《微波技术基础》课件第7章.ppt

1、第第7章微波谐振器章微波谐振器7.1 微波谐振器的基本特性与参数微波谐振器的基本特性与参数 7.2 串联和并联谐振电路串联和并联谐振电路 7.3 传输线谐振器传输线谐振器 7.4 金属波导谐振腔金属波导谐振腔 7.5 介质谐振器介质谐振器 7.6 法布里法布里-珀罗谐振器珀罗谐振器 7.7 谐振器的激励谐振器的激励 7.8 微波谐振腔的微扰理论微波谐振腔的微扰理论本章提要本章提要 习题习题 7.1 微波谐振器的基本特性与参数微波谐振器的基本特性与参数1.任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性任意形状微波谐振器自由振荡的基本特性为使我们对微波谐振器(microwave resonators)的基本

2、特性有所了解，我们来分析一下任意形状的微波谐振器，如图7.1-1所示，其体积为V，表面为S。S面既可以是电壁(理想导体壁)，也可以是磁壁(开路壁)，也可以是部分电壁部分磁壁。下面我们以理想导体壁为例来讨论，其它情况的分析大同小异。设微波谐振器体积内填充理想的均匀介质，其电导率=0，且谐振器内无其它场源。于是体积V内的电磁场满足如下麦克斯韦方程:图 7.1-1 任意形状微波谐振器(7.1-1)在S面上的边界条件是 (7.1-2)式中是S面的法向单位矢量。00HEtEHtHE00nHnEn由式(7.1-1)可以求得电磁场的波动方程为(7.1-3)00222222tHHtEE式(7.1-3)的求解可

3、用分离变量法。以电场方程为例，可设E=E(r)T(t)(7.1-4)其中，T(t)只是时间t的函数，是个标量；E(r)只是空间位置坐标r的函数,为一矢量。将式(7.1-4)代入式(7.1-3)第一式，得到(7.1-5)0)()()()(2 tTtTrErE此式要成立，必须每项为常数。令分离变量常数分别为i和ki，则得到方程:(7.1-6)(7.1-7)式中称为波数，在此为正实数。0)()(0)()(222 rEkrEtTtTiiiik 式(7.1-6)是个简谐方程，其解为(7.1-8)式中Ai为任意常数，由起始条件决定，亦即由谐振器起始激励条件决定。式(7.1-7)为本征值方程，ki为本征值。

4、在选定坐标系后，可用分离变量法求解。设其特解为Ei(r)，于是得到式(7.1-3)第一式的特解为(7.1-9)E的通解则为(7.1-10)式中，Ei(r)是满足边界条件的矢量函数，称为模式矢量函数；i是谐振器自由振荡的模式角频率；。tjiieAtT)(tjiiieArEE)(1)(itjiiieArEEvkiii/对于式(7.1-3)第二式，同样可求得(7.1-11)式中，Hi(r)也是模式矢量函数，Bi也是任意常数。由于电场和磁场满足麦克斯韦方程，故当Ai决定后，Bi即可决定。事实上，将电场和磁场归一化，使得(7.1-12)则将式(7.1-10)和式(7.1-11)代入式(7.1-1)第一、

5、二方程，即可得到Ai=-jBi(7.1-13)ViVidvrHdvrE1|)(|,1|)(|221)(itjiiieBrHH式中 是介质的波阻抗。于是，对于谐振器某一特定自由振荡模式(free oscillation mode),(7.1-14)同时由式(7.1-1)可得(7.1-15)/tjiiierEAE)(tjiiierHAjH)()(1)()(1)(rEkrHrHkrEiiiiii对于谐振器任一自由振荡模式，可以证明其最大电场储能等于其最大磁场储能。事实上，电场最大储能为磁场最大储能为VedvEW2|21VmdvHW2|21由式(7.1-14)(7.1-16)由于ViiiViimdvr

6、EkAdvrHAW2222|)(|21|)(|21dvrErErErErErErErErEiiiiiiiii)()(|)(|)()()()()()(*2*故在谐振器内壁(电壁)，故式中。将上式代入式(7.1-16)，得到0)(rEi0SViiViiViiiSiViiViiVidvrEkdvrErEdvrErEdsrErEdvrErEdvrErEdvrE2*2|)(|)()()()()()()()()()(|)(|eVViiimWdvEdvrEkkAW2222|21|)(|21综上讨论，我们可以得到如下结论:微波谐振器中可以存在无穷多不同振荡模式的自由振荡，不同的振荡模式具有不同的振荡频率。这表

