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1、数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 人教版人教版A A版版高中数学选修高中数学选修2 2- -2 2 配套全册完整配套全册完整课课件件 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第 一 章 导数及其应用 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 数数 学学 选修选修

2、2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解实际问题中平均变化率的意义 2理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念 3理解并掌握导数的概念 4掌握求函数在一点处的导数的方法 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载 时间 3月18日 4月18日 4月20

3、日 日最高气温 3.5 18.6 33.4 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变 化，用曲线图表示为： 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 问题1 “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是 什么？(形与数两方面) 提示1 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联 想如何量化直线的倾斜程度 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其

4、应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 问题2 由点B上升到点C，必须考察yCyB的大小，但仅 仅注意yCyB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？ 提示 2 在考察 yCyB的同时必须考察 xCxB， 函数的本 质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个 量的改变 我们用比值y CyB xCxB近似地量化 B，C 这一段曲线的陡峭程 度，并称该比值为32,34上的平均变化率 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数的变化率 定义 实例 作用 平均 变化 率 函

5、数 yf(x)从 x1到 x2的 平均变化率为 _ 平均速度； 曲线割线的 斜率 刻画函数值在 区间 _ 上变化的快慢 瞬时 变化 率 函数 yf(x)在 xx0处 的瞬时变化率是l i m x0 y x_ 瞬时速度： 物 体在某一时刻 的速度； 切线斜率 刻画函数值在 _处附近变 化的快慢 fx2fx1 x2x1 x1，x2 l i m x0 fx0 xfx0 x x0 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1关于函数的平均变化率，应注意以下几点 (1)函数f(x)在x1处有定义 (2)x是变量x2在x

6、1处的改变量，且x2是x1附近的任意一 点，即xx2x10，但x可以为正，也可以为负 (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若xx2 x1，则yf(x2)f(x1)；若xx1x2，则yf(x1)f(x2) 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (4)在公式y x fx2fx1 x2x1 fx 1xfx1 x 中，当 x1取定 值，x 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 x 取定值， x1取不同的数值时， 函数的平均变化率也是不同的 特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，y0，则y x0.

7、数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数yf(x)在xx0处的_变化率称为函数yf(x)在 _处的导数，记作_或 _， 导数的概念 瞬时 xx0 f(x0) y|xx0 即 f(x0)l i m x0 y x_. l i m x0 fx0 xfx0 x 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变

8、量 (2)函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关 (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的 值为( ) A0.40 B0.41 C0.43 D0.44 解析： yf(2.1)f(2)0.41. 答案： B 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2如果质点M按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速 度为

9、( ) A6 B18 C54 D81 答案： B 解析： s t 33t2332 t 183t， sl i m t0 s tl i m t0 (183t)18，故选 B. 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3一个物体的运动方程为s1tt2.其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为_ 答案： 5米/秒 解析： vl i m t0 13t3t21332 t l i m t0 (t5) 5. 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探

10、究 课堂互动 高效测评 知能提升 4求函数 yx1 x在 x1 处的导数 解析： y(1x) 1 1x 11 1 x x 1x， y x x x 1x x 1 1 1x， l i m x0 y xl i m x0 1 1 1x 2， 从而y|x12. 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数的平均变化率 求函数yf(x)3x22在区间x0，x0 x上的平

11、均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值 思路点拨 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代 入公式计算 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数 yf(x)3x22 在区间x0，x0 x上的 平均变化率为 fx0 xfx0 x0 xx0 3x 0 x 223x2 02 x 6x 0 x3x 2 x 6x03x. 当 x02，x0.1 时， 函数 y3x22 在区间2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3. 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知

12、突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： 先求出xx2x1，再计算yf(x2)f(x1)； 对所求得的差作商，即得 y x fx2fx1 x2x1 fx 1xfx1 x . 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知函数 f(x)x1 x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变 到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数 值变化得较快 解析： 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率 为 f

13、2f1 21 21 211 1 1 2； 数数 学学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f5f3 53 51 5 31 3 2 14 15. 因为1 20 且 a1) f(x)ln x f(x)_ 基本初等函数的导数公式 0 x1 cos x sin x axln a(a0) ex 1 xln a 1 x 1指数函数与对数函数的导数公式的记忆 对于公式(logax) 1 xln a ，(ax)axln a的记忆比较难， 可以从以下两个方面加深对公式的

