广东省东莞市东方明珠学校2024届高考数学五模试卷含解析.doc

1、2024年高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1由曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为()A1BCD2过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( )ABCD3已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）ABCD24若，点C在A

2、B上，且，设，则的值为（ ）ABCD5如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD6若实数、满足，则的最小值是（ ）ABCD7设，则ABCD8九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）ABCD9已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）ABCD10已知函数的导函数为，记，N. 若，则 （ ）ABCD11已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于

3、任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD12已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则下列结论中正确的是_.是周期函数；的对称轴方程为，；在区间上为增函数；方程在区间有6个根.14函数满足，当时，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为_.15根据如图的算法，输出的结果是_.16给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）因为所以不是函数的周期；对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；“”是“”成立的充分必要条件；若实数满足则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

4、。17（12分）已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求的最小值；（2）证明：.（3）设方程的实根为.令若存在，使得，证明：.18（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.19（12分）已知（1）若的解集为，求的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围20（12分）已知函数，其中.（）若，求函数的单调区间；（）设.若在上恒成立，求实数的最大值.21（12分）在锐角中，分别是角的对边，且（1）求角的大小；（2）求函数的值域22（10分）某企业现有AB两套设备生产某种产品，现从A，B两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为

5、合格品，否则为不合格品.图1是从A设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B设备抽取的样本频数分布表.图1：A设备生产的样本频率分布直方图表1：B设备生产的样本频数分布表质量指标值频数2184814162（1）请估计AB设备生产的产品质量指标的平均值；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件利润240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A

6、，B两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，结合定积分的几何意义可知曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.2、B【解析】利用抛物线的定义可得,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛

7、物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点，由抛物线的定义可知，线段AB中点的横坐标为3，又，可得，所以抛物线方程为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.3、B【解析】求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.【详解】解：，一条渐近线，故选：B【点睛】利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.4、B【解析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用5、C【解析】根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【详

8、解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.6、D【解析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，由得，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划

9、，考查数形结合的解题思想方法，是基础题7、C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8、B【解析】利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接

10、球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.9、B【解析】利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.10、D【解析】通过计算，可得，最后计算可得结果.【详解】由题可知：所以所以猜想可知：由所以所以故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊

11、值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.11、C【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.【详解】当时，则，所以，显然当时，故，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，令，解得，令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.12、C【解析】根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详

12、解】根据题意，解得，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由函数，对选项逐个验证即得答案.【详解】函数，是周期函数，最小正周期为，故正确；当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.的对称轴方程为，故正确；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故错误；作出函数的部分图象，如图所示方程在区间有6个根，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.14、【解析】由已知，在上有3个根，分，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案

13、.【详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.15、55【解析】根据该For语句的功能，可得，可得结果【详解】根据该For语句的功能，可得则故答案为：55【点睛】本题考查For语句的功能，属基础题

14、.16、【解析】对,根据周期的定义判定即可.对,根据偶函数满足的性质判定即可.对,举出反例判定即可.对,求解不等式再判定即可.【详解】解：因为当时, 所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确；对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确；当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误；若实数满足则所以成立,故正确正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）由题意可得，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；（2）不

15、等式转化为，令，利用导数得单调性即可得到答案；（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.【详解】（1），即，化简可得.令，因为，所以，.所以，在上单调递减，.所以的最小值为.（2）要证，即.两边同除以可得.设，则.在上，所以在上单调递减.在上，所以在上单调递增，所以.设，因为在上是减函数，所以.所以，即.（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证，由可知，即要证.当时，因而在上单调递增.当时，因而在上单调递减.因为，所以，要证.即要证.记，.因为，所以，则.设，当时，.时，故.且，故，因为，所以.因此，即在上单调递

16、增.所以，即.故得证.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.18、见解析【解析】已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.【详解】，.由柯西不等式得，.【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.19、（1）；（2）【解析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出的值；（2）利用绝对值不等式求出的最小值，把不等式化为只含有的不等式，求出不等式解集即可【详解】（1）不等式，即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即，解得（2）因为所以要使不等式恒成立，只需当

17、时，解得，即；当时，解得，即；综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题20、（）单调递减区间为，单调递增区间为；（）.【解析】（）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；（）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.【详解】（）函数的定义域为.当时，. 令，解得（舍去），.当时，所以，函数在上单调递减；当时，所以，函数在上单调递增.因此，函数的单调递减区间为，单调

18、递增区间为；（）由题意，可知在上恒成立.（i）若，构造函数，则，.又，在上恒成立.所以，函数在上单调递增，当时，在上恒成立.（ii）若，构造函数，.，所以，函数在上单调递增.恒成立，即，即.由题意，知在上恒成立.在上恒成立.由（）可知，又，当，即时，函数在上单调递减，不合题意，即.此时构造函数，.，恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.综上，实数的最大值为【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.21、（1）；（2）【解析】（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角

19、和差正弦公式可化简求得，进而得到；（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】（1），由正弦定理得：，即，又，.（2）在锐角中，函数的值域为【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.22、（1）30.2，29；（2）B设备【解析】（1）平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；（2）要注意指标值落在内的产品才视为合格品，列出A、B设备利润分布列，算出期望即可作出决策.【详解】（1）A设备生产的样本的频数分布表如下质量指标值频数41640121810.根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.B设备生产的样本的频数分布表如下质量指标值频数2184814162根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.（2）A设备生产一件产品的利润记为X，B设备生产一件产品的利润记为Y，X240180120PY240180120P若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.【点睛】本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.