7、明微波谐振器的多谐性，与低频LC回路不同。微波谐振器中的单模电场和磁场为正弦场，时间相位差90，电场最大时，磁场为零；磁场最大时，电场为零，两者最大储能相等。由于谐振器内无能量损耗，谐振器表面亦无能量流出，能量只在电场和磁场之间不断交换，形成振荡。故振荡实质与低频LC回路相同。2.谐振器的基本参数谐振器的基本参数(1)谐振波长0。谐振波长(resonant wavelength)0是微波谐振器最主要的参数。它表征微波谐振器的振荡规律，即表示微波谐振器内振荡存在的条件。在导行系统求解中，我们得到关系(7.1-17)在导行系统情况下，沿z向无边界限制，波沿z向传播。此种情况下的相位常数值是连续的，

8、即波沿z向不具有谐振特性。对于谐振器情况，z向也有边界限制，如图7.1-2所示的封闭式波导谐振器,波沿z向也应呈驻波分布，且 (7.1-18)222222czvukkkkk,2,1 2pplg图 7.1-2 任意形状封闭谐振器式中，l是谐振器的长度，g为波导波长。由此可得(7.1-19)代入式(7.1-17)，得到封闭式波导谐振器谐振波长一般表示式为(7.1-20)式中c为波导的截止波长。可见谐振波长与谐振器形状尺寸和工作模式有关。lp22220111211gcclp(2)品质因数Q0品质因数(quality factor)Q0表征微波谐振系统的频率选择性，表示谐振器的储能与损耗之间的关系。其

9、定义为(7.1-21)式中，W代表谐振器储能，WT代表一周期内谐振器的能量损耗，Pl则代表一周期内的平均损耗功率。lTPWWWQ002谐振器的储能(7.1-22)谐振器的平均损耗功率(7.1-23)式中，Rs为表面电阻率，Htan为切线方向磁场。VmedvHWWW2|21SsSssldsHRdsRJP2tan2|21|21将式(7.1-22)和式(7.1-23)代入式(7.1-21)，得到品质因数的一般表示式为(7.1-24)式中为导体的趋肤深度。SVSVsdsHdvHdsHdvHRQ2tan22tan200|2|谐振器内壁附近的切线磁场总要大于腔内部的磁场，可近似认为H2Htan2/2，则近

10、似得到(7.1-25a)据此近似式可以估计谐振器的Q0值。由此式可见，在一级近似下，谐振器的Q0值近似与其体积V成正比，与其内壁表面积S成反比，与趋肤深度成反比。比值V/S越大，Q0值越高。因此，为获得较高的Q0值，应选择其形状使V/S大。SVQ10我们知道，谐振器的线性尺寸与工作波长成正比，因此可以认为(7.1-25b)例如在常用的厘米波段，一般在数微米至数十微米之间，因此可以估计Q0值约为104105量级。需要指出的是，由上面求得的Q0是孤立谐振器的品质因数，称之为无载Q值(unloaded Q)或固有品质因数(intrinsic Q)。0Q(3)损耗电导G0损耗电导(loss condu

11、ctance)G0表征谐振系统的功率损耗特性。在实用中，为了工程计算的方便，常把单模工作的谐振器在不太宽的频带内等效为LC振荡回路，用等效电导G0或损耗电阻R0(R0=1/G0)来表示谐振器的功率损耗。为了计算谐振器的有功损耗电导，可采用如图7.1-3所示的并联等效电路。设电路两端的电压为V=Vm sin(t+)，则谐振器中的损耗功率为，因此损耗电导为(7.1-26)2/20mlVGP 202mlVPG 图 7.1-3 微波谐振器的等效电路式中Vm是等效电路两端电压幅值。Pl可由式(7.1-23)求得。这样，为了计算谐振器的损耗电导G0就必须确定Vm值，然而，对于微波谐振器，其内不管哪个方向都

12、不属于似稳场，因而两点间的电压与所选择的积分路径有关，故G0不是单值量。因此严格讲，在一般情况下，微波谐振器的G0值是难以确定的。尽管如此，我们还是可以设法在谐振器内表面选择两个固定点a和b，并在固定时刻可以沿所选择路径进行电场的线积分，并以此积分值作为等效电压Vm的值，据此得到(7.1-27)bammdlEV式中Em为电场强度矢量的幅值。损耗电导的一般表示式则为(7.1-28)显然，谐振器的有功损耗电导G0与所选择的点a和b有关。这有别于Q0。Q0对每个给定尺寸的谐振器来说是固定不变的。22tan0|bamSsdlEdsHRG实际计算时，一个有耗谐振器可以当成无耗谐振器来处理，但其谐振频率0

13、需用复数有效谐振频率(complex effective resonant frequency)代替，即(7.1-29)Qj2100由式(7.1-20)、(7.1-24)和式(7.1-28)可以计算特定谐振器的0、Q0和G0，谐振器的其它参数可由这三个参数导出，故0、Q0和G0是微波谐振器的基本参数。为了计算这三个参数，就需要知道谐振器的模式及其场分布。这只对极少数形状简单规则的谐振器才是可行的。对于形状较复杂的谐振器，则难以由上述公式计算得到，而需要利用等效电路概念，通过测量来获得。从上述分析可知，谐振器的Q0和R0都与谐振器中的损耗功率成反比，因而比值R0/Q0便与损耗无关，而只与几何形状