14、理解和记忆 (1)区分公式的结构特征：一要从纵的方面区分“(ln x) 与(logax)”和“(ex)与(ax)”；二要从横的方面区分 “(logax)与(ax)”，找出它们的差异，记忆公式 (2)对公式(logax)可用(ln x)和求导法则来帮助理解和记 忆(logax) ln x ln a 1 ln a(ln x) 1 ln a 1 x 1 xln a. 2对基本初等函数的导数公式的理解 不要求根据导数定义推导这八个基本初等 函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单 函数的导数，在学习中，适量的练习对于熟悉 公式是必要的，但应避免形式化的运算练习 1 1 2 等于( ) A 1 2 B1

15、 C0 D 1 2 2 解析： 因常数的导数等于0，故选C. 答案： C 2曲线yx3上切线平行或重合于x轴的切 点坐标( ) A(0,0) B(0,1) C(1,0) D以上都不是 解析： (x3)3x2，若切线平行或重合于x 轴则切线斜率k0，即3x20得x0， y0，即切点为(0,0)故选A. 答案： A 3函数f(x)sin x，则f(6)_. 解析： f(x)cos x，所以f(6)1. 答案： 1 4求下列函数的导数： (1)yx8；(2)y1；(3)ylog2x； (4)y2e3；(5)y2cos x. 解析： (1)y(x8)8x7. (2)y(1)0. (3)y(log2x)

16、 1 xln 2. (4)y(2e3)0. (5)y(2cos x)2(cos x)2sin x. 合作探究 课堂互动 求函数的导数 求下列函数的导数： 思路点拨 解答本题可先将解析式化为基 本初等函数，再利用公式求导 (1)yx 3；(2)y3x；(3)y x x x；(4)ylog 5x； (5)ycos 2x ；(6)ysin 6；(7)yln x；(8)ye x. (1)y3x4.(2)y3xln 3. (4)y 1 xln 5.(5)ysin x，ycos x. (6)y0.(7)y1 x.(8)ye x. 求简单函数的导函数有两种基本 方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂

17、； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、 降低运算难度解题时根据所给问题的特征， 将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求 导公式 1给出下列结论： (cos x)sin x； sin 3 cos 3； 若 y 1 x2，则 y 1 x； 1 x 1 2x x. 其中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析： 因为(cos x)sin x，所以错误； sin 3 3 2 ，而 3 2 0，所以错误； 1 x2 (x 2)2x3，所以错误； 1 x (x 1 2 )1 2x 3 2 1 2x x，所以正确，故选 B. 答案： B 求某一点处的导数 思路点拨 先求导函数，再由导数值求P

18、 点横坐标 在曲线 yf(x) 1 x2上求一点 P，使得曲线在该点处 的切线的倾斜角为 135 . 解析： 设切点坐标为 P(x0，y0)， f(x0)2x 3 0 tan 135 1， 即2x 3 0 1，x02 1 3 . 代入曲线方程得 y02 2 3 ， 点 P 的坐标为 2 1 3，2 2 3. 1.在某点处的导数与导函数是不 同的，在某点处的导数是指在该点处的导数 值 2求函数在某点处的导数需要先对原函数 进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导 函数便可求解 2已知 f(x) 1 n x2 ，且 f(1)1 2，求 n. 解析： f(x)(x 2 n )2 nx 2 n 1，

19、f(1)2 n1 2 n 11 2， n4. 导数几何意义的应用 已知曲线方程yx2，求过点B(3,5)且 与曲线相切的直线方程 思路点拨 解决切线问题的关键是求切点 的坐标，要注意区分是曲线在某点处的切线还 是过某点的切线 设出切点 函数求导 写出切线方程 条件代入 解出切点得出答案 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率 kf(x0)2x0， 2 分 故切线方程为 yy02x0(xx0)， P(x0，y0)在曲线上， y0 x2 0， 切线方程为：yx2 02x0(xx0)， 4 分 又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得： 5x2 02x0(3x0)， 解得：x01 或 x05，

