《自动控制原理 》课件第5章.ppt

1、第5章 控制系统的频率特性法u 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念u 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性u5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制u 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据u 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性第5章 控制系统的频率特性法u 5.6 用频率特性分析系统品质u5.7 系统传递函数的实验确定法u5.8 MATLAB在频域分析中的应用u本章小结u 习题从工程角度考虑，控制系统的性能用时域特性度量最为直观。但是，一个控制系统，特别是高阶系统的时域特性是很难用解析法确定的。尤其在系统设计方面，到目前为止还没有直接按时域指标进

2、行系统设计的通用方法。频率特性法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。它是一种图解方法，利用系统的频率响应图以及频率响应与时域响应之间的某些关系进行系统的分析和设计。频率特性法不用求解系统的特征根，只要求出系统的开环频率特性就可以迅速判断闭环系统的稳定性，而且系统的频率特性可用实验方法测出来，这对于那些难以用解析法确定其数学模型的系统来说是非常有用的。用频率特性法设计系统还可以考虑噪声的影响，并且在一定的前提条件下，对某些非线性系统也适用。本章主要介绍频率特性的基本概念、典型环节的频率特性及系统开环频率特性的绘制、奈奎斯特稳定判据、频率特性与时域响应的关系。5.1.1 频率特性的定义

3、频率特性的定义设一个RC网络如图5-1所示，其输入电压和输出电压分别为ur(t)和uc(t)，其相应的拉氏变换分别为Ur(s)和Uc(s)。该电路的传递函数为(5-1)式中：T为时间常数，TRC。5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念11)()()(rcTssUsUsG图5-1 RC网络若ur(t)Ursint，当初始条件为零时，输出电压的拉氏变换为对上式取拉氏反变换有(5-2)22rrc11)()()(sUTssUsGsU)arctansin(11)(22r22rcTtTUeTTUtuTt式(5-2)的第一项为暂态分量，第二项为稳态分量。当t时，暂态分量趋于0，这时电路的稳态输出为(5

4、-3)式中：Uc为输出电压的幅值，jc为输出电压的相角，jcarctanT。)sin()arctansin(1)(cc22cjtUTtTUturt;122TUUrc由式(5-3)可知，网络对正弦输入信号的稳态响应仍然是一个同频率的正弦信号，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于频率。这一结论可以推广到任意线性定常系统。如果用A()表示输出、输入正弦信号的幅值比，即(5-4)用()表示输出、输入正弦信号的相角差，即(5-5)22rc11)(TUUATjjjarctan)(rc则不难发现，A()和()只与系统参数及正弦输入信号的频率有关。在系统结构和参数给定的情况下，A()和()仅仅是的函数。因此，

5、称为RC网络的幅频特性；j()arctanT为RC网络的相频特性。2211)(TA若频率连续取不同的值，可绘出RC网络的幅频特性曲线和相频特性曲线如图5-2所示。可见，当输入电压的频率较低时，输出电压与输入电压幅值几乎相等，两电压间的相角滞后也不大。随着的增高，输出电压的幅值迅速减小，相角滞后亦随之增加。当时，输出电压的幅值趋向于0，而相角滞后接近90。由于输入、输出信号(稳态时)均为正弦函数，故可用电路理论的符号法将其表示为复数形式，即输入为输出为则输出与输入之比为0 jreUcjcejU图5-2 RC网络的频率特性曲线(a)幅频特性；(b)相频特性(5-6)由式(5-6)可知，输出与输入之

6、比既有幅值A()，又有相角()，因此，在复平面上构成了一个完整的向量，即(5-7)称为频率特性，通常用G(j)表示，即(5-8)(jjrc0 jrjce)(eeeccjjjAUUUUTTTTjTj11ej11e1111jtanjarc22)()()()(rcrcjjjUUAjG综上所述，可对频率特性的定义作如下陈述：线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性称为系统的频率特性，记为G(j)，即(5-9)()()j()j()(jjARCG5.1.2 频率特性和传递函数的关系频率特性和传递函数的关系设系统的输入信号、输出信号分别为r(t)和c(t)，其拉氏变换分别为R(s)和