14、有关，而且R0/Q0与频率也无关。这就允许在任意频段上对R0/Q0进行测量。因此在实际工程设计中，可将谐振器的所有尺寸按线性缩尺方法做成模型，进行模拟测量。这样，在较高频率时，就可以避免尺寸很小的精密加工困难问题，而在频率较低时，则可不必浪费材料去加工尺寸很大的谐振器。7.2 串联和并联谐振电路串联和并联谐振电路1.串联谐振电路串联谐振电路如图7.2-1(a)所示串联RLC集总元件谐振电路，其输入阻抗为(7.2-1)传送给谐振器的复功率为 (7.2-2)CcjLjRZ1inCjLjRIZVZIZVIP1|2121|212122inin2in*in图 7.2-1(a)串联RLC谐振电路；(b)谐

15、振曲线我们知道，电阻R的耗散功率为(7.2-3)电感L中的平均磁场储能为(7.2-4)电容器C中的平均电场储能为(7.2-5)RIPl2|21LIWm2|41CICVWCe2221|41|41式中VC是电容器两端的电压。于是式(7.2-2)所示复功率可以写成Pin=Pl+2j(Wm-We)(7.2-6)式(7.2-1)的输入阻抗则可以写成(7.2-7)2/|)(2|222ininIWWjPIPZeml当平均磁场储能与平均电场储能相等，即Wm=We时便产生谐振。由式(7.2-7)和式(7.2-3)知，谐振时的输入阻抗为纯实阻抗，即Zin=2Pl/I2=R，而由式(7.2-4)和式(7.2-5)，

16、Wm=We意味着谐振频率0为(7.2-8)谐振电路的另一个重要参数是品质因数，其定义如式(7.1-21)所示。Q值是谐振电路损耗的量度，较低的损耗意味着有较高的Q值。如图7.2-1(a)所示，串联谐振电路的Q值可由式(7.1-21)、(7.2-3)和式(7.2-4)求得为(7.2-9)这表明Q值随R减小而增大。LC10RCRLPWPWWQlmlem000012在谐振频率附近，令=0+，这里很小。由式(7.2-1)，输入阻抗则可以写成因很小，则，因此(7.2-10a)用此式可以鉴定分布元件谐振器的等效电路。22022in11LjRLCLjRZ2)(002020in22RQjRLjRZ此外，如7.

17、1节所述，一个有耗谐振器可当成具有复谐振频率0(1+j/2Q)的无耗谐振器来处理。作这样的处理后，由式(7.2-10)，令R=0，可得无耗串联谐振器的输入阻抗为Zin=j2L(-0)(7.2-10b)式中0以复频率式(7.1-29)代入，则得此式与式(7.2-10a)完全相符。这种处理方法很有用，因为大多数实用微波谐振器的损耗都很小，因此其Q值可用微扰法求得，先求无耗情况的解，然后，以式(7.1-29)所示的复谐振频率代替无耗情况下输入阻抗中的0，以考虑损耗的影响。LjRLjQLQjLjZ2)(2220000in最后考虑谐振器的半功率百分带宽。图7.2-1(b)表示输入阻抗值随频率的变化曲线，

18、当频率变化使得Zin2=R2/2时，由式(7.2-2)，传送给电路的平均实功率等于谐振时功率的一半。如果令BW表示百分带宽，则在上边频，/0=BW/2，利用式(7.2-10)，即得到(7.2-11)QBW12.并联谐振电路并联谐振电路并联谐振电路如图7.2-2(a)所示，是图7.2-1(a)所示串联RLC电路的对偶电路，其输入阻抗为(7.2-12)传送给谐振器的复平均功率为(7.2-13)电阻R的耗散功率为(7.2-14)111CjLjRZinCjLjRVZVIZVIPi1|211|21|21212*in22n*inRVPl2|21图 7.2-2(a)并联RLC电路；(b)谐振曲线电容器C中的

19、平均电场储能为(7.2-15)电感L中的平均磁场储能为(7.2-16)式中IL是流过电感器的电流。于是复功率式(7.2-13)可以写成(7.2-17)此式与式(7.2-6)完全相同。同样，输入阻抗可表示为式(7.2-7)。CVWe2|41LVLIWLm2221|41|41)(2inemlWWjPP与串联谐振情况一样，当Wm=We时产生谐振，则由式(7.2-7)和式(7.2-14)，谐振时的输入阻抗为纯实阻抗，即Zin=2Pl/I2=R。由式(7.2-15)和式(7.2-16)Wm=We意味着谐振频率0应定义为与串联谐振电路的式(7.2-8)完全相同。LC10并联谐振电路的Q值可由式(7.1-2

