华师版八上数学 13.4 尺规作图(上课课件）.pptx

1、华东师大版华东师大版八年级数学上册八年级数学上册1.尺规作图（尺规作图（1）新课导入新课导入刻度尺刻度尺三角尺三角尺量角器量角器圆规圆规探究新知探究新知没有刻度的直尺没有刻度的直尺圆规圆规 只能使用圆规和只能使用圆规和没有刻度的直尺这两没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的种工具作几何图形的方法叫做方法叫做尺规作图尺规作图.基本的尺规作图：基本的尺规作图：作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作一个角等于已知角作已知角的平分线作已知角的平分线经过一已知点作已知直线的垂线经过一已知点作已知直线的垂线作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线尺规作图时通常尺规作图时通常保留

2、作图痕迹保留作图痕迹.如图，已知：线段如图，已知：线段a.求作：线段求作：线段AB使使ABa.a作法：作法：（1）作射线）作射线ACA C（2）以点）以点A为圆心，线段为圆心，线段a的长的长为半径画弧，交射线为半径画弧，交射线AC于点于点B.B 线段线段AB就是所求作的线段就是所求作的线段作线段的和与差：作线段的和与差：如图，已知线段如图，已知线段a、b，求作一条线段，求作一条线段AB，使，使AB=2ab.（保留作图痕迹）（保留作图痕迹）A MC a D a B b 线段线段AB就是所求作的线段就是所求作的线段.作线段的作线段的和和与与差差的方法：先画一条射线，然的方法：先画一条射线，然后在这

3、条射线上顺次截取相应的线段，求和时顺后在这条射线上顺次截取相应的线段，求和时顺次截取叠加，求差时从所画的线段中截去次截取叠加，求差时从所画的线段中截去如图，已知：如图，已知：AOB.求作：求作：AOB，使，使AOB=AOB.还记得如何作还记得如何作吗？试一试吗？试一试.A O B A O B O A（1）首先作射线）首先作射线OA；作法：作法：（2）以点）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交为圆心，适当长为半径画弧，分别交AOB的两边于点的两边于点E、D；D E A O B O A（3）以点）以点O为圆心、为圆心、OD的长为半径画弧的长为半径画弧交交OA于点于点N；作法：作法：（4）以点）以

4、点N为圆心、为圆心、DE的长为半径画弧的长为半径画弧交前一条弧于点交前一条弧于点M;N M （5）过点）过点M作射线作射线OB，则，则AOB就是所求作的角就是所求作的角.B D E 作角的和与差：作角的和与差：如图，已知如图，已知1和和2.求作：求作：AOB，使，使AOB12.作角的和与差：作角的和与差：分析：先作一个角等于分析：先作一个角等于1，再以，再以1一条边作一一条边作一个角等于个角等于2.在一个角的在一个角的外部外部以这个角的一边为边作另外一个以这个角的一边为边作另外一个角，则两个角的另一边组成的角就是这两个角的角，则两个角的另一边组成的角就是这两个角的和和.在较大的角的在较大的角的

5、内部内部以较大角的一边为边作较小的以较大角的一边为边作较小的角角则两个角的另一边组成的角就是这两个角的则两个角的另一边组成的角就是这两个角的差差.利用尺规作图作三角形利用尺规作图作三角形已知：线段已知：线段a及及1，2（如图）（如图）.求作：求作：ABC，使，使B=1，C=2，BCa.先作一个角等于先作一个角等于1，再在，再在1的一边上截取长度为的一边上截取长度为a的线的线段，然后在线段另一端作一个角等于段，然后在线段另一端作一个角等于2，即可得，即可得.随堂练习随堂练习1.任意画出两条线段任意画出两条线段AB和和CD，再作一条线段，使它，再作一条线段，使它等于等于AB+2CD.M NABCD

6、 CDH线段线段MH就是所求作的线段就是所求作的线段.2.任意画出两个角任意画出两个角1和和2，其中，其中12，再，再作一个角，使它等于作一个角，使它等于12.121212课堂小结课堂小结尺尺规规作作图图工具工具没有刻度的直尺、圆规没有刻度的直尺、圆规作图作图1.作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段作线段的和与差作线段的和与差2.作一个角等于已知角作一个角等于已知角作角的和与差作角的和与差3.作三角形作三角形华东师大版华东师大版八年级数学上册八年级数学上册2.尺规作图（尺规作图（2）新课导入新课导入数学家欧几里得数学家欧几里得 用圆规和直尺能不能作用圆规和直尺能不能作出正七边形、正九边

7、形、正出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢十七边形呢?两千年来，这一直是个未解之谜两千年来，这一直是个未解之谜.新课导入新课导入高斯高斯 出乎人意料之外的是，出乎人意料之外的是，这个难题竞被年仅这个难题竞被年仅19岁的高岁的高斯解决了斯解决了.他用直尺和圆规他用直尺和圆规作出了正十七边形作出了正十七边形.探究新知探究新知A O B 如图，已知如图，已知AOB.求作：求作：AOB的平分线的平分线.A O B 作法：作法：（1）在射线）在射线OA、OB上分别截取上分别截取OD、OE，使使ODOE；D E（2）分别以点）分别以点D，E为圆心、大于线为圆心

