识点一三角形的概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.三角形有三条边、三个顶点和三个内角.三角形具有稳定性.2.三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.按边分：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等腰三角形（底腰） 知识点二三角形的边、角关系3.三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和 第三边；（2）三角形任意两边之差 第三边.4.三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于 ；特别地，当有一个内角是90时，其余的两个内角互余；（2）三角形的外角和等

2、于 ；（3）三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.5.三角形的边角关系：同一个三角形中，等角对等边，大边对大角.知识点三三角形中的重要线段6.中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.三角形三条中线的交点，叫作这个三角形的重心.一个三角形有3条中线，都在三角形的内部.示例：如图，BD BC.SABDSACD12SABC.7.高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线.三角形三条高线的交点，叫作三角形的垂心.一个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三

3、角形的外部.示例：如图，AD ，即ADBADC .8.角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心.一个三角形有3条角平分线，都在三角形的内部.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.示例：如图，BAD 12BAC，SABDSACDABACBDCD.9.中位线：连接三角形两边的中点的线段叫作三角形的中位线.一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.示例：如图，DEBC且DE BC，SADES

4、ABC14，SADES四边形BCED13.10.垂直平分线：经过线段的中点，且垂直这条线段的直线.三角形三条边的垂直平分线的交点是该三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等.示例：如图，DE垂直平分AC，ADCD，AECE，DEAC，即ADECDE90，EADECD.【温馨提示】三角形内角平分线的交点，就是三角形内切圆的圆心，三角形三边垂直平分线的交点，就是三角形外接圆的圆心，复习时可联系三角形的内切圆与外接圆.高频考点过关考点一三角形的三边关系 1.等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根，则这个三角形的周长为（ ）A.17或13B.13或21C.17D.13考点二三角形内角

5、和定理及其推论2.（2024高新一模）如图，在ABC中，ABAC，点M在CA的延长线上MNBC于点N，交AB于点O，若AO3，BO4，则MC的长度为（ ）A.12B.9C.10D.113.如图，在ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若A45，CED70，则C的度数为（ ）A.45 B.50 C.60D.65考点三三角形中的重要线段及相关计算4.如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（ ）A.DEBCB.ADEABCC.BC2DED.SADE12SABC5.如图，在RtABC中，ACB90，DE垂直平分AB交BC于点D，若ACD的周长为50 cm，则ACB

6、C（ ）A.25 cmB.45 cmC.50 cmD.55 cm达标演练检测1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A.1，3，4B.2，2，7C.4，5，7D.3，3，62.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是ABC的（ ）A.角平分线B.高线C.中位线D.中线3.如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，BC的中点分别为M，N，若MN3米，则AB（ ）A.4米B.6米C.8米D.10米4.将一个含30角的三角尺和直尺如图放置，若150，则2的度数是（ ）A.30B.40C.50D.605.如图，在ABC中，AB8，AC5，AD为中线，则ABD与ACD的周长之差为

7、（ ）A.2B.3C.4D.56.如图，点G为ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB4.4，AC3.4，BC3.6，则EF的长度为（ ）A.1.7B.1.8C.2.2D.2.47.如图，在ABC中，ABAC，点D在AC边上，过ABD的内心I作IEBD于点E，若BD10，CD4，则BE的长为（ ）A.6B.7C.8D.98.如图，ABC中，BCD30，ACB80，CD是边AB上的高，AE是CAB的平分线，则AEB的度数是 .9.清初数学家梅文鼎在著作平三角举要中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地

8、设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角ABC的高，则BD12BCAB2AC2BC.当AB7，BC6，AC5时，CD .10.如图，在ABC中，若DEBC，FGAC，BDE120，DFG115，则C .提分微专题5角平分线的辅助线作法模型一遇角一边的垂线，考虑作另一边垂线，利用角平分线的性质条件：如图，P是MON的平分线上一点，已知PAOM，垂足为A.辅助线作法：作PBON于点B.结论：PAPB，RtAOPRtBOP.跟踪练习1.如图，在ABC中，A90，AB8，AC15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两

9、弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 .2.如图，在ABC中，B45，C60，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E.若DE3，则BC的长为 .模型二遇角平分线的垂线，考虑延长垂线构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质条件：如图，P是MON的平分线上一点，已知APOP.辅助线作法：延长AP，交ON于点B.结论：AOB是等腰三角形，OP垂直平分AB，RtAOPRtBOP.跟踪练习3.（2024高新二模）如图，ABC的面积为9 cm2，BP平分ABC，APBP于点P，连接PC，则PBC的面积为（ ）A.3 cm2B.4 cm2C.4.5 cm2D.5 cm24.如