20、6 分 切点坐标为(1,1)或(5,25)， 8 分 故所求切线方程为 y121(x1)或 y2525(x5)， 10 分 即：2xy10 或 10 xy250. 12 分 1.求过点P的切线方程时应注意， P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法 是不同的 2解决此类问题应充分利用切点满足的三 个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐 标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲 线在此切点处的导数值 3已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上 的两点，求与直线PQ垂直的曲线yx2的切线 方程 解析： y(x2)2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y|xx02x0， 又直线 P

21、Q 的斜率为 k41 211，而切线垂直于直线 PQ， 2x01，即 x01 2，所以切点为 M 1 2， 1 4 . 所求的切线方程为 y1 4 x1 2 ， 即 4x4y10. 求下列函数的导数 (1)y(x)8； (2)y(ax)5(a为不等于0的常数) 【错解】 (1)y8(x)78x7. (2)y5(ax)45a4x4. 【错因】 两小题的解法都是错用了公式 (xn)nxn1，本公式成立的条件是底数是自变 量x本身，而不是关于自变量x的代数式，因此 本题直接套用幂函数的求导公式是错误的 【正解】 (1)y(x)8x8， y(x8)8x7. (2)y(ax)5a5x5， y(a5x5)

22、a5(x5)5a5x4. 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！ 1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二) 自主学习 新知突破 1能利用导数的四则运算法则求解导函 数 2能利用复合函数的求导法则进行复合函 数的求导 已知 f(x)x2，g(x)2 x. 问题 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 提示 1 f(x)2x，g(x) 2 x2. 问题2 试求F(x)f(x)g(x)的导数 提示 2 y x xx2 2 xx x22 x x 2xx 2 xxx， l i m x0 2xx 2 xxx 2x 2 x2. 问题3 F(x)的导数与

23、f(x)，g(x)的导数有何 关系？ 提示3 F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和 问题 4 试说明 ycos 3x 4 如何复合的 提示 4 令 ug(x)3x 4，yf(u)cos u， yf(u)f(g(x)cos 3x 4 . 设两个函数分别为f(x)和g(x) 导数的运算法则 两个函数的 和的导数 f(x)g(x)_ 两个函数的 差的导数 f(x)g(x)_ 两个函数的 积的导数 f(x)g(x)_ 两个函数的 商的导数 _ f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 1应用导数的运算法则应注意的问

24、题 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不 要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用 运算法则求简单函数的导数即可 (2)对于和差的导数运算法则，此法则可推 广到任意有限个可导函数的和或差，即 f1(x)f2(x)fn(x)f1(x) f2(x) fn(x) (3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数的 积与商的导数运算中，不能出现f(x) g(x)f(x) g(x)以及 fx gx fx gx这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函 数积与商的求导公式中符号的异同， 积的导数法则中是“”， 商的导数法则中分子上是“” 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，u g(x)的导

25、数间的关系为yx_.即y对 x的导数等于_ _ 复合函数的导数 yuux y对u的导数 与u对x的导数的乘积 2复合函数求导应注意的问题 (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合 而成的，对于常用的基本函数要熟悉 (2)求复合函数的导数，关键要分清函数的 复合关系，特别要注意中间变量 (3)要注意复合函数的求导法则与四则运算 求导法则的综合运用 1已知函数f(x)cos xln x，则f(1)的值 为( ) A1sin 1 B1sin 1 Csin 11 Dsin 1 答案： A 解析： 因为 f(x)sin x1 x， 所以 f(1)sin 11 11sin 1.故选 A. 2函数ysin

26、xcos x的导数是( ) Aycos2xsin2x Bycos2xsin2x Cy2cos xsin x Dycos xsin x 解析： y(sin xcos x)cos xcos xsin x(sin x)cos2xsin2x. 答案： B 3若f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a _. 解析： f(x)4x24axa2， f(x)8x4a， f(2)164a20，a1. 答案： 1 4求下列函数的导数： (1)yx x21 x 1 x3 ； (2)y1cos x x2 ； (3)y(4xx)(ex1) 解析： (1)yx x21 x 1 x3 x31 1 x2， y3x2 2 x

