人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法》教学课件.pptx

1、情境一情境一 问问 题题 某人看到树上有一只乌鸦，某人看到树上有一只乌鸦， 深有感触“天下乌鸦一般黑”。深有感触“天下乌鸦一般黑”。 归纳法归纳法分为分为 不不完全归纳法完全归纳法 和和 完全归纳法完全归纳法 考察部分对象， 得到一般结论的 推理方法 结论结论不一定不一定 可靠可靠 由一系列特殊情况得出一由一系列特殊情况得出一 般结论的推理方法般结论的推理方法 考察全体对象， 得到一般结论 的推理方法 结论结论一定一定可靠可靠 在数列 n a 中,已知 1 1 a )( 1 * 1 Nn a a a n n n 2 1 2 a 3 1 3 a 4 1 4 a )( 1 * Nn n an 情境

2、二情境二 猜想其通项公式 猜想猜想 这个结论可靠吗？这个结论可靠吗？ 1 1 a 1 1 你玩过你玩过多米诺骨牌游戏吗多米诺骨牌游戏吗? 实验一实验一 实验二实验二 实验三实验三 多米诺骨牌全部倒下的条件是什么多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 第一块骨牌必须要倒下；第一块骨牌必须要倒下； 对于对于任意任意相邻的两块骨牌相邻的两块骨牌，若若第第 K K块块倒下倒下，一定使第一定使第K+K+1 1块块骨牌也骨牌也 倒下倒下。 探究探究 多米诺骨牌游戏原多米诺骨牌游戏原 理理 尝试证明通项公式是尝试证明通项公式是 )( 1 * Nn n an k ak 1 1 1 1 k ak (1)(1)第一块骨

3、牌倒下；第一块骨牌倒下； （1 1）当）当n=1n=1时猜想成立；时猜想成立； （2 2）若第）若第K K块骨牌块骨牌 倒下时，倒下时，则则使使相邻相邻 的第的第K+1K+1块骨牌也倒块骨牌也倒 下下 根据（根据（1）和）和 （2），）， 可知不论有多少块骨可知不论有多少块骨 牌，都能全部倒下。牌，都能全部倒下。 根据根据（1 1）和和（2 2），可可 知对任意的正整数知对任意的正整数n n，猜猜 想都成立想都成立。 （2 2）若）若n=kn=k时猜想时猜想成成 立立, ,即即 则当则当n=k+1n=k+1时猜想也时猜想也 成立，即成立，即 由此，我们发现了一个证明与正整数由此，我们发现了一个

4、证明与正整数n n有关的命题有关的命题 的方法，它可按如下两个步骤进行：的方法，它可按如下两个步骤进行： （1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值 )( * 00 Nnn时命题成立；时命题成立； （2 2）假设）假设 时命题成立，证明当时命题成立，证明当 时命题也成立。时命题也成立。 ),( * 0 Nknkkn 1kn 根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知命题对），可知命题对 * Nn 都都成立。成立。 青海湟川中学青海湟川中学 刘刘 岩岩 一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n n有关的命题，可按如有关的命题，可按如 下步骤进行：下步骤进行： （1 1）证明当

5、）证明当n n取第一个值取第一个值 )( * 00 Nnn时命题成立；时命题成立； （2 2）假设）假设 时命题成立，证明当时命题成立，证明当 时命题也成立。时命题也成立。 ),( * 0 Nknkkn 1kn 根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知命题对），可知命题对 * Nn 都都成立。成立。 这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法 归纳递推归纳递推 归纳奠基归纳奠基 【例例】用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： )() 12(531 *2 Nnnn 说 一 说 说 一 说 都成立。），可知等式对2）和（1根据（ 时等式成立1 右边)1( 2 )1)(12(1 ）12（

6、531左边 时，1则当 ）12（531 时等式成立，即：)(假设)2( ，等式成立；1，右边1时，左边1）当1（ 证明： * 2 2 * Nn kn k kk k kn kk Nkkn n 改正： 1kn时，有 ) 12(.531k ) 12() 12(.531kk ) 12( 2 kk 2 ) 1( k 即当1kn时，等式也成立。 【练习练习】用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 证明：证明： （1）当）当n=1时，时， 左边左边=12=1 右边右边= 1 ,等式等式成立成立 (2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即 6 ) 12)(1( 321 2222 + =+ kkk k 那

7、么那么,当当n=k+1时时 2 ) 1( + k 6 ) 1(6) 12)(1( 2 + = kkkk 6 )672)(1( 2 + = kkk 6 )32)(2)(1(+ = kkk 6 1) 1(21) 1)(1(+ = kkk 即当即当n=k+1等式也成立等式也成立 根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立. * Nn 22222 ) 1(321+kk 6 ) 12)(1(+ = kkk 用 到 归用 到 归 纳假设纳假设 凑凑出目标出目标 七、回顾总结 反思提高 勇攀高峰 数学思想:归纳思想；归纳思想； 递推思想递推思想 数学方法：数学归纳法：两 步骤一结论 数学知识:将无限的归 纳过程转化为有限的演 绎步骤