2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——二次函数的角度、相似问题（二阶）.docx

1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的角度、相似问题（二阶）学生版考法探究突破考法一相似三角形问题1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：（1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；（2）表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；（3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.考法二角度问题2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角

2、三角形求解或通过平行线求解.题型分类过关类型一相似存在性问题考法一相似为条件1.（2023天桥一模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y12x2bxc经过A（2，0），与y轴交于点B（0，4），直线x3与x轴交于点C.（1）求该抛物线的表达式.（2）正比例函数ykx的图象分别与线段AB，直线x3交于点D，E，当BDO与OCE相似时，求线段OD的长度.考法二相似三角形存在性2.（2023高新二模节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y34x3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线yx2bxc经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DCx轴于点C，交直线AB于点E.（1）求

3、抛物线的函数表达式；（2）是否存在点D，使得BDE和ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.类型二角存在性问题考法一特殊角3.（2023天桥二模节选）如图，抛物线yax2bx6（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得BMO45，过点O作OHOM交CB的延长线于点H，求点H的坐标.考法二相等角4.（2023槐荫二模节选）如图，已知以D为顶点的抛物线yax2bx3经过A（3，0），B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线x2.（1）求抛物线的表达式；（2）连接BC，BCO和ACD有怎样的数量关系，

4、请说明理由.考法三相等角为条件5.（2024历下一模节选）在平面直角坐标系xOy中，直线y12x1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：yax2bxc经过点A，且顶点在直线AB上.（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足ABCABO.若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由.考法四二倍角6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y12x2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线yx2bxc经过点A，B.点P为第四象限内抛物线上的一个动点.（1）求此抛物线的函数表达式.（2）当PBA2BAO时，求点P的坐标.考法五ABC型角

5、度问题 7.如图，抛物线yax2bx4经过点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CDx轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECDCAO90的点E的坐标.达标演练检测1.如图，已知二次函数yax2bxc（a0）的图象经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足DBACAO（O是坐标原点），求点D的坐标.2.（2023济阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ya（x3）24过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物

6、线的对称轴与x轴交于点D.（1）求a的值，并直接写出A，B两点的坐标；（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且BOP45，求点P的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y43x2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）.设点P的横坐标为m，过点P作PDx轴，垂足为点D.（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）若点P在第三象限，且tanCPD2，求m的值.4.如图，抛物线 y12x2x4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P 是抛物线上的一个动点，且点 P 的横坐

7、标为t（0t6），连接 AP，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于点 D，连接 DP.（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）当 t2 时，求证：ADP 是直角三角形；（3）连接 PC，过点 P 作 PEPC，交直线 AD 于点 E，连接 AC，CE，是否存在点 P，使得PCE 与 AOC 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的角度、相似问题（二阶）学生版考法探究突破考法一相似三角形问题1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：（1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；（2）表示边长：直接或间

8、接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；（3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.考法二角度问题2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解或通过平行线求解.题型分类过关类型一相似存在性问题考法一相似为条件1.（2023天桥一模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y12x2bxc经过A（2，0），与y轴交于点B（0，4），直线x3与x轴交于点C.（1）求该抛物线的表达式.（2）正比

9、例函数ykx的图象分别与线段AB，直线x3交于点D，E，当BDO与OCE相似时，求线段OD的长度.解：（1）抛物线y12x2bxc经过A（2，0），B（0，4）两点，12(2）22bc=0，c=4，解得b=1，c=4，该抛物线的表达式为y12x2x4.（2）A（2，0），B（0，4），OA2，OB4.在RtAOB中，ABOA2OB2224225.BDO与OCE相似，BDOOCE90.SAOB12OAOB12ODAB，122412OD25，OD455.考法二相似三角形存在性2.（2023高新二模节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y34x3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线yx2b

10、xc经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DCx轴于点C，交直线AB于点E.（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点D，使得BDE和ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）在y34x3中，令x0，得y3，令y0，得x4，A（4，0），B（0，3），将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线yx2bxc中，得42+4bc=0，c=3，解得b134，c=3，抛物线的函数表达式为yx2134x3.（2）存在.如图，过点B作BHCD于点H，设C（t，0），则Dt,t2134t+3，Et,34t+3，H（t，3）.EC34t3，AC4t，BHt，DHt2

11、134t，DEt24t.BDE和ACE相似，BEDAEC，BDEACE或DBEACE.当BDEACE时，BDEACE90，此时BDAC，可得D134，3.当DBEACE时，BDECAE.BHCD，BHD90，BHDHtanBDEtanCAECEAC，即BHACCEDH，t（4t）34t+3t2134t，解得t10（舍），t24（舍），t32312，D（2312，509）.综上所述，点D的坐标为134，3或2312，509.类型二角存在性问题考法一特殊角3.（2023天桥二模节选）如图，抛物线yax2bx6（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；