27、3. (2)y1cos x x 21cos xx2 x4 xsin x2cos x2 x3 . (3)方法一：y(4xx)(ex1)4xex4x xexx， y(4xex4xxexx)(4x)ex4x(ex) (4x)xexx(ex)xex4xln 44xex4xln 4 exxex1ex(4xln 44x1x)4xln 41. 方法二：y(4xx)(ex1)(4xx)(ex1) (4xln 41)(ex1)(4xx)exex(4xln 44x 1x)4xln 41. 合作探究 课堂互动 导数运算法则的应用 根据基本初等函数的导数公式和导数 运算法则，求下列函数的导数 (1)yx22x4ln

28、x；(2)yx tan x；(3)y x ex； (4)y(x1)(x2)(x3)； (5)yxsin x 2cos x 2. 思路点拨 观察式子特点 变形 化繁为简 四则运算 求导公式 求导 (1)y2x24 x. (2)y(x tan x) xsin x cos x xsin xcos xxsin xcos x cos2x sin xxcos xcos xxsin 2x cos2x sin xcos xx cos2x . (3)yxe xx ex ex2 1x ex . (4)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3) x36x211x6， y(x1)(x2)(x3)(x36x211x

29、6) 3x212x11. (5)先使用三角公式进行化简，得 yx1 2sin x y x1 2sin x x 1 2sin x 11 2cos x. 解决函数的求导问题，应先分析 所给函数的结构特点，选择正确的公式和法 则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、 差、积、商几种运算的函数，在求导之前应先 将函数化简，然后求导，以减少运算量 1求下列函数的导数： (1)yx2 ex； (2)ycos 2x； (3)yln 8x； (4)y2 x x . 解析： (1)y(x2)exx2(ex) 2xexx2ex (2xx2)ex. (2)令u2x，ycos u， 则yxyuux(cos u)(2x)

30、 2sin 2x. (3)令 u8x，yln u， 则 yxyu ux (ln u) (8x) 8 1 u 1 x. (4)y2 x x2x x x2 2 xln 2 x2x x2 xln 21 2 x x2 . 复合函数的导数 写出下列各函数的中间变量，并利用 复合函数的求导法则，求出函数的导数 (1)y 1 34x4；(2)ycos(2 008x8)； (3)y21 3x；(4)yln(8x6) 思路点拨 选取中间变量分解求导转化 解析： (1)引入中间变量 u(x)34x. 则函数 y 1 34x4是由函数 f(u) 1 u4u 4 与 u(x)34x 复合而成的 查导数公式表可得 f(

31、u)4u 54 u5，(x)4. 根据复合函数求导法则可得 1 34x4 f(u)(x) 4 u5 (4) 16 u5 16 34x5. (2)引入中间变量u(x)2 008x8， 则函数ycos(2 008x8)是由函数f(u)cos u与u(x)2 008x8复合而成的，查导数公 式表可得 f(u)sin u，(x)2 008. 根据复合函数求导法则可得 cos(2 008x8)f(u)(x)(sin u)2 008 2 008sin u2 008sin( 2 008x8) (3)引入中间变量u(x)13x， 则函数y213x是由函数f(u)2u与u(x) 13x复合而成的， 查导数公式表

32、得f(u)2uln 2，(x)3， 根据复合函数求导法则可得 (213x)f(u)(x)2uln 2(3)32uln 2 3213xln 2. (4)引入中间变量 u(x)8x6， 则函数 yln(8x6)是由函数 f(u)ln u 与 u(x)8x6 复合而成的， 查导数公式表可得 f(u)1 u，(x)8. 根据复合函数求导法则可得 ln(8x6)f(u) (x)8 u 8 8x6. 复合函数求导的注意事项 (1)求复合函数的导数，关键在于分析清楚 函数的复合关系，选好中间变量 (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个 变量的求导，不能混淆，如ycos 2x可由y cos u和u2x复合而

33、成，第一步为y对u求导， 第二步为u对x求导 (3)复合函数求导后，要把中间变量换成自 变量的函数 (4)开始学习求复合函数的导数要一步步写 清楚，熟练后中间步骤可省略 特别提醒：只要求会求形如f(axb)的复合 函数的导数 2求下列函数的导数： (1)y 3xx2； (2)ye2x 1； (3)yln(3x1)； (4)ysin 2x 3 . 解析： (1)设 y u，u3xx2， 则 yxyu ux 1 2 u (32x) 32x 2 3xx2. (2)设 yeu，u2x1， 则 yxyu uxeu 22e2x 1. (3)设 yln u，u3x1， 则 yxyu ux (ln u) (3

