2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——一元二次方程及其应用.docx

1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 一元二次方程及其应用 学生版知识清单梳理知识点一一元二次方程的有关概念1.一元二次方程：只含有 个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2bxc0（a，b，c为常数，a0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程.2.一般形式：ax2bxc0（a，b，c为常数，a0）.其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.知识点二一元二次方程的解法3.直接开平方法适用情况：（1）当方程缺少一次项时，即方程ax2c0（a0，ac0）；（2）形如（xm）2n（n0）的方程.4.配方法适用情况：（1）二次项系数化为1后，

2、一次项系数是偶数的一元二次方程；（2）各项的系数比较小且便于配方的情况.步骤：以2x28x40为例变形：将二次项系数化为1，即x24x20；移项：将常数项移到方程的右边，即x24x2；配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x24x424，即（x2）22； 求解：用直接开平方法求解，即x122，x222.5.公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为 （b24ac0）.步骤：（1）使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； （2）判断b24ac的正负：若b24ac 0，则原方程无解；若b24ac 0，将a，b，c代入公式时应注意其符号.6.因式分解法 适用情况

3、：（1）常数项为0，即方程ax2bx0（a0）；（2）一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.【温馨提示】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式.知识点三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7.b24ac叫作一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示，即b24ac.判别式的符号决定了方程根的情况，即（1）b24ac0方程有 的实数根.（2）b24ac0方程有 的实数根.（3）b24ac0方程 实数根.8.如果方程ax2bxc0（a0）的两个实数根是x1，x2，那么x1x2 ，x1x2 .知识点四一元二次方程的实际应用9.列

4、一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答.10.四个常见类型（1）增长率（下降率）等量关系：增长率增长量基础量100.设a为原来量，b为变化后的量，当x为平均增长率，2为增长次数，b ；当x为平均下降率，2为下降次数，b .（2）每每问题：总利润（售价成本）数量.【温馨提示】在每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，每涨价x元，则少卖的数量为xab件.（3）面积问题如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白 ；如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白 ；如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白 .（4）循环赛制问题单循环淘汰赛（握手）问题：设x队进行m场比赛，则m ；互赠照片问题：全班x人，每人向其他

5、人赠送一张，共赠送m张，则m .高频考点过关考点一一元二次方程的解法及解的应用1.（2023商河一模）若关于 x的一元二次方程（a1）x2xa210有一个根为 0，则 a 的值等于 .2.（2024莱芜实验模拟）已知x1是关于x的一元二次方程（m1）x23x10的一个根，则该方程的另一个根为 .3.（2023历城三校联考）设a是方程 x2x2 0230的一个根，则a2a1的值为 .考点二一元二次方程根的判别式4.（2024济南） 若关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A.m14B.m14C.m4D.m45.（2023济南）关于x的一元二次方程x24x2a0有实

6、数根，则a的值可以是 .（写出一个即可）6.（2024钢城一模）若关于x的一元二次方程x23xm0有两个相等的实数根，则实数m的值为 .7.（2024济阳一模）关于x的一元二次方程x24xc0没有实数根，则c的值可以是 .（写出一个即可）考点三一元二次方程根与系数的关系8.（2021济南）关于x的一元二次方程x2xa0的一个根是2，则另一个根是 .9.（2024济阳二模）若关于x的一元二次方程x2mx60有一个根为x2，则该方程的另一个根为 .10.（2023 历下九校联考）已知 x1，x2是一元二次方程 x24x30的两根，则 x1x2x1x2 .考点四一元二次方程的应用11.（2020济南

7、）如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为 m.12.（2023高新二模）一条长 64 cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于 160 cm2，其中较小正方形的边长为 cm.达标演练检测1.（2022章丘二模） 已知等腰ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于 x的一元二次方程12kx2（k3）x60 的两根，则ABC的周长为（ ）A.6.5B.7C.6.5 或 7D.82.若关于x的一元二次方程ax2bx10（a0）的一个解是x1，则2 025ab的值是 .3.（20

8、24东南片区一模）已知一元二次方程x23xm0的一个根为x11，则另一个根x2 .4.（2024高新一模）若关于x的一元二次方程x2xk0有两个相等的实数根，则k的值为 .5.若x3是关于x的方程ax2bx6的解，则2 0236a2b的值为 .6.（2024市中模拟）若关于x的一元二次方程（k2）x22kxk6有实数根，则k的取值范围为 .7.（2023 历下区三模）关于 x的一元二次方程 x2（2a3）xa210有两个实数根，则a的最大整数解是 .8.若关于x的一元二次方程x28xm0的两根为x1，x2，且x13x2，则m的值为 .9.若x1，x2是一元二次方程x23x50的两个根，则x12

9、x2x1x22的值是 .10.方程2x40的解也是关于x的方程x2mx20的一个解，则m的值为 .11.已知一元二次方程x23x40的两根是m，n，则m2n2 .12.已知a，b是方程x23x40的两根，则a24ab3 .13.已知方程x23x40的根为x1，x2，则（x12）（x22）的值为 .14.某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1 600元，则每件应降价 元.15.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月

10、份游客人数为2.5万人.这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是 .16.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 一元二次方程及其应用 教师版知识清单梳理知识点一一元二次方程的有关概念1.一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2bxc0（a，b，c为常数，a