12、（2）若在线段BC上存在一点M，使得BMO45，过点O作OHOM交CB的延长线于点H，求点H的坐标.解：（1）抛物线yax2bx6经过点A（1，0），B（3，0）两点，ab+6=0，9a+3b+6=0，解得a2，b=4，抛物线的表达式为：y2x24x6.（2）由（1）得，点C（0，6）.设直线BC的表达式为ykxc，直线BC经过点B（3，0），C（0，6），3kc=0，c=6，解得k2，c=6，直线BC的表达式为y2x6.设点H的坐标为（m，2m6），如图，过点H作HKy轴于点K，过点M作MSy轴于点S.则MSOOKH90，OHOM，MOH90，BMO45，MOH是等腰直角三角形，OMOH.M

13、OSKOH90，OHKKOH90，MOSOHK，OMSHOK（AAS），MSOK，OSHK.M（2m6，m）.点M（2m6，m）在直线y2x6上，2（2m6）6m，解得m185，则2m665，当OMB45时，点H的坐标为185,65.考法二相等角4.（2023槐荫二模节选）如图，已知以D为顶点的抛物线yax2bx3经过A（3，0），B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线x2.（1）求抛物线的表达式；（2）连接BC，BCO和ACD有怎样的数量关系，请说明理由.解：（1）抛物线yax2bx3经过A（3，0），对称轴为直线x2.b2a2，9a3b+3=0，解得a=1，b=4，抛物线的表达式为yx24x

14、3.（2）令yx24x30，则（x1）（x3）0，解得x11，x23，A（3，0），B（1，0）.令x0，则y3，C（0，3），OB1，OC3，tanBCOOBOC13.当x2时，y1，D（2，1），而A（3，0），C（0，3），AD(2+3）2(10）22，CD(20）2(13）225，AC323232，AC2AD2CD2，CAD90，tanACDADAC23213tanBCO，ACDBCO.考法三相等角为条件5.（2024历下一模节选）在平面直角坐标系xOy中，直线y12x1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：yax2bxc经过点A，且顶点在直线AB上.（1）如图，当抛物线的顶点在点

15、B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足ABCABO.若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将x0代入y12x1，得y1，A（0，1），将y0代入y12x1，得x2，B（2，0）.抛物线M的顶点在点B（2，0）且过点A（0，1），设ya（x2）2，将A（0，1）代入ya（x2）2，得a14，抛物线的表达式为y14（x2）2.（2）作O关于AB的对称点O，则OOAB，设垂足为D，则点D为O与O的中点，如图所示.直线AB的表达式为y12x1，OO的表达式为y2x，联立y12x+1，y2x，解得x25，y45，即D25，45，O45，85.设直线

16、BO的表达式为ykxb，将点B（2，0）和点O45，85代入，可得0=2kb，8545kb，解得k43，b83，故直线BO的表达式为y43x83，联立y43x83，y14（x+2）2，则14（x2）243x83，解得x12（舍去），x2103.将x103代入y43x83，得y649，所以点C的坐标为103，649.考法四二倍角6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y12x2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线yx2bxc经过点A，B.点P为第四象限内抛物线上的一个动点.（1）求此抛物线的函数表达式.（2）当PBA2BAO时，求点P的坐标.解：（1）令x0，得y12x22，则B（0，2）.

17、令y12x20，解得x4，则A（4，0）.把A（4，0），B（0，2）代入yx2bxc中，得16+4bc=0，c2，解得b72，c2，抛物线的表达式为yx272x2.（2）设点A关于y轴的对称点为A，则ABAB.BAOBAO.直线AB交抛物线于点P.PBABAOBAO2BAO.A（4，0），A（4，0），设直线AB的表达式为ykxb（k0）.B（0，2），4kb=0，b2，解得k12b2，直线AB的表达式为y12x2.再令y12x2x272x2，得x23x0.解得x0（舍去）或x3.点P的坐标是3,72.考法五ABC型角度问题 7.如图，抛物线yax2bx4经过点A（2，0），点B（4，0），

18、与y轴交于点C，过点C作直线CDx轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECDCAO90的点E的坐标.解：（1）抛物线yax2bx4的图象经过点A（2，0），点B（4，0），4a2b+4=0，16a+4b+4=0，解得a12，b=1，抛物线的表达式为y12x2x4.（2）令x0，则y4，C（0，4）.如图，当点E位于直线CD下方时，过点E作EFCD，垂足为F，设满足条件的点Et,12t2t+4在抛物线上，则F（t，4），CFt，EF412t2t+412t2t，ECDCAO90，ACOCAO90，ECDACO，tanACOtanEC