10、图，在正方形ABCD中，连接对角线AC，AE平分BAC交BC于点E，过点C作CFAE的延长线于点F.（1）求证：AE2CF；（2）若CE2，求BE的长.模型三遇角平分线（或边）上一点，考虑作平行线构造等腰三角形1.条件：如图，P是AOB的平分线OC上一点.辅助线作法：过点P作PMOB，交OA于点M.结论：POM是等腰三角形，MOPBOPOPM.2.条件：如图，OC是AOB的平分线，D是OA上一点.辅助线作法：过点D作DEOC，交BO的延长线于点E.结论：EOD是等腰三角形.跟踪练习5.如图，在等腰ABC中，ABAC8，BC4，BD平分ABC交AC于点D，则AD的长为 .模型四遇非特殊位置线段，

11、考虑构造轴对称图形条件：如图，在ABC中，AD平分BAC.辅助线作法截长法：如图1，在AC上截取AEAB，连接DE.结论：ABDAED.辅助线作法补短法：如图2，延长AB至点F，使 AFAC，连接DF.结论：AFDACD.跟踪练习6.如图，APBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D.若AB4，AD1，则BC的长为 .7.如图，在ABC中，BD平分ABC交AC于点D，E是BD的中点，若AB2BC，AD5，求CE的长.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 三角形的基本概念及性质 教师版知识清单梳理知识点一三角形的概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线

12、段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.三角形有三条边、三个顶点和三个内角.三角形具有稳定性.2.三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.按边分：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等腰三角形（底腰）等边三角形知识点二三角形的边、角关系3.三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边；（2）三角形任意两边之差小于第三边.4.三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于180；特别地，当有一个内角是90时，其余的两个内角互余；（2）三角形的外角和等于360 ；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.5.三角形的边角关系：

13、同一个三角形中，等角对等边，大边对大角.知识点三三角形中的重要线段6.中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.三角形三条中线的交点，叫作这个三角形的重心.一个三角形有3条中线，都在三角形的内部.示例：如图，BDCD12BC.SABDSACD12SABC.7.高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线.三角形三条高线的交点，叫作三角形的垂心.一个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部.示例：如图，ADBC，即ADBADC90.8.角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个

14、角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心.一个三角形有3条角平分线，都在三角形的内部.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.示例：如图，BADCAD12BAC，SABDSACDABACBDCD.9.中位线：连接三角形两边的中点的线段叫作三角形的中位线.一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.示例：如图，DEBC且DE12BC，SADESABC14，SADES四边形BCED13.10.垂直平分线：经过线段的中点，且垂直这条线段的直线.三角形三

15、条边的垂直平分线的交点是该三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等.示例：如图，DE垂直平分AC，ADCD，AECE，DEAC，即ADECDE90，EADECD.【温馨提示】三角形内角平分线的交点，就是三角形内切圆的圆心，三角形三边垂直平分线的交点，就是三角形外接圆的圆心，复习时可联系三角形的内切圆与外接圆.高频考点过关考点一三角形的三边关系 1.等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根，则这个三角形的周长为（C）A.17或13B.13或21C.17D.13考点二三角形内角和定理及其推论2.（2024高新一模）如图，在ABC中，ABAC，点M在CA的延长线上MNBC于点N，交A

16、B于点O，若AO3，BO4，则MC的长度为（C）A.12B.9C.10D.113.如图，在ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若A45，CED70，则C的度数为（D）A.45 B.50 C.60D.65考点三三角形中的重要线段及相关计算4.如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（D）A.DEBCB.ADEABCC.BC2DED.SADE12SABC5.如图，在RtABC中，ACB90，DE垂直平分AB交BC于点D，若ACD的周长为50 cm，则ACBC（C）A.25 cmB.45 cmC.50 cmD.55 cm达标演练检测1.下列长度的三条线段，能组成