7、C(s)，则系统的传递函数为 设传递函数具有如下形式：(5-10)式中：p1，p2，pn为传递函数的极点。为方便讨论并且不失一般性，设所有极点均为互异实数，即没有重根。)()()(sRsCsG)()()()()(21npspspssNsDsNsG若输入信号为正弦函数，即r(t)Rsint其拉氏变换为(5-11)j)(j()(22ssRsRsR则有(5-12)式中：Ci，B1，B2均为待定常数。对式(5-12)求拉氏反变换，可得输出为(5-13)j)(j()()()()()()(21ssRpspspssNsRsGsCnjj211sBsBpsCniiitttpniiBBCtcij2j11eee)(

8、对于稳定系统，闭环极点均为负实数。当t时，则有所以，输出的稳态分量为 (5-14)式中：(5-15)(5-16)。0lim1nitpitieCttBBtcj2j1see)(j21)j(j)(limj1RGsRsGBsj21)j(j)(limj2RGsRsGBs由于G(j)为复数，可写为(5-17)而且，G(j)与G(j)是共轭的，故G(j)可写成(5-18)将式(5-17)、(5-18)分别代入式(5-15)、(5-16)得)(j)j(je)(e)j()j(jAGGG)(je)()j(jAG)(j1e)(j2jARB)(j2e)(j2jARB再将B1，B2之值代入式(5-14)，则有(5-19

9、)式中：A()C/R|G(j)|，恰好是系统的幅频特性；而()jcjrG(j)，也恰好是系统的相频特性。因此，系统的频率特性与传递函数之间存在如下关系：(5-20)j2)()()(j)(jsjjtteeARtc)()(sin)(jjcCtAR)(jj)(jsGssG需要指出的是，频率特性只适用于线性定常系统，否则不能使用拉氏变换。上述理论是在系统稳定的前提下推出来的，如果系统不稳定，则暂态分量不趋向于0，系统响应也不趋向于稳态分量，无法观察系统的稳态响应。但理论上，系统的稳态分量总是可以分离出来的，并不依赖于系统的稳定性。另外，由G(j)G(s)|sj可知，系统的频率特性包含了系统的全部运动规

10、律，因此也是控制系统的一种数学模型，并成为系统频域分析的理论根据。5.1.3 正弦输入信号下稳态误差的计算正弦输入信号下稳态误差的计算当r(t)Rsint时，有输入函数在虚轴上不解析。因此，这种情况下不能用终值定理求解系统的稳态误差，但此时可用频率特性法进行分析。22)(sRsR【例例5-1】某系统如图5-3所示。已知r(t)5sin2t，试求系统的稳态误差。解解 由结构图可求得系统误差传递函数为所以有2arctanarctan21j2j1)j()j()j(222eRE21)(11)()()(kesssGsRsEs图5-3 例5-1系统结构图此题2 rad/s，所以则有即4.1879.0)45

11、4.63(410)j(e4.1895.3054.1879.0)j()j()j(eRE)4.182sin(95.3)(sstte5.1.4 频率特性的表示方法频率特性的表示方法在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性绘制成曲线，再运用图解法进行研究。频率特性曲线一般有以下四种。1)一般坐标特性曲线此时，系统的幅频特性A()和相频特性j()分开绘制，而且横坐标和纵坐标的刻度都是常用的线性刻度。例如，RC网络的幅频特性和相频特性曲线，见图5-2。2)极坐标特性曲线极坐标特性曲线也称做幅相频率特性曲线。以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。对于任一给定的频率，频率特性值为复数。若将频率特性表示为

12、实数与虚数和的形式，则实部为实数坐标值，虚部为虚数坐标值。若将频率特性表示为复数指数形式，则为复平面上的向量，而向量的长度为频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相角。在系统幅相频率特性曲线中，频率为参变量，一般用小箭头表示增大时幅相曲线的变化方向。由于幅频特性为的偶函数，相频特性为的奇函数，则从0和从0的幅相曲线关于实轴对称。因此，一般只绘制从0的幅相曲线，而且称从0的幅相曲线为从0幅相曲线的镜像曲线。当的取值为到时，幅相曲线又称为奈奎斯特(Nyquist)曲线。例如，RC网络组成的惯性环节，其频率特性可表示为TeTGtanjarc2211)j(图5-4 惯性环节的幅相频率特性

13、曲线当0时，A(0)1，(0)0；当时，A()0，()90。由此绘制出的频率特性是一个圆心在(0.5，j0)、半径为0.5的半圆，如图5-4所示。3)对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称为伯德(Bode)图，它由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。对数频率特性曲线的横坐标表示频率，单位为弧度/秒(rad/s)，但按lg线性分度。对数幅频特性曲线的纵坐标按下式进行线性分度，单位是分贝(dB)。L()20lgA()(5-21)对数相频特性曲线的纵坐标按()进行线性分度，单位为度()。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。对数分度和线性分度如图5-5所示。在线性分度中，当