20、1)、(7.2-14)、(7.2-15)和式(7.2-16)求得为(7.2-18)可见并联谐振电路的Q值随R增大而增大。RCLRPWQlm002在谐振频率附近，令=0+，这里很小，则由式(7.2-12)可求得输入阻抗近似为(7.2-19a)若谐振器无耗，R=0，式(7.2-19a)简化为(7.2-19b)若以复频率式(7.1-29)代替式(7.2-19b)中的0，结果与式(7.2-19a)完全相同。这也说明，像串联谐振情况一样，损耗的影响可用复频率0(1+j/2Q)代替无耗时的谐振频率来处理。CjRjQRZ2)/1(1/210in)(210inCjZ图7.2-2(b)表示输入阻抗的谐振曲线，其

21、半功率带宽边频(/0=BW/2)处，Zin2=R2/2，则由式(7.2-19a)，可得(7.2-20)与串联谐振情况结果一样。QBW13.有载有载Q值和外部值和外部Q值值上述Q值只是谐振电路本身的特性，而没有计及外部电路的负载效应，故称之为无载Q值。实用的谐振电路不可能不与其它电路耦合，结果将使整个谐振电路的Q值降低。与外电路耦合的谐振器Q值称为有载Q值(loaded Q)，以QL表示。图7.2-3表示与外部负载电阻RL相耦合的谐振器:若谐振器为串联RLC电路，则负载电阻RL与R串联相加，因此式(7.2-9)中的有效电阻为R+RL；若谐振器为并联RLC电路，则负载电阻RL与R并联，因此式(7.

22、2-18)中的有效电阻为RRL/(R+RL)。我们按Q值定义来定义外部Q值并以Qe表示，则有(7.2-21)而有载Q值可表示为(7.2-22)串联电路串联电路 00LRRLQLLeQQQeL111图 7.2-37.3 传输线谐振器传输线谐振器1.短路短路/2线型谐振器线型谐振器考虑一段终端短路的有耗线，如图7.3-1(a)所示。传输线的特性阻抗为Z0，相移常数为，衰减常数为。谐振时，=0，线的长度l=n/2(n=1，2，3，)，这里=2/。由式(2.4-9)，其输入阻抗为(7.3-1)lljljlZljZZthtg1tgth)(th00in图 7.3-1 (a)短路有耗线段；(b)开路有耗线段

23、若=0(无耗线)，则Zin=jZ0 tg l。实用中的大多数传输线的损耗都很小，因此可以假设lr，br；dr；d，db，且忽略边缘场):(7.6-1)zkjEHzkEEyx00000cossin式中，E0为任意振幅常数，0=377 是自由空间固有阻抗。式(7.6-1)的场满足边界条件Ex|z=0=0；为了满足另一边界条件|Ex|z=d=0，则要求k0d=p p=1，2，3，(7.6-2)由此得到谐振频率为(7.6-3),3,2,1 220pdcpckfr图 7.6-1 理想法布里-珀罗谐振腔这种谐振腔的Q值的推导如下:截面1 m2的电场储能为(7.6-4)1 m2的磁场储能为(7.6-5)可见

24、磁场储能等于电场储能。两个导体平板1 m2的功率损耗为(7.6-6)8|sin4|420002200020dEzdzdpEdzEWdzdzxe8|8|cos4|4200202000220200020dEdEdzdzpEdzHWdzdzym20202|)0(|22ERzHRPsysc因此，由于导体损耗的Q值为(7.6-7)结果说明，这种开式腔的Q值与模数p成正比，即随模数增多而增大。其模数p常为几千或更大。假如在平板之间区域填充损耗正切tg 的介质材料，则由于介质损耗的Q值为(7.6-8)不过在这种开式腔中极少用介质，以免降低Q值。sssscmecRpRpcRdfRdPWWQ44 24)(020

25、02000200tg1dQ2.开式谐振腔的稳定性开式谐振腔的稳定性稳定性是开式谐振腔的一个实际问题。这里我们定性地讨论曲面镜开式谐振腔的一些特性。图7.6-2表示曲面镜开式腔的一般结构，两个半径分别为R1和R2的球面镜，相距为d。根据球面镜的聚焦特性，谐振腔中的能量可以被限制在镜面轴线附近的窄小区域内(稳定型)；也有可能扩展出镜面边缘以外(不稳定型)。后者将导致很大的损耗。图 7.6-2 用球面镜构成的开式谐振腔应用几何光学可以证明，当满足如下条件时，图7.6-2所示开式谐振腔可形成稳定的模式28:(7.6-9)其稳定性判据可用图7.6-3所示曲线图来表示。式(7.6-9)左边不等式的边界是d