17、三角形的是（C）A.1，3，4B.2，2，7C.4，5，7D.3，3，62.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是ABC的（B）A.角平分线B.高线C.中位线D.中线3.如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，BC的中点分别为M，N，若MN3米，则AB（B）A.4米B.6米C.8米D.10米4.将一个含30角的三角尺和直尺如图放置，若150，则2的度数是（B）A.30B.40C.50D.605.如图，在ABC中，AB8，AC5，AD为中线，则ABD与ACD的周长之差为（B）A.2B.3C.4D.56.如图，点G为ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F

18、，连接EF，若AB4.4，AC3.4，BC3.6，则EF的长度为（A）A.1.7B.1.8C.2.2D.2.47.如图，在ABC中，ABAC，点D在AC边上，过ABD的内心I作IEBD于点E，若BD10，CD4，则BE的长为（B）A.6B.7C.8D.98.如图，ABC中，BCD30，ACB80，CD是边AB上的高，AE是CAB的平分线，则AEB的度数是100.9.清初数学家梅文鼎在著作平三角举要中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角ABC的高，则BD12BCAB2AC2BC.当AB7，

19、BC6，AC5时，CD1.10.如图，在ABC中，若DEBC，FGAC，BDE120，DFG115，则C55.提分微专题5角平分线的辅助线作法模型一遇角一边的垂线，考虑作另一边垂线，利用角平分线的性质条件：如图，P是MON的平分线上一点，已知PAOM，垂足为A.辅助线作法：作PBON于点B.结论：PAPB，RtAOPRtBOP.跟踪练习1.如图，在ABC中，A90，AB8，AC15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为245.2.如图，在ABC中，B45，C60，A

20、D平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E.若DE3，则BC的长为26.模型二遇角平分线的垂线，考虑延长垂线构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质条件：如图，P是MON的平分线上一点，已知APOP.辅助线作法：延长AP，交ON于点B.结论：AOB是等腰三角形，OP垂直平分AB，RtAOPRtBOP.跟踪练习3.（2024高新二模）如图，ABC的面积为9 cm2，BP平分ABC，APBP于点P，连接PC，则PBC的面积为（C）A.3 cm2B.4 cm2C.4.5 cm2D.5 cm24.如图，在正方形ABCD中，连接对角线AC，AE平分BAC交BC于点E，过点C作CFAE的延长线于

21、点F.（1）求证：AE2CF；（2）若CE2，求BE的长.（1）证明：AE平分BAC交BC于点E，且CFAE交AE的延长线于点F.如图1，分别延长AB和CF交于点G，GAFCAF，AFGAFC90，CFFG12GC.四边形ABCD是正方形，ABECBG90，ABBC，BAEAEB90，AFC90，BCGCEF90，BAEBCG.在BAE和BCG中，BAEBCG，ABCB，ABECBG，BAEBCG（ASA），AECG，CF12CG，AE2CF.（2）解：AE平分BAC，正方形ABCD中ABC90，如图2，过点E作EHAC于点H，（已知AE平分BAC，ABC90，考虑过点E向角的另一边作垂线）B

22、EEH，AC是正方形ABCD的对角线，ACB45，又EHC90，CEH是等腰直角三角形，EHCE2222，BEEH2.模型三遇角平分线（或边）上一点，考虑作平行线构造等腰三角形1.条件：如图，P是AOB的平分线OC上一点.辅助线作法：过点P作PMOB，交OA于点M.结论：POM是等腰三角形，MOPBOPOPM.2.条件：如图，OC是AOB的平分线，D是OA上一点.辅助线作法：过点D作DEOC，交BO的延长线于点E.结论：EOD是等腰三角形.跟踪练习5.如图，在等腰ABC中，ABAC8，BC4，BD平分ABC交AC于点D，则AD的长为163.模型四遇非特殊位置线段，考虑构造轴对称图形条件：如图，

23、在ABC中，AD平分BAC.辅助线作法截长法：如图1，在AC上截取AEAB，连接DE.结论：ABDAED.辅助线作法补短法：如图2，延长AB至点F，使 AFAC，连接DF.结论：AFDACD.跟踪练习6.如图，APBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D.若AB4，AD1，则BC的长为3.7.如图，在ABC中，BD平分ABC交AC于点D，E是BD的中点，若AB2BC，AD5，求CE的长.解：如图，延长BC至点F，使得CFBC，连接DF.AB2BC，BFBA，BD平分ABC，ABDFBD，又BDBD，BDFBDA（SAS），DFDA5，E为BD的中点，BCCF，CE为BDF的中位线，CE12DF52.