11、0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程.2.一般形式：ax2bxc0（a，b，c为常数，a0）.其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.知识点二一元二次方程的解法3.直接开平方法适用情况：（1）当方程缺少一次项时，即方程ax2c0（a0，ac0）；（2）形如（xm）2n（n0）的方程.4.配方法适用情况：（1）二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；（2）各项的系数比较小且便于配方的情况.步骤：以2x28x40为例变形：将二次项系数化为1，即x24x20；移项：将常数项移到方程的右边，即x24x2；配方：方程两边同时加上一次项系数一

12、半的平方，即x24x424，即（x2）22； 求解：用直接开平方法求解，即x122，x222.5.公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为xbb24ac2a（b24ac0）.步骤：（1）使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； （2）判断b24ac的正负：若b24ac0，则原方程无解；若b24ac0，将a，b，c代入公式时应注意其符号.6.因式分解法 适用情况：（1）常数项为0，即方程ax2bx0（a0）；（2）一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.【温馨提示】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式.知识点三一元二次方程

13、根的判别式及根与系数的关系7.b24ac叫作一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示，即b24ac.判别式的符号决定了方程根的情况，即（1）b24ac0方程有两个不相等的实数根.（2）b24ac0方程有两个相等的实数根.（3）b24ac0方程没有实数根.8.如果方程ax2bxc0（a0）的两个实数根是x1，x2，那么x1x2ba，x1x2ca.知识点四一元二次方程的实际应用9.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答.10.四个常见类型（1）增长率（下降率）等量关系：增长率增长量基础量100.设a为原来量，b为变化后的量，当x为平均增长率，2为增长次

14、数，ba（1x）2；当x为平均下降率，2为下降次数，ba（1x）2.（2）每每问题：总利润（售价成本）数量.【温馨提示】在每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，每涨价x元，则少卖的数量为xab件.（3）面积问题如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白（a2x）（b2x）；如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白（ax）（bx）；如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白（ax）（bx）.（4）循环赛制问题单循环淘汰赛（握手）问题：设x队进行m场比赛，则mx（x1）2；互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则mx（x1）.高频考点过关考点一一元二次方程的解法及解的应用1.（2023商河一模）

15、若关于 x的一元二次方程（a1）x2xa210有一个根为 0，则 a 的值等于1.2.（2024莱芜实验模拟）已知x1是关于x的一元二次方程（m1）x23x10的一个根，则该方程的另一个根为x0.5.3.（2023历城三校联考）设a是方程 x2x2 0230的一个根，则a2a1的值为2 024.考点二一元二次方程根的判别式4.（2024济南） 若关于x的方程x2xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（B）A.m14B.m14C.m4D.m45.（2023济南）关于x的一元二次方程x24x2a0有实数根，则a的值可以是1（答案不唯一）.（写出一个即可）6.（2024钢城一模）若关于x的

16、一元二次方程x23xm0有两个相等的实数根，则实数m的值为94.7.（2024济阳一模）关于x的一元二次方程x24xc0没有实数根，则c的值可以是5（答案不唯一）.（写出一个即可）考点三一元二次方程根与系数的关系8.（2021济南）关于x的一元二次方程x2xa0的一个根是2，则另一个根是x3.9.（2024济阳二模）若关于x的一元二次方程x2mx60有一个根为x2，则该方程的另一个根为x3.10.（2023 历下九校联考）已知 x1，x2是一元二次方程 x24x30的两根，则 x1x2x1x21.考点四一元二次方程的应用11.（2020济南）如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建

17、两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为1m.12.（2023高新二模）一条长 64 cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于 160 cm2，其中较小正方形的边长为4cm.达标演练检测1.（2022章丘二模） 已知等腰ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于 x的一元二次方程12kx2（k3）x60 的两根，则ABC的周长为（B）A.6.5B.7C.6.5 或 7D.82.若关于x的一元二次方程ax2bx10（a0）的一个解是x1，则2 025ab的值是2 026.3.（2024东南片区一模）已知一元二次方程x23xm0

18、的一个根为x11，则另一个根x22.4.（2024高新一模）若关于x的一元二次方程x2xk0有两个相等的实数根，则k的值为14.5.若x3是关于x的方程ax2bx6的解，则2 0236a2b的值为2 019.6.（2024市中模拟）若关于x的一元二次方程（k2）x22kxk6有实数根，则k的取值范围为k32且k2.7.（2023 历下区三模）关于 x的一元二次方程 x2（2a3）xa210有两个实数根，则a的最大整数解是1.8.若关于x的一元二次方程x28xm0的两根为x1，x2，且x13x2，则m的值为12.9.若x1，x2是一元二次方程x23x50的两个根，则x12x2x1x22的值是15

19、.10.方程2x40的解也是关于x的方程x2mx20的一个解，则m的值为3.11.已知一元二次方程x23x40的两根是m，n，则m2n217.12.已知a，b是方程x23x40的两根，则a24ab32.13.已知方程x23x40的根为x1，x2，则（x12）（x22）的值为6.14.某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1 600元，则每件应降价4元.15.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万

20、人.这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是25.16.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.解：（1）设矩形ABCD的边ABx m，则边BC702x2（722x） m.根据题意得x（722x）640，化简得x236x3200，解得x116，x220.当x16时，722x723240当x20时，722x724032.答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈.（2）不能.理由如下：由题意得x（722x）650，化简得x236x3250.（36）2432540，一元二次方程没有实数根，羊圈的面积不能达到650 m2.