26、/R1=1和d/R2=1的直线；式(7.6-9)右边不等式的边界则是在d/R1=/R2=1的交点处有焦点的双曲线。据此我们可以解释一些结构的稳定性:平行板谐振器:其结构如同图7.6-1，曲率半径R1=R2=。因此，这种结构对应于图7.6-3中的原点d/R1=d/R2=0，正好在稳定和不稳定区的边界上，因此任何不规则性，例如镜面的不平行度，都将使系统处于不稳定状态。显然，这种平行板开式腔结构不实用。111021RdRd图 7.6-3 开式腔的稳定性图共焦谐振器:此种情况下，R1=R2=d，位于图7.6-3的(1，1)点。这种谐振器可用稳定和不稳定区之间的某个点来表示，因此对不规则性很敏感。同心谐

27、振器:这种情况下，R1=R2=d/2，两镜面具有相同的中心，对应于图7.6-3的(2，2)点，故称为同心谐振器。这种谐振器结构也位于稳定和不稳定区的边缘处。稳定的谐振器:选择d/R1=d/R2 0.6的对称球形谐振器即可做成稳定的谐振器。这种情况的谐振器处于共焦和平行板谐振器的设计之间；也可以选择d/R1=d/R2 1.4。这种情况下的谐振器则是处于共焦和同心谐振器的设计之间。为了确保谐振器稳定地工作，我们可以选取R1=R2=2d或R1=R2=2d/3。它们分别对应于图7.6-3中的点(0.5，0.5)和(1.5，1.5)。7.7 谐振器的激励谐振器的激励1.激励方式激励方式谐振器与外电路的激

28、励方式(或称耦合方式)随导行系统和谐振器的结构而异，常用的方式有:直接耦合、探针或环耦合、孔耦合。直接耦合常见于微波滤波器中，如图7.7-1所示，其中图(a)是以缝隙耦合的微带线谐振器；图(b)是用膜片直接耦合的波导谐振器；图(c)是与微带线直接耦合的介质谐振器。在直接耦合机构中，电磁波径导行系统耦合到谐振器的过程中，不会因耦合机构而改变模式，耦合机构仅起变换器作用，可用一个变换器来等效。图 7.7-1 谐振器与导行系统的直接耦合探针耦合和环耦合常用于谐振器与同轴线之间的耦合，如图7.7-2所示。由于耦合结构很小，可以认为探针或环处的电场或磁场是均匀的，这样，图(a)所示探针在电场作用下就成为

29、一个电偶极子，通过电偶极矩的作用，使谐振器与同轴线相耦合，故探针耦合又称为电耦合；图(b)所示耦合环在磁场作用下就成为一个磁偶极子，通过其磁矩的作用，使谐振器与同轴线耦合起来，故环耦合又称为磁耦合。图 7.7-2 谐振器与同轴线的耦合孔耦合常用于谐振器与波导之间的耦合，如图7.7-3所示。图(a)的耦合为磁耦合；图(b)的耦合孔很小的话，也主要是磁耦合；图(c)的耦合也是磁耦合。可见谐振器与波导之间的孔耦合主要是磁场耦合，因为在孔处波导壁附近的磁场比较强，而小孔中的模式主要是TM01模。耦合孔(又称为窗孔)应设置在谐振器与输入波导之间以使谐振器中模式的场分量与输入波导的场分量方向一致。图 7.

30、7-3 谐振器与波导的孔耦合(a)波导终端的孔耦合；(b)波导宽边的孔耦合；(c)波导窄边的孔耦合；(d)用波导喇叭馈电的开式谐振腔2.耦合的影响耦合的影响微波谐振器与外电路耦合以后，谐振器的特性将与孤立状态有所不同，外电路要通过耦合机构对谐振器的特性产生影响。其影响有二:一是要在谐振器中引入一个电抗，使谐振器失谐，即使谐振频率改变；另一是在谐振器中引入一个电阻，使谐振器的能量损耗增大，从而使其Q值降低。容易理解，与外电路耦合的谐振器，其功率损耗包括谐振器本身的损耗Ps和外电路负载上的损耗Pe两部分，即Pl=Ps+Pe。有负载时谐振器的Q值称为有载Q值(loaded quality facto

31、r)，以QL表示，则根据定义式(7.1-21)，得到或者(7.7-1)式中Qe称为外部Q值(external Q)esLPPWQ0eesesLQQWPWPWPPQ1110000外部Qe值表示外电路(或负载)对谐振器的影响，是谐振器与外电路之间耦合的量度，与耦合机构有关。改变耦合，Q0值不变，Qe却随之改变。定义Q0与Qe之比值为耦合系数(coupling coefficient):(7.7-2)显然，Qe越大、越小，表示耦合越松；反之，Qe越小，越大，表示耦合越紧。这样，根据所要求Qe值(或值)就可设计所需耦合机构。eQQ0有载Q值也可用耦合系数表示为(7.7-3)如果谐振器有N个匹配的耦合端