34、x1) 1 u 3 3 3x1. (4)设 ysin u，u2x 3， 则 yxyu ux(sin u) 2x 3 cos u 2 2cos 2x 3 . 求曲线的切线方程 已知函数f(x)x3x16. (1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方 程； (2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原 点，求直线l的方程及切点坐标 思路点拨 利用导数的几何意义解决切线问 题的关键是判断已知点是否是切点若已知点 是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导 数；如果已知点不是切点，则应先设出切点， 再借助两点连线的斜率公式进行求解 3已知抛物线yax2bxc通过点(1,1)， 且在点(2，1)处与直

35、线yx3相切，求a， b，c的值 解析： 因为yax2bxc过点(1,1)， 所以abc1. y2axb，曲线过点(2，1)的切线的斜 率为4ab1. 又曲线过点(2，1)，所以 4a2bc1. 由 abc1， 4ab1， 4a2bc1， 解得 a3， b11， c9. 所以 a，b，c 的值分别为 3，11,9. 求函数 y1cos x x2 的导数 【错解】 y1cos xx 2x21cos x x2 x 2sin x2x2xcos x x2 xsin x2cos x2 x . 【错因】 解答本题需要用到常数函数和 cos x 的导数以及 和、商的导数法则，错解把公式(cos x)sin

36、x 中的负号丢 掉，商的导数公式记成 u v uvvu v .在求解 u v 时，一定 要牢记公式 u v uvvu v2 . 【正解】 y1cos xx 2x21cos x x4 x 2sin x2x1cos x x4 xsin x2cos x2 x3 . 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！ 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 自主学习 新知突破 1结合实例，直观探索并掌握函数的单调 性与导数的关系 2能利用导数研究函数的单调性，并能够 利用单调性证明一些简单的不等式 3会求函数的单调区间(其中多项式函数一 般不超过三次)

37、已知函数f(x)sin x，其导函数f(x)cos x， 问题 1 判断函数 f(x)在 2， 2 上的单调性，其导函数 f(x)的正负 提示 1 f(x)在 2， 2 上单调递增，其导函数 f(x)0. 问题 2 判断 f(x)在 2， 3 2 上的单调性，导函数 f(x)的 正负情况 提示 2 f(x)在 2， 3 2 上单调递减，f(x)0时，f(x)为增函数，当 f(x)0 单调_ f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是 _；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上 是_ 4结合定义域写出单调区间 利用导数求函数单调区间的基本步骤 定义域 增函数 减函数 利用导数求函数的单

38、调区间注意的问题 (1)在利用导数求函数的单调区间时，首先 要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能 在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间 (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区 间不止一个，那么这些单调区间中间不能用 “”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔 开 1函数yx33x的单调减区间是( ) A(，0) B(0，) C(1,1) D(，1)，(1，) 解析： y3x23， 由y3x230得1x0，故排除A、C.又f(x)在(0，)上 有三个单调区间，故排除B，故选D. 答案： D 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)y2 3x 32x23； (2)yln(

39、2x3)x2. 思路点拨 求定义域求导数 解不等式y0和y0写单调区间 (1)函数的定义域为R. y2x24x2x(x2)令y0，则2x(x 2)0， 解得x0或x2. 所以函数的单调递增区间为( ，0)， (2，) 令y0，则2x(x2)0，解得0 x2. 所以函数的单调递减区间为(0,2) (2)函数 yln(2x3)x2的定义域为 3 2， . y 2 2x32x 4x26x2 2x3 22x1x1 2x3 . 令 y0，解得3 2x1 或 x 1 2. 所以函数的单调递增区间为 3 2，1 ， 1 2， . 令 y0，解得1x1 2， 所以函数的单调递减区间为 1，1 2 . 利用导数