14、变量增大或减小1时，坐标间距离变化一个单位长度；而在对数分度中，当变量增大10倍或减小为原来的1/10时，称为十倍频程(dec)，坐标间距离变化一个单位长度。图5-5 对数分度与线性分度(a)对数分度；(b)线性分度在工程设计和绘图中，采用Bode图法具有十分明显的优点：(1)频率(横坐标)按对数分度，实现了非线性压缩，便于在较大频率范围内反映频率特性的变化情况。而且这种对数分度使低频部分排列稀疏，分辨精细，而高频部分排列密集，分辨粗略，这正符合工程的实际需要。(2)对数幅频特性采用20lg|G(j)|，将幅值的乘除运算化为加减运算，大大简化了绘图过程，使设计和分析变得相对容易。例如，RC网络

15、组成的惯性环节，其对数频率特性可表示为取T1，其对数频率特性曲线如图5-6所示。2211lg20)(lg20)(TALTjarctan)(图5-6 的Bode图j114)对数幅相特性曲线将对数幅频特性和相频特性合并为一条曲线，称做对数幅相特性曲线。横坐标为相频特性j()，纵坐标为对数幅频特性L()，频率作为参变量标在曲线上相应点的旁边，此曲线又称为尼柯尔斯图。图5-7为T0.5时RC网络的对数幅相特性曲线。上述四种频率特性曲线中，极坐标特性曲线和对数频率特性曲线最为常用。图5-7 RC网络的对数幅相特性曲线在第2章中曾经述及，控制系统通常由若干典型环节组成，常见的典型环节有比例环节、积分环节、

16、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节、二阶微分环节和延迟环节等。下面分别讨论典型环节的频率特性。1.比例环节比例环节比例环节的传递函数为G(s)K，其频率特性表达式为5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性G(j)K(5-22)显然有A()K，j()0。1)幅相频率特性由于比例环节的频率特性可表示为G(j)Kej0(5-23)因此，其幅相频率特性曲线仅仅是实轴上的一个固定点(K，j0)，如图5-8所示。图5-8 比例环节的幅相频率特性曲线2)对数频率特性由式(5-23)可知L()20 lgK(5-24)j()0(5-25)可见，比例环节的对数幅频特性是一条高度等于20 lgK分贝的水

17、平线，而对数相频特性为一条与横坐标相重合的直线，如图5-9所示。图5-9 比例环节的Bode图2.积分环节积分环节积分环节的传递函数为G(s)1/s，其相应的频率特性表达式为(5-26)显然有A()1/，()90。j1)j(G1)幅相频率特性由于积分环节的频率特性可表示为(5-27)因此，其幅相频率特性曲线沿负虚轴从无穷远处指向原点，即曲线与负虚轴相重合，如图5-10所示。90je1)j(G图5-10 积分环节的幅相频率特性曲线2)对数频率特性由式(5-27)可知(5-28)上式是一个线性方程，在Bode图上表现为一条斜线，其斜率为20 dB/dec。这就意味着积分环节的对数幅频特性是一条通过

18、横轴1 rad/s点，且斜率为每十倍频程下降20 dB的斜线，见图5-11。需要说明的是，斜率20 dB/dec通常用20表示。lg201lg20L图5-11 积分环节的Bode图积分环节的对数相频特性由下式所描述：j()90(5-29)式中：不论取何值，j()恒为90，是一条纵坐标为90的水平线，如图511所示。3.微分环节微分环节微分环节的传递函数为G(s)s，其相应的频率特性表达式为G(j)j(5-30)显然有A()，j()90。1)幅相频率特性由于微分环节的频率特性可表示为G(j)ej90(5-31)因此，其幅相频率特性沿正虚轴从原点指向无穷远处，即曲线与正虚轴相重合，如图5-12所示

19、。图5-12 微分环节的幅相频率特性曲线2)对数频率特性由式(5-31)可知L()20 lg(5-32)这说明微分环节的对数幅频特性与积分环节相比只差一负号，是一条通过横轴1 rad/s点，且斜率为每十倍频程增加20 dB的斜线，通常用20表示，如图5-13所示。微分环节与积分环节以零分贝线互为镜像。微分环节的对数相频特性由下式所描述：(5-33)90)(j图5-13 微分环节的Bode图式中：()恒为90，与频率无关，是一条纵坐标为90的水平线，如图513所示。4.惯性环节惯性环节惯性环节的传递函数为G(s)1/(Ts1)，其相应的频率特性表达式为(5-34)显然有TeTTjG1tanj22

