人教版高中数学必修第一册5.5三角恒等变换 课时15 简单的三角恒等变换(1)(课件）.pptx

1、第五章三角函数5.5 三角恒等变换三角恒等变换课时课时15 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换(1)教学目标1.通过运用二倍角的三角函数公式推导半角公式,体会“半”角和“倍”角的相对性.2.通过和差化积、积化和差公式的推导,体会三角函数的乘积与和差之间的内在联系.3.熟练地运用三角公式解决有关求值、化简和证明等问题,提高三角恒等变换的能力.学习目标课程目标学科核心素养理解半角公式理解半角公式,会由倍角公式推导会由倍角公式推导半角公式半角公式,体会半角和倍角的相对体会半角和倍角的相对性性通过运用倍角公式推导半角公式通过运用倍角公式推导半角公式,培养培养数学抽象、逻辑推理等素养数学抽象、逻辑推理

2、等素养理解三角函数的和差化积和积化理解三角函数的和差化积和积化和差公式和差公式,体会角的三角函数的积体会角的三角函数的积与和差之间的内在联系与和差之间的内在联系通过推导和证明三角函数的和差化积通过推导和证明三角函数的和差化积和积化和差公式和积化和差公式,培养数学抽象、逻辑培养数学抽象、逻辑推理等素养推理等素养能够熟练运用三角公式解决有关能够熟练运用三角公式解决有关求值、化简和证明等三角函数恒求值、化简和证明等三角函数恒等变换的问题等变换的问题在运用三角公式进行三角恒等变换的在运用三角公式进行三角恒等变换的过程中过程中,培养逻辑推理、数学运算等素培养逻辑推理、数学运算等素养养情境导学前面,我们学

3、习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,这些公式建立了不同类型的角的三角函数之间的关系,借助这些关系可以进行三角函数的恒等变形,从而解决三角式的求值、化简和证明等问题.我们还能得出一些其他的三角恒等变形公式吗?在下面的图形中,你能得出怎样的三角函数关系式?初探新知【活动1】利用倍角公式推导半角公式【活动2】探究和差化积、积化和差公式典例精析直接利用半角公式完成计算，注意角的范围直接利用半角公式完成计算，注意角的范围【解解】【方法规律方法规律】运用半角的正弦、余弦和正切公式运用半角的正弦、余弦和正切公式,根据单角根据单角的三角函数值的三角函数值,可以求出半角的可以求出

4、半角的三角函数值三角函数值,在运用半角公式的过程中在运用半角公式的过程中,要特别注意要特别注意:(1):(1)角的范围角的范围,根据角的范根据角的范围正确选择根号前的正、负号围正确选择根号前的正、负号;(2);(2)半角的相对性半角的相对性:是是22的一半的一半,是是的一的一半半,是的是的 一半一半,等等等等.224C C【解解】【例例2 2】证明下列恒等式：证明下列恒等式：运用和差化积公式、积化和差公式运用和差化积公式、积化和差公式,对等式两端的三角函数对等式两端的三角函数式进行恒等变形式进行恒等变形,使其实现形式上完全一致即可使其实现形式上完全一致即可.【解解】【方法规律方法规律】三角恒等

5、式的证明三角恒等式的证明,本质上是运用相关公式对等式左、右两边的三角函数式进行恒本质上是运用相关公式对等式左、右两边的三角函数式进行恒等变形等变形,消除差异消除差异,实现形式上的完全统一实现形式上的完全统一,常用的方法有变左为右、变右为左和左常用的方法有变左为右、变右为左和左右归一三种右归一三种,原则是由繁到简原则是由繁到简.切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次、切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次、积化和差、和差化积等是常用的手段积化和差、和差化积等是常用的手段.【解解】(1)(1)有两种思路有两种思路:一是从一是从“角的特征角的特征”入手入手,将将(+30(+30)的三角的三角

6、函数展开函数展开,都变为都变为的三角函数后运用同角关系化简的三角函数后运用同角关系化简;二是从二是从“运算种类运算种类”入手入手,降幂降幂,和积互化和积互化.(2)(2)先通分先通分,将分子化积将分子化积,再约分再约分,化为最简化为最简.【解】【解】【解】【解】【方法规律方法规律】化简化简,顾名思义顾名思义,即化繁为简即化繁为简,分析繁的原因分析繁的原因,无外乎项数多、有无外乎项数多、有分母、带根号等几种情形分母、带根号等几种情形,因此化简三角函数式的要义是因此化简三角函数式的要义是:“:“并并项项”“”“约分约分”“”“配方配方”.”.基本原则是基本原则是“三看三看”:”:一看角一看角,二看

7、名二看名,三看式子结构与特征三看式子结构与特征.注意观察条件中角之间的联系注意观察条件中角之间的联系(和、差、和、差、倍、互余、互补等倍、互余、互补等),),寻找式子和三角函数公式之间的联系点是寻找式子和三角函数公式之间的联系点是实现实现化简的关键。化简的关键。【解解】【解解】（备选例题）（备选例题）(1)(1)若若A+B=120A+B=120,则则sinA+sinBsinA+sinB的最大值是的最大值是_;(2)(2)直角三角形中两锐角为直角三角形中两锐角为A A和和B,B,则则sinAsinBsinAsinB的最大值为的最大值为_.思路点拨思路点拨(1)(1)用两角正弦的和化积用两角正弦的

8、和化积,A+B=120,A+B=120是定值是定值,把把A-BA-B当做整体当做整体就可以求最大值了就可以求最大值了.(2)(2)直角三角形中两锐角为直角三角形中两锐角为A A和和B B满足满足A+B=90A+B=90是定是定值值,积化和差积化和差,把把A-BA-B当做整体当做整体,运用余弦函数的有界性即可运用余弦函数的有界性即可.【解解】【方法规律方法规律】求三角函数的值域或最值求三角函数的值域或最值,一个基本的思路一个基本的思路,就是将所给三角函数式进行就是将所给三角函数式进行恒变变形恒变变形,使其转化为使其转化为y=Asin(x+)y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)y=Acos(x+)的形式的形式,再运用再运用正弦函数、余弦图象和性质正弦函数、余弦图象和性质.当两角和或差是定值时当两角和或差是定值时,求两角的正弦函数求两角的正弦函数和或积的最值时和或积的最值时,用和差化积与积化和差公式化简比较简便用和差化积与积化和差公式化简比较简便.课堂反思1.1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2.2.你认为本节课的重点和难点是什么？你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练同学们再见！同学们再见！Goodbye StudentsGoodbye Students！