32、口，则谐振器的有载Q值为(7.7-4)1000QQQQQQeeLNiilQQ101 根据耦合系数的大小，有三种耦合状态:1称谐振器与馈线为欠耦合(under coupling)或松耦合(loose coupling)。=1称谐振器与馈线为临界耦合(critical coupling)。1称谐振器与馈线为过耦合(over coupling)或紧耦合(tight coupling)。临界耦合状态下，谐振器在谐振时与馈线实现匹配，谐振器和馈线之间获得最大的功率传输。这可用图7.7-4所示串联谐振电路与馈线的的耦合为例来说明。由式(7.2-10a)、图7.7-4所示的串联谐振电路在谐振频率附近(0)的

33、输入阻抗为(7.7-5)0in22RQjRLjRZ图 7.7-4 串联谐振电路与馈线的耦合其无载Q值为(7.7-6)谐振时，=0，因此由式(7.7-5)，输入阻抗为Zin=R；为使谐振器与馈线匹配，必须有R=Z0，则无载Q值为(7.7-7)由式(7.1-21)，外部Q值为(7.7-8)因此有(7.7-9)即表明在临界耦合状态下，外部Q值与无载Q值相等。RLQ000ZLQQZLQe001eQQ3.阻尼因子阻尼因子谐振电路的重要参数之一是阻尼因子d。它是当激励源去掉时振荡衰减速率的量度。对于高Q谐振电路，储能衰减速率与平均储能W0成正比，因此储能W随时间的衰减关系为(7.7-10)由此求得(7.7

34、-11)可见阻尼因子与谐振电路的Q值成反比。当谐振器与外电路耦合时，式中Q应用有载QL来代替。QtteWeWWd/0200Qd20这样，当用复谐振频率c(7.7-12)来处理损耗作用时，由式(7.2-19a)表示的谐振频率邻近谐振电路的输入阻抗Zin就可改写成(7.7-13)式中参数R/Q称之为谐振电路的优值，它反映谐振器对增益带宽积的影响程度。用谐振电路的集总元件可表示成(7.7-14)Qjjdc2100)(2/0incjQRZCLQR4.缝隙耦合微带线谐振器缝隙耦合微带线谐振器考虑图7.7-1(a)所示缝隙耦合/2开路微带线谐振器，其微带线缝隙可近似等效为一串联电容，整个缝隙耦合微带谐振器

35、的等效电路如图7.7-5所示。由馈线向谐振器看去的归一化输入阻抗为(7.7-15)式中bC=Z0C是耦合电容C的归一化电纳。当zin=0时出现谐振，因而得到tg l+bC=0(7.7-16)此超越方程的解如图7.7-6所示。实用中bC1，因而第一个谐振频率1接近但小于l=的频率(无载谐振器的第一个谐振频率)。可见耦合的影响使谐振频率降低。lbcbcltgjZlZCZZZtgctg)/1(000inin图 7.7-5 图7.7-1(a)的等效电路 图 7.7-6 式(7.7-16)的图解 将耦合谐振器的归一化输入阻抗用关于1的泰勒(Taylor)级数展开，并假定bC很小，则有(7.7-17)由式

36、(7.7-15)和式(7.7-16)，zin(1)=0，于是这是因为bC1，l vp/1，vp是传输线(假定为TEM线)的相速度。因此归一化阻抗可以写成(7.7-18)1)()()()(in11ininddzzz211in)()(Cbjz212222)1()(tgsec1CpcpCCCinbjvlbjvlbbjdldlbljddz至此未考虑谐振器的损耗。对于高Q谐振器，损耗可用复频率1(1+j/2Q)代替1来考虑。这样就得到缝隙耦合有耗微带线谐振器的归一化输入阻抗为(7.7-19)需要注意的是，无耦合的/2开路线谐振器在谐振附近等效为一并联RLC电路，而现在缝隙耦合/2开路线谐振器则等效为串联

37、RLC电路，这是因为串联耦合电容相当为一阻抗倒置器。因此谐振时的输入电阻为。对于临界耦合，R=Z0，因此得到(7.7-20)2112in)(2)(CCbjQbzQbC2202/CQbZR耦合系数则为(7.7-21)若，则1，谐振器为欠耦合；若，则1，谐振器为过耦合。202CQbZRQbC2/QbC2/5.孔耦合谐振腔孔耦合谐振腔首先考虑如图7.7-7(a)所示的孔耦合波导谐振腔。由第三章3.5节的讨论知，横向膜片上的小孔等效为一并联电感。谐振腔在腔长l=g/2时为第一个谐振模式。耦合谐振腔的等效电路如图7.7-7(b)所示。它是图7.7-5的对偶电路。图 7.7-7 横向孔耦合矩形波导谐振腔及