20、11j11)(,11)(22TATjarctan)(1)幅相频率特性参考RC网络，见图5-4。2)对数频率特性由式(5-34)可知(5-35)在时间常数T已知的情况下，将由0取值，并计算出相应的L()值，即可绘出惯性环节的对数幅频特性曲线，如图5-14所示。这种方法的特点是所绘曲线精确，但很费时，工程上一般不采用，而是代之以简便的近似方法，即用渐近线分段表示对数幅频特性。渐近线近似法的思路如下：221lg20)(TL在低频段，很小。当即T1时，式(5-35)可略去根号内的1，于是，对数幅频特性可近似为L()20 lgT(5-36)这是一个线性方程，意味着的高频段可用一条斜率为20的斜线来表示，

21、称为高频渐近线。由式(5-36)还可看出，当时，L()0 dB，即高频渐近线在时正好与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。T1T1T1T1因此，渐近线由两段曲线组成，以为转折点。渐近线与实际的L()曲线之间的最大误差发生在转折频率处，其值约为3 dB，如图5-14所示。可见，用渐近线代替实际对数幅频特性曲线，误差并不大，若需要绘制精确的对数幅频特性时，可按误差对渐近线加以修正。误差曲线如图5-15所示。T1图5-15 惯性环节的误差曲线惯性环节的对数相频特性为j()arctanT(5-37)当0时，j()0；当时，j()45；当时，j()90。由于对数相角是T的反正切函数，因此对数相频特

22、性关于(j()45)这一点是奇对称的，如图5-14所示。顺便指出，惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性均是和T乘积的函数。对于不同时间常数的惯性环节，对数幅频特性和对数相频特性左右移动，但其形状保持不变。T1,1T5.一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节的典型实例是工业上常用的比例-微分控制器。其传递函数为G(s)s1式中：是时间常数。其相应的频率特性表达式为G(j)1j(5-38)显然有,1)(22Ajarctan)(1)幅相频率特性由于一阶微分环节的频率特性可表示为(5-39)因而，其幅相频率特性曲线是一条由(1，j0)点出发、平行于虚轴而一直向上引伸的直线，如图5-16所示。TeGarc

23、tanj221)j(图5-16 一阶微分环节的幅相频率特性曲线2)对数频率特性由式(5-39)可知(5-40)可见，一阶微分环节的对数幅频特性与惯性环节相比也是只差一个负号，二者的对数幅频特性曲线也关于零分贝线互为镜像。其渐近线由两段组成，低频段斜率为0，高频段斜率为20，以为转折频率。最大误差同样发生在转折频率处，其值约为3 dB，如图5-17所示。221lg20)(L1图5-17 一阶微分环节的Bode图一阶微分环节的对数相频特性为 j()arctan(5-41)当0时，j()0；当时，j()90。同样与惯性环节的对数相频特性差一负号，因此关于(j()45)这一点是奇对称的，如图5-17所

24、示。16.振荡环节振荡环节振荡环节的传递函数为其相应的频率特性为(5-42)2nn22n222121)(ssTssTsGn2nn22n2n2 j)(112 j)j(G显然有(5-43)与(5-44)2n22n)2()(1 1)(A2nn)(12arctan)(j1)幅相频率特性根据式(5-43)和式(5-44)，以阻尼比为参变量，频率由0取一系列数值，计算出相应的幅值和相角，即可绘制出振荡环节的幅相频率特性曲线，如图5-18所示。当0时，幅值A()1，相角()0，所有特性曲线均起始于(1，j0)点。当n时，(n)90，特性曲线与负虚轴相交；阻尼比越小，虚轴上的交点离原点越远。当时，A()0，(

25、)180，特性曲线在第三象限沿负实轴趋向坐标原点。,21)(nA图5-18 振荡环节的幅相频率特性曲线2)对数频率特性这时有(5-45)阻尼比取不同的数值，可作出振荡环节的对数幅频特性曲线簇如图5-19所示。但工程上仍然采用渐近线，方法如下：低频段：当n，即时，同时略去1和2/n项，近似取(5-47)式(5-47)表明，高频段是一条斜率为40的直线，并在转折频率n处与作为低频渐近线的零分贝线衔接。可见，振荡环节的渐近线是由零分贝线和斜率为40的斜线交接而成的，转折频率为n，如图5-19所示(图中粗线为渐近特性)。)lg(40)lg(20)(2nnL图5-19 振荡环节的Bode图用渐近线代替准