40、求函数的单调区间： (1)求定义域； (2)解不等式f(x)0(或f(x)0，即 2 3x21 x 0， 解得 3 3 x 3 3 . 又x0，x 3 3 . 令 f(x)0，即 2 3x21 x 0， 解得 x 3 3 或 0x0，0x 3 3 . f(x)的单调递增区间为 3 3 ， ， 单调递减区间为 0， 3 3 . (2)f(x) 1 xa2x， 依题意，有 f(1)0，故 a3 2. 从而 f(x)2x 23x1 x3 2 2x1x1 x3 2 . 则 f(x)的定义域为 3 2， . 当3 2x0； 当1x1 2时，f(x)1 2时，f(x)0. 从而 f(x)在区间 3 2，1

41、 ， 1 2， 上单调递增，在区 间 1，1 2 上单调递减 试讨论函数 f(x)ax33x213 a的单调性 求含参数的函数的单调区间 思路点拨 函数解析式中含有参数时，讨 论其单调性(或求其单调区间)问题，往往要转 化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参 数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后 要将各种情况分别进行表述 由题意知： a0， f(x)3ax26x3ax x2 a 令 f(x)0 得 3ax x2 a 0 2 分 (1)当 a0 时，2 a0 若 x(，0)时，则 f(x)0，所以 f(x)在(，0)上是 增函数； 若 x 0，2 a ，则 f(x)0，所以 f(x)在 2

42、 a， 上是增 函数. 6 分 (2)当a0时，2 a0 若x ，2 a ，则f(x)0，所以f(x)在 2 a，0 上是增函数； 若x(0，)，则f(x)0 时，函数 f(x)在(，0)上是增函数； 在 0，2 a 上是减函数，在 2 a， 上是增函数； 当 a0 时，函数的定义域是(0，)， 于是有 f(x)xa x0， 所以函数只有单调递增区间(0，) (2)当 a0，得 x a； 由 f(x)xa x0，得 0x a. 所以当 a0 时，f(x)只有单调递增区间(0，)； 当 a0， 所以 a1 3. 1.一般地，已知函数的单调 性，如何求参数的取值范围？ 函数在区间 a，b上单 调递

43、增减 fx0fx0 在区间a，b上 恒成立 利用分离参数法 或函数性质求解 恒成立问题 对等号单独验证 2注意事项： 一般地，最后要检验参数的取值能否使f(x) 恒等于0.若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍 去；若只有在个别点处有f(x)0，则由 f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数取值范围为 最后解 4已知函数f(x)2axx3，x(0,1，a 0，若f(x)在(0,1上是增函数，求a的取值范围 解析： 由题意知 f(x)2a3x2，且方程 f(x)0 的根 为有限个，则 f(x)在(0,1上为增函数等价于 f(x)2a3x20 对 x(0,1恒成立 即 a3 2x 2 对 x(0

44、,1恒成立， 只需 a 3 2x 2 max 即可由 x(0,1得3 2x 2 0，3 2 ，从而 a3 2.所以 a 的取值范围 为 3 2， . 已知函数f(x)ln(1x)x，求f(x)的单调 区间 【错解】 f(x) 1 1x1 x 1x. 由 f(x)0，得1x0，所以 f(x)的单调递增区间为( 1,0)； 由 f(x)0 或 x0，得1x0， 所以 f(x)的单调递增区间为(1,0)； 由 f(x)0， 所以 f(x)的单调递减区间为(0， ) 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！ 1.3.2 函数的极值与导数 自主学习 新知突破 1了解函数

45、极值的概念，会从几何的角度 直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活 应用 2掌握函数极值的判定及求法 3掌握函数在某一点取得极值的条件 4增强数形结合的思维意识，提高运用导 数的基本思想去分析和解决实际问题的能力 已知yf(x)的图象(如图) 问题1 当xa时，函数值f(a)有何特点？ 提示1 在xa的附近，f(a)最小， f(a)并 不一定是yf(x)的最小值 问题2 试分析在xa的附近导数的符 号 提示2 在xa附近的左侧，曲线的切线 斜率小于零，即f(x)0. 问题3 f(a)值是什么？ 提示3 f(a)0. 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在 点xa附近其它点的函数值都小，f(a) _；而且在点xa附近的左侧 _，右侧_，就把点a叫做 函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的 极小值 极小值点与极小值