38、其等效电路由馈线看去的归一化输入导纳为(7.7-22)式中xL=L/Z0是小孔的归一化电抗。并联谐振时tg l+xL=0 (7.7-23)此式与缝隙耦合微带线谐振器的式(7.7-16)类似，其解法与图7.7-6相似。式(7.7-22)的归一化导纳可用谐振频率1的泰勒级数来展开，并假设xL1，而yin(1)=0，于是得到(7.7-24)lxxljlXjZZYyLLLtgtgtg1100inin11)()()()()(1211ddxjlddyyyLininin对于矩形波导式中c为光速。则式(7.7-24)简化为(7.7-25)考虑损耗的影响，用复频率1(1+j/2Q)代替上式中的1，得到(7.7-

39、26)00220kkkddddc2210in)()(Lcxkjy22102210in)(2)(LLcxxjcxQky谐振时的输入电阻为 。临界耦合要求R=Z0，因此得到所要求的孔的电抗为(7.7-27)据XL便可决定耦合孔的尺寸。10022/2kZcxQRLcQkZXL21002其次，考虑如图7.7-8(a)所示窄缝耦合矩形波导谐振腔。横向窄缝高度为t，其归一化电纳为(7.7-28)式中btbB2cscln2ckak/)/(0220图 7.7-8 窄缝耦合矩形腔及其等效电路等效电路如图7.7-8(b)所示，其总的输入导纳为(7.7-29)式中=+j，=2/g。波导的衰减很小，th l l，于是

40、(7.7-30)总的输入电纳和电导为(7.7-31)lBjYYincth0ljllBjYYinctgtg20000,ctgYGlYYB于是外部Q值则为(7.7-32)无载Q值可求得为(7.7-33)0202)1(YBBYBByy2220BGBQgelQg1220因此耦合系数为(7.7-34)由此可求得耦合缝高度为(7.7-35)这种窄缝耦合机构适于作紧耦合，而横向膜片适于作松耦合和临界耦合。220)2/lncsc()/4)(1)(1btblBlQQge)/(1)4/(ln1arcsin21lbbtg7.8 微波谐振腔的微扰理论微波谐振腔的微扰理论在谐振腔的实际应用中，经常遇到其形状发生微小变化

41、，或在腔内引入小片介质或金属材料等情况，例如利用旋入腔体内的小螺钉(金属或介质的)来调整谐振频率；在谐振腔内放入小介质样品，通过测量谐振频率的偏移来测定介质常数。谐振腔的这种扰动或微小改变称为谐振腔的微扰。谐振腔的微扰理论可用于计算谐振腔的特性参数(谐振频率、品质因数)因谐振腔的微扰所引起的变化。微扰法(perturbational method)通常涉及两个问题:未微扰的问题，其解为已知；微扰问题(perturbational problem)，稍不同于未受微扰的问题，其解是未知的，可借助于前一问题的已知解来求其近似解。本节首先推导微波谐振腔微扰的基本公式，然后据以分别讨论常用的谐振腔的介质

42、微扰和腔壁形状微扰。1.谐振腔微扰基本公式谐振腔微扰基本公式如图7.8-1(a)所示谐振腔，微扰前的体积为V，内壁面积为S，腔内介质常数为0、0，腔内的电场、磁场和谐振频率分别为E0、H0和0；微扰后，腔体内有一小体积V，其介质常数为、，微扰后腔内的电场、磁场和谐振频率分别为E、H和，如图7.8-1(b)所示。设电磁场为时谐场,则微扰前:(7.8-1)00000000EjHHjE图 7.8-1 (a)未微扰腔；(b)微扰后腔微扰后:(7.8-2)(7.8-3)用点乘式(7.8-2)，得到(7.8-4)()()()(00内外内外VEjHVEjHVHjEVHjE*0H)()(*0*0*00*0内外

43、VEHjEHVEHjEH用点乘式(7.8-3)，得到(7.8-5)又对式(7.8-1)分别用H和E点乘，得到(7.8-6)*0E)()(*0*0*00*0内外VEEjHEVEEjHE*000*0*000*0EEjHEHHjEH将对体积V积分，得到)()(*0*0*0*0EHEHHEHEdvHHjEEjdvHHjEEjdvEHEHHEHEvvVV)()()()()()(*000*000*000*000*0*0*0*0应用矢量公式(AB)=B（A)-A(B),可将上式左边写成(7.8-8)SVVdsnHEHEdvHEHEdvEHEHHEHE)()()()()()(*0*0*0*0*0*0*0*0式

44、中 为腔体内壁的单位法线矢量。因为在腔体内壁附近，所以式(7.8-8)的右边面积分等于零，因此，由式(7.8-7)得到n 0En0)()()()(*000*000*000*000dvHHjEEjdvHHjEEjVvV由于V很小，则对(V-V)的体积分可近似以V代替，且近似取(-00)0(-0)(-00)0(-0)可得(7.8-9)此即微波谐振腔微扰基本公式。VVdvHHEEdvHHEE()()(*00*00*00*00002.介质微扰介质微扰此时图7.8-1中的V为一小块介质。由于V很小,则可以近似认为在V以外,E=E0，H=H0,于是式(7.8-9)分母变为式中(7.8-10)WdvHHEd