26、确曲线，在n附近会导致较大的误差。因为，当n时，由渐近线方程(5-47)得，L()40 lg10 dB；而按准确方程(5-45)得，L()20lg(2)。两者之差(即误差)与阻尼比有关，只有当0.5时，误差才等于0。若在0.30.7之间，误差仍比较小，不超过3 dB，所得频率特性渐近线不必修正。若超出上述范围，则必须对曲线加以修正。振荡环节对数幅频特性渐近线的误差修正曲线如图5-20所示。图5-20 振荡环节对数幅频特性渐近线的误差修正曲线振荡环节的对数相频特性仍用式(5-44)描述，对于不同的值，作出的曲线簇如图5-19所示。曲线的形状因阻尼比不同而异。但无论取何值，曲线均存在下列关系：当0

27、时，j()0；当n时，j(n)90；当时，j()180。而且，由图5-19可见，振荡环节的对数相频特性曲线关于(n，()90)这一点奇对称。7.二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节的传递函数为G(s)T2s22Ts1其相应的频率特性为G(j)(1T22)j2T(5-48)显然有(5-49)(5-50)2222)2()1()(TTA2212arctan)(TTj 1)幅相频率特性根据式(5-49)和式(5-50)，以阻尼比为参变量，频率由0取一系列数值，计算出相应的幅值和相角，即可绘出二阶微分环节的幅相频率特性曲线，如图5-21所示。当0时，幅值A()1，相角j()0，所有特性曲线均起始于(1，

28、j0)点。当1/T时，A(1/T)2，j(1/T)90，特性曲线与正虚轴相交；阻尼比越大，虚轴上的交点离原点越远。当时，A()，j()180，特性曲线在第二象限沿负实轴方向趋向于无穷远处。图5-21 二阶微分环节的幅相频率特性曲线2)对数频率特性由式(5-49)可知(5-51)显然，二阶微分环节的对数幅频特性与振荡环节相比只差一个负号，特性曲线与振荡环节互为镜像，如图5-22所示。转折频率为折1/T，其渐近线由两段组成：当折时，L()0 dB；当折时，L()40lgT，斜率为40的斜线，如图5-22所示(图中粗线为渐近特性)。2222)2()1()(TTA图5-22 二阶微分环节的Bode图二

29、阶微分环节的对数相频特性仍用式(5-50)描述，对于不同的值，作出的曲线簇如图5-22所示。曲线的形状因阻尼比不同而异。但无论取何值，曲线均存在下列关系：当0时，j()0；当1/T时，j(1/T)90；当时，j()180。而且，由图5-22可见，二阶微分环节的对数相频特性曲线关于(1/T，j()90)这一点奇对称。8.延迟环节延迟环节延迟环节的传递函数为G(s)es式中：为延迟时间。其相应的频率特性为G(j)ej(5-52)显然有A()1，j()(rad)57.3()。图5-23 延迟环节的极坐标图1)幅相频率特性由于延迟环节的幅值为常数1，与无关，而相角与成正比。因此，延迟环节的幅相频率特性

30、曲线为圆心在原点、半径为1的单位圆，如图5-23所示。2)对数频率特性这时有L()20 lg10 dB(5-53)因此，延迟环节的对数幅频特性曲线为一条与0 dB线重合的直线，而其对数相频特性曲线随增大而减小(0),如图5-24所示。图5-24 延迟环节的Bode图5.3.1 开环幅相频率特性的绘制开环幅相频率特性的绘制(极坐标图极坐标图)根据系统开环频率特性的表达式，可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相特性曲线。本节着重介绍绘制开环幅相特性曲线的方法。设控制系统的开环传递函数为5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制(5-54)1()1)(1()1()1)(1()(2121k