8、、大于线段段DE长的一半为半径画弧，在长的一半为半径画弧，在AOB内两弧交于点内两弧交于点C；C（3）作射线）作射线OC.则射线则射线OC就是所求作的就是所求作的AOB的平分线的平分线.否则得不到点否则得不到点C或交点或交点C不明显不明显.A O B D E C 如何证明如何证明AOCBOC？A O B D E C 如图，连结如图，连结EC、DC.ODOE，DCEC，OCOCOCD OCE（S.S.S.），），AOCBOC.练练 习习1.如图，已知如图，已知A，试作，试作B A（不写作（不写作法，保留作图痕迹）法，保留作图痕迹）12A B 2.做出图中三角形的三个角的平分线。做出图中三角形的三

9、个角的平分线。内心内心如何过一点如何过一点 C 作已知直线作已知直线 AB 的垂线呢？的垂线呢？C 点点C与已知直线与已知直线 AB 的位置关系有两种：的位置关系有两种：点点C在直线在直线 AB 上上或点或点C在直线在直线 AB 外外.（1）当点）当点 C 在直线在直线 AB 上上CBA 做平角做平角ACB的平分线的平分线CD；D 反向延长射线反向延长射线CD.直线直线CD就是要求作的垂线就是要求作的垂线.（2）当点）当点 C 在直线在直线 AB 外外CBA 以点以点C为圆心，作能与直为圆心，作能与直线线AB相交于相交于D、E两点的弧；两点的弧；DE作作DCE的平分线的平分线.F直线直线CF就

10、是要求作的垂线就是要求作的垂线.CDE为等腰三角形为等腰三角形.由由“三线合一三线合一”可知，只需可知，只需作出作出DCE的平分线，则的平分线，则该平分线所在的直线就是该平分线所在的直线就是要求作的垂线要求作的垂线.利用直尺和圆规作一个等于利用直尺和圆规作一个等于45的角的角.作法：作法：（1）作直线）作直线AB；BA（2）过点）过点A作直线作直线AB的垂线的垂线AC；C（3）作）作CAB的平分线的平分线AD.DDAB就是要求作的角就是要求作的角.练练 习习 1.如图，点如图，点P在在O的一边上，试过点的一边上，试过点P作该角两边作该角两边的垂线的垂线.OPAB2.如图，作如图，作ABC边边B

11、C上的高上的高.ABCDAD就是要求作的高就是要求作的高.思考思考 如图，已知直线如图，已知直线l是线段是线段AB的垂的垂直平分线，则直线直平分线，则直线l是线段是线段AB的对称轴，的对称轴，对对l上的任意两点上的任意两点C、D，总有：，总有：ABDClCACB，DADB由此，你能发现作垂直平分线的方法吗由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?已知：如图，线段已知：如图，线段AB.求作：线段求作：线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD.BA作法：作法：（1）分别以点）分别以点A和和点点B为圆心、大于为圆心、大于AB一半的一半的长为半径作圆弧，两弧相交长为半径作圆弧，两弧相交于点于点C和点和点D；CD

12、（2）作直线）作直线CD.直线直线CD就是要求作的线段就是要求作的线段AB的垂直平分线的垂直平分线.如何证明直如何证明直线线CD垂直平分垂直平分线段线段AB？BACDBACD如图，连结如图，连结CA、CB、DA、DB.ACBC，ADBD，CDCD，ACD BCD（S.S.S.），），ACDBCD.CD垂直平分线段垂直平分线段AB（等腰三角（等腰三角形的形的“三线合一三线合一”）.BACD线段线段AB的中点的中点找线段中点找线段中点作任意三角形作任意三角形的三边的中线的三边的中线BA练练 习习 1.四等分已知线段四等分已知线段AB.2.如图，作如图，作ABC的边的边BC的垂直平分线的垂直平分线.

13、ABCEF直线直线EF就是要求作就是要求作的垂直平分线的垂直平分线.课堂小结课堂小结（1 1）以已知角的顶点为圆心、适当长）以已知角的顶点为圆心、适当长为半径作弧交已知角的两边于两点为半径作弧交已知角的两边于两点（2 2）再分别以这两个交点为圆心、大于这两点）再分别以这两个交点为圆心、大于这两点的距离的一半为半径作弧，两弧交于一点的距离的一半为半径作弧，两弧交于一点（3 3）以已知角的顶点为顶点过两弧交点作射线）以已知角的顶点为顶点过两弧交点作射线,射线就是已知角的平分线射线就是已知角的平分线课堂小结课堂小结过直线上一点作垂线过直线上一点作垂线过直线外一点作垂线过直线外一点作垂线课堂小结课堂小结（1 1）分别以已知线段的两个端点为圆）分别以已知线段的两个端点为圆心、大于这两点的距离的一半为半径画心、大于这两点的距离的一半为半径画弧弧,两弧相交于两点两弧相交于两点（2 2）过这两个交点作直线）过这两个交点作直线（3 3）该直线就是线段的垂直平分线）该直线就是线段的垂直平分线