19、D，即OAOCEFCF，2412t2tt，解得t10（舍去），t23，E3，52.当点E位于直线CD上方时，过点E作EF直线CD，垂足为F，设Es,12s2s+4，则F（s，4），CFs，EF12s2s4412s2s.根据题意，当ECDACO时，tanACOtanECD，即OAOCEFCF，2412s2ss，解得s10（舍去），s21，E1，92.所以，点E的坐标为3，52或1，92.达标演练检测1.如图，已知二次函数yax2bxc（a0）的图象经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足DBACAO（O是坐标原点）

20、，求点D的坐标.解：（1）由题意，得abc=0，16a+4bc=0，c=2，解得a12，b32，c=2，抛物线的表达式为y12x232x2.（2）当点D在x轴上方时，过点C作CDAB交抛物线于点D，如图.A，B关于抛物线的对称轴对称，C，D关于抛物线的对称轴对称，四边形ABDC为等腰梯形，CAODBA，即点D满足条件，D（3，2）.当点D在x轴下方时，DBACAO，BDAC，C（0，2），故可设直线AC的表达式为ykx2，把A（1，0）代入可求得k2，故直线AC的表达式为y2x2.可设直线BD的表达式为y2xm，把B（4，0）代入可求得m8，故直线BD的表达式为y2x8.联立直线BD和抛物线的

21、表达式可得y=2x8，y12x232x+2，解得x=4，y=0或x5，y18，D（5，18）.综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（5，18）.2.（2023济阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ya（x3）24过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求a的值，并直接写出A，B两点的坐标；（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且BOP45，求点P的坐标.解：（1）将点O的坐标代入抛物线表达式，得0a（03）24，解得a49，则抛物线的表达式为：y49（x3）24，则点B（3，4），由抛物线的对称性知，点A（6，0）.（2）过点P作PH

22、OB于点H.在RtOBD中，OD3，BD4，则OB5，则tanOBDODBD34tan ，则sin 35，设PH3x，则BH4x，PB5x，BOP45，则PHOH3x，则OB5BHOH3x4x，则x57，则PDBDBP45x37，即点P的坐标为3，37.3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y43x2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）.设点P的横坐标为m，过点P作PDx轴，垂足为点D.（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）若点P在第三象限，且tanCPD2，求m的值.解：（1）把点C（0，4）代入y43x2bxc，得c

23、4.把点A（1，0）代入y43x2bx4，得b83.抛物线的函数表达式为y43x283x4.（2）设Pm，43m283m4，如图，过点C作CGPD于点G，则PGCCGD90.C（0，4），OC4.PDx轴，PDO90.又DOC90，四边形DOCG是矩形，DGOC4，DOCGm，PGyGyP443m283m443m283m.tanCPD2CGPG2，m43m283m2，解得m1138，m20（舍去），故m的值是138.4.如图，抛物线 y12x2x4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P 是抛物线上的一个动点，且点 P 的横坐标为t（

24、0t6），连接 AP，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于点 D，连接 DP.（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）当 t2 时，求证：ADP 是直角三角形；（3）连接 PC，过点 P 作 PEPC，交直线 AD 于点 E，连接 AC，CE，是否存在点 P，使得PCE 与 AOC 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.（1）解：在y12x2x4中，令y0，得12x2x40，解得x12，x24.点A在点B的左侧，A（2，0），B（4，0）.令x0，得y4，C（0，4）.（2）证明：由（1）知B（4，0），C（0，4），OBOC4，CBO45.ADBC，DABCBO45，设直线AD

25、的表达式为yxb，将点A（2，0）的坐标代入，得02b，解得b2.故直线AD的表达式为yx2.令12x2x4x2，解得x2（舍去）或x6，D（6，8），AD2（26）20（8）2128.将x2代入y12x2x4中，得y4，点P的坐标为（2，4），AP2（22）2（04）232，DP2（62）2（84）2160，AD2AP212832160DP2，ADP是直角三角形.（3）解：存在点P.如图，过点P作PMy轴于点M，过点E作ENPM于点N.PEPC，CPE90AOC，分两种情况讨论：当PCEOAC时，有PCOAPEOC，PCPEOAOC12.Pt,12t2t+4，C（0，4），M0,12t2t+

26、4，PMt， CM412t2t+412t2t.PMCENP90，CPMPCM 90.CPMEPN 90，PCMEPN，PCMEPN，CMPNPMENPCPE12，PN2CM212t2tt22t，EN2PM2t，MNPMPNt（t22t）t23t，点E的纵坐标为12t2t42t12t2t4，Et2+3t,12t2t+4，将点E的坐标代入yx2中，得12t2t4（t23t）2，解得t2+2103或t22103（舍去）当PECOAC时，有PEOAPCOC，PEPCOAOC12，此时CMPNPMENPCEP2，PN12CM1212t2t14t212t，EN12PM12t，MNPMPNt14t212t14t232t，E14t232t,12t212t+4，将点E的坐标代入yx2中，得12t212t414t232t2，解得t4+2223或t42223（舍去）.综上所述，t的值为2+2103或4+2223.