31、sTsTsTssssKsGnm)(11101110mnasasasabsbsbsbnnnnmmmm(1)0时的低频起始段。当0时，频率特性Gk(j)的低频段表达式为(5-55)显然，,)(KA。2)(j)2(lim)j(lim)j(lim00k0KKG可见，低频起始段的幅值和相角均与积分环节的数目有关，或者说与系统的型别有关。不同，低频起始段的差异很大，如：0型系统，0：A(0)K，j(0)0；1型系统，1：A(0)，j(0)90；2型系统，2：A(0)，j(0)180。依此类推，图5-25给出了0型、1型、2型和3型系统的开环幅相特性曲线起始段的一般形状。图5-25 开环幅相频率特性曲线低频

32、段的一般形状(2)的高频终止段。当时，频率特性Gk(j)的高频段表达式为(5-56)可见，开环幅相特性的高频段是以确定的角度收敛于原点，如图5-26所示。j00j00klimlim)j(limsmnsnmsabsasbG2)(02)(lim00mnmnabmn图5-26 开环幅相频率特性的高频段(3)确定幅相特性曲线与实轴的交点。令ImGk(j)0，求得，代入ReGk(j)中，即可得到特性曲线与实轴的交点。(4)确定幅相特性曲线与虚轴的交点。令ReGk(j)0，求得，代入ImGk(j)中即可得到特性曲线与虚轴的交点。用平滑的曲线将上述特殊点连接起来，就可以得到系统概略的开环幅相频率特性曲线。【

33、例例5-2】已知控制系统的开环传递函数为试绘制系统的极坐标特性曲线。解解 系统为1型系统，1，而且n3，m0。所以有Gk(j0)90Gk(j)0270)05.01)(2.01(10)(kssssG由于令ImGk(j)0，即10.0120，因此10 rad/s，取10 rad/s。代入ReG(j)中，有)05.0 j1)(2.0 j1(j10)j(kG)05.0 j1)(05.0 j1)(2.0 j1)(2.0 j1()05.0 j1)(2.0 j1(10j)01.01()25.0()01.01(j25.0102222即极坐标特性曲线与实轴的交点为(0.4，j0)。令ReGk(j)0，求得，即曲

34、线仅在终点处与虚轴有交点。系统的幅相频率特性曲线如图5-27所示。)j(ReG4.0)1025.0(101025.0102图5-27 例5-2系统的幅相频率特性曲线5.3.2 开环对数频率特性的绘制开环对数频率特性的绘制(Bode图图)设系统前向通道由两个环节串联而成，环节的传递函数分别为G1(s)、G2(s)，如图5-28所示。则系统的开环传递函数为Gk(s)G1(s)G2(s)相应的开环频率特性为)j()j()j(21GGGk)(j2)(j121e)(e)(jjAA)()(j2121e)()(jjAA图5-28 系统结构图由此得到系统的对数幅频特性和相频特性分别为可见，系统的开环对数幅频特

35、性等于各环节对数幅频特性之代数和，系统的开环对数相频特性等于各环节对数相频特性之代数和。)(lg20)(lg20)(21AAL)()()(21jjj推而广之，若系统的开环传递函数为n个环节传递函数的乘积，则只要将n个环节的对数幅频特性和对数相频特性画出，再进行叠加，即可求得系统的开环对数频率特性。控制系统一般由多个环节组成，在绘制对数频率特性时，应先将系统的开环传递函数分解成典型环节乘积的形式，再进行绘制。下面介绍两种常见的绘制系统Bode图的方法。1.环节曲线叠加法环节曲线叠加法【例例5-3】已知系统开环传递函数为试绘制其开环对数频率特性。解解 将系统开环传递函数表示成时间常数的形式，即)2

36、0()2(100)(ssssG)1201()121(10)20()2(100)(sssssssG可见，系统由以下四个典型环节组成：(1)比例环节G1(s)10：L1()20 lg1020 dB，高度为20 dB的直线；j1()0，与横坐标轴重合。(2)积分环节L2()20 lg，是一条过1 rad/s、斜率为20的直线；j2()90，高度为90的直线。ssG1)(2(3)一阶微分环节是转折频率为2 rad/s的一阶微分环节对数幅频特性曲线；关于(2 rad/s，j()45)点奇对称。(4)惯性环节是转折频率为20 rad/s的惯性环节对数幅频特性曲线；关于(20rad/s，j()45)点奇对称