45、vHHEEVV4)|()(200200*00*00VdvHEW)|(41200200为腔体内全部电磁场储能。因此得到(7.8-11)WdvHHEEWdvHHEEVV4 4)()(*0*0*00*0000当、1时，则 ，于是得到(7.8-12)当、1，且V很小时，其内的E和H可视为恒定的，则可得(7.8-13)式中，Ve是产生的小体积，Vm是产生的小体积。WdvHEV4)|(20200000,HHEEWVHHVEEme4*0*000例例 7.8-1 如图7.8-2(a)所示腔底放置薄介质板的TE101模矩形腔，试用微扰公式(7.8-12)求谐振频率变化表示式。图 7.8-2 用薄介质板微扰的矩形

46、腔解解 TE101模式矩形腔未微扰时的电场为式(7.8-12)分子，在0yt内，=(r-1)0，于是得到积分lzaxEEysinsin1014)1(|)1()|(21010200002020altEdzdydxEdvHErylztyaxrV电场储能为则代入式(7.8-12)，得到谐振频率变化(降低)的百分数为(7.8-14)图7.8-2(b)的频率变化式留作习题(习题7-36)。21010*0164EabldvEEWVyye210102)2(44EablWWebtr2)1(003.腔壁形状微扰腔壁形状微扰如图7.8-1所示，设腔壁向内推进一小体积V，其r，r0，则由式(7.8-9)，得到 (7

47、.8-15)式中We和Wm分别为V中所包含的电场能量和磁场能量。假如V很小，则We和Wm可近似用V乘该处的能量密度来代替，从而得到(7.8-16)式中C为比例常数，与腔体的形状及微扰发生的位置有关。WWWWdvHEemV44|2002000044)(00VCwVVwwem由上述分析可以得到结论:当腔壁内表面或其一部分朝内推入时(变化的结果是体积减小V)，如果发生微扰部分的磁场较强，则频率将升高；如果电场较强，频率将降低。反之，腔内壁或其一部分朝外推出(变化的结果是腔体体积增大V)，如果微扰发生在磁场较强处，则频率将降低；如果发生在电场较强处，则频率将升高。显然，如果微扰发生在电场(或磁场)最大

48、，而磁场(或电场)为零处，频率变化将最大。例例 7.8-2 半径为r0的细金属螺钉从顶壁中央旋入TE101模式矩形腔内深度h，如图7.8-3所示，若腔体为空气填充，试用式(7.8-15)推导微扰后谐振频率变化表示式。解解 未微扰TE101模式矩形腔的场分量为因螺钉很细，所以可假设在螺钉截面上的场为常数，且可用x=a/2、z=l/2处的场来表示:Ey(a/2,y,l/2)=101Hx(a/2,y,l/2)=0Hz=(a/2，y，l/2)=0lxaxakEjHlzaxZjEHlxaxEEzxysincoscossinsinsin101TE101101图7.8-3 顶壁中央旋入调谐螺钉的矩形腔则式(

49、7.8-15)的分子计算结果为式中是螺钉的体积；式(7.8-15)的分母为式中V=abl是未微扰腔的体积，因此，由式(7.8-15)得到微扰后谐振频率变化为结果表明微扰(螺钉旋入)使谐振频率降低。VEdvEdvEHVV2101021010200200|22|(2101021010200200VEEabldvEHVhrV20VVablrh222000本章提要本章提要关键词:谐振模式，谐振频率，品质因数，复谐振频率，阻尼因子，传输线谐振器，金属波导谐振腔，介质谐振器，开式谐振器，耦合系数,谐振腔的微扰。1.微波谐振器是一种具有储能和选频特性的微波谐振元件，其作用相当于低频集总LC振荡电路。2.微波

50、谐振器的基本原理是使微波电磁场在谐振器内各个方向形成驻波，在其内维持电磁能量振荡。其基本参数是f0(或0)、Q0和G0。谐振器的谐振频率与谐振器参量的一般关系由下式决定:故谐振频率式中，c为光速，kc为谐振器横向截止波数。220ckk2202crkcf3.传输线谐振器分半波长终端短路串联谐振器和终端开路并联谐振器与四分之一波长终端短路并联谐振器和终端开路串联谐振器。可用等效电路方法分析之。这些等效电路及其参数表示式在微波电路设计中常有应用。4.金属波导谐振腔在微波频率常用作频率计，包括矩形腔、圆柱形腔和同轴腔(同轴腔又可称为传输线型腔)。常用的矩形腔是TE10p模腔，主模是TE101模。常用的