37、。：121)(3ssG121lg20)(23L2arctan)(3j：12011)(4ssG1201lg20)(24L20arctan)(4j先将L1()L4()依次画在对数幅频特性坐标图上，再把它们叠加起来求得开环对数幅频特性L()；同样，先将j1()j4()依次画在对数相频特性坐标图上，再把它们叠加起来求得开环对数相频特性曲线j()。系统的Bode图如图5-29所示。图5-29 例5-3系统Bode图2.顺序斜率叠加法顺序斜率叠加法由例5-3可知，由于开环传递函数是由若干个典型环节串联而成，而且典型环节的对数幅频特性曲线均为不同斜率的直线或折线，因此叠加后的开环对数幅频特性仍为由不同斜率的

38、线段所组成的折线群。所以，只要能确定低频起始段的位置和斜率，并能确定线段转折频率以及转折后线段斜率的变化量，就可以从低频到高频将整个系统的开环对数幅频特性曲线顺序绘出。1)低频渐近线的确定惯性、振荡、一阶微分、二阶微分等环节的对数幅频特性，在折时均为0 dB。所以，系统低频段(最低的转折频率以前)的对数幅频特性只取决于积分环节和比例环节，即(5-57)式(5-57)表明，无论为何值，当1时，总有L()20 lgKdB(5-58)故低频渐近线(或其延长线)在1 rad/s处的高度必定是20 lgKdB，其中K是系统的开环放大倍数。lg20lg20lg20lg20)(KKL式(5-57)是线性方程

39、，易知直线的斜率为20，即低频渐近线的斜率与积分环节的数目有关。因此，低频渐近线为在1 rad/s处，过20 lgKdB、斜率为20的斜线，如图5-30所示。图5-30 低频段的斜率与的关系2)转折频率及转折后斜率变化量的确定惯性环节：转折后斜率变化量为20。振荡环节：转折后斜率变化量为40。一阶微分环节：转折后斜率变化量为20。二阶微分环节：转折后斜率变化量为40。根据上述特点，可归纳出绘制系统开环对数频率特性的一般步骤和方法如下：(1)将系统开环频率特性Gk(j)写成时间常数形式，且为典型环节频率特性乘积的形式。(2)求出各环节的转折频率，并从小到大依次标在对数坐标图的横坐标轴上。(3)按

40、开环放大倍数K计算20 lgK的分贝值，过(1 rad/s，L()20 lgK)这一点，绘出斜率为20的直线，此即为低频段的渐近线(或其延长线)。(4)从低频渐近线开始，沿轴从左到右，即沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率，对数幅频特性L()就按对应典型环节的特性改变相应的斜率，直到经过全部转折频率为止。(5)对数相频特性j()可直接利用相频特性表达式逐点计算而得。【例例5-4】已知系统的开环传递函数为试绘制其Bode图。解解)14.025.0)(125.0()11.0(10)(2kssssssG 14.0)21)(141()1101(10)(2kssssssG(1)由题意知1，K10，所以

41、有20 lgK20 dB。(2)转折频率依次为：12 rad/s，24 rad/s，310 rad/s。(3)低频渐近线为过(1 rad/s，20 dB)这一点、斜率为20的斜线。画到12 rad/s时，斜率变为60；画到24 rad/s时，斜率变为80。画到310 rad/s时，斜率再次变为60。至此，已绘制出系统的开环对数幅频特性渐近线L()，如图5-31所示。图5-31 例5-4系统的Bode图(4)系统的开环相频特性表达式为逐点计算结果如表5-1所示。225.014.0arctan25.0arctan901.0arctan)(j根据表5-1所给数据绘制的系统开环相频特性曲线如图5-31

42、所示。表表5-1 例例5-4系统开环相频特性系统开环相频特性5.3.3 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统在s右半平面上没有零、极点的传递函数，称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统，而具有非最小相位传递函数的系统则称为非最小相位系统。“最小相位”和“非最小相位”的概念来源于网络理论。它指出：在具有相同幅频特性的一类系统中，当从0时，最小相位系统的相角变化范围最小，而非最小相位系统的相角变化范围通常要比前者大，故而得名。例如，两个系统的开环传递函数分别为显然，G1(s)没有位于右半s平面上的零、极点，故系统1是最小相位

43、系统；而G2(s)则有一个位于右半s平面上的零点(z11/)，故系统2属于非最小相位系统。TsssG11)(1TsssG11)(2两系统的对数幅频特性和对数相频特性的表达式分别为 两系统的Bode图如图5-32所示。可见，两系统的对数幅频特性相同，但相频特性则差异甚大。在从0的整个频率区间内，1()由0开始，经历一个不太大的相角滞后，然后又回到0，相角变化范围很小。而系统2的相角2()则从0开始，一直变至180，显然比1()的变化范围大得多。2222211lg201lg20)()(TLLTj111tantan)(Tj112tan)(tan)(图5-32 最小相位系统和非最小相位系统的Bode图

44、最小相位系统的相频特性j()与幅频特性A()之间存在着一一对应的关系，当时，j()90(nm)。因此，对系统进行校正时，只需画出其对数幅频特性L()，而系统的稳定性由幅频特性来确定即可。对于非最小相位系统，必须分别画出相频特性j()与幅频特性L()，而且j()90(nm)。另外，由于延时环节的相频特性j()在从0变化时由0变化，因此属于非最小相位系统。奈奎斯特稳定判据是由H.Nyquist于1932年提出的，在1940年后得到了广泛的应用。这一判据是利用系统的开环幅相频率特性来判断闭环系统的稳定性。因此，它不同于代数判据，可认为是一种几何判据。5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5.4.1

45、 奈氏判据的数学基础奈氏判据的数学基础Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，又称映射定理。1.辅助函数辅助函数对于图5-33所示的控制系统结构，易知系统的开环传递函数为(5-59)式中：Nk(s)和Mk(s)分别为s的n阶和m阶多项式，nm；且Nk(s)为开环特征多项式。)()()()()(kkksNsMsHsGsG图5-33 控制系统结构图系统的闭环传递函数为(5-60)式中：Nb(s)为闭环特征多项式。设辅助函数为(5-61)由式(5-61)可知：第一，辅助函数F(s)的极点等于系统的开环极点，而F(s)的零点等于系统的闭环极点；第二，F(s)的零、极点个数相等；第三

46、，F(s)与开环传递函数Gk(s)只差常数1。)()()()()()()()(1)()(bkkkkksNsNsGsMsNsNsGsGsGs)()()()()()(1)(kbkkkksNsNsNsMsNsGsF2.映射定理映射定理在式(5-61)中，s为复变量，以s复平面上的sj来表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)ujv来表示。根据复变函数理论可知，若对于s平面上除了有限奇点(不解析的点)之外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数，即单值、连续的正则函数，那么，对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必有一个对应的映射点，如图5-34所示。因此，如果在s平面上作一条封闭曲线，并

47、使其不通过F(s)的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线，如图5-35所示。图5-34 点映射关系图5-35 s平面与F(s)平面的映射关系我们感兴趣的不是映射曲线的形状，而是它包围坐标原点的次数和运动方向，因为二者与系统的稳定性密切相关。由式(5-61)可知，F(s)在s平面上的零点对应F(s)平面上的原点，而F(s)在s平面上的极点对应F(s)平面上的无穷远处。当s绕F(s)的零点顺时针旋转一周时，对应在F(s)平面上则为绕原点顺时针旋转一周；当s绕F(s)的极点顺时针旋转一周时，对应在F(s)平面上则是绕无穷远处顺时针旋转一周，而对于原点则为逆时针旋转一周。映射定理：设s平

48、面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿着封闭曲线移动一周时，则在F(s)平面上相对应于封闭曲线的映射曲线将以顺时针方向围绕原点旋转N圈：Nzp；或以逆时针方向围绕原点旋转N圈：Npz，如图536所示。图5-36 映射定理5.4.2 奈奎斯特判据奈奎斯特判据由于F(s)的零点等于系统的闭环极点，而系统稳定的充要条件是特征根均位于s左半平面上，即F(s)的零点都位于s左半平面上。因此，需要检验F(s)是否具有位于s右半平面的零点。为此，选择一条包围整个s右半平面的按顺时针方向运动的封闭曲线，称为奈氏回线，如图5-37所示。曲线由以下三段组成

49、：图5-37 s平面上的奈氏回线正虚轴sj：0。半径为无限大的右半圆：sRej，R，9090。负虚轴sj：0。设F(s)在右半s平面有z个零点和p个极点，根据映射定理，当s沿着奈氏回线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向绕原点旋转Nzp圈。已知系统稳定的充要条件是z0。因此，当s沿奈氏回线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的若围绕原点顺时针旋转Np圈(即逆时针旋转p圈)，则系统稳定，否则系统不稳定。由于Gk(s)F(s)1，因此F(s)的曲线围绕原点运动相当于Gk(j)的封闭曲线绕(1，j0)点运动。而且对应于三段奈氏回线，映射曲线Gk(j)为：0。半径R，而开环传递函数

50、的分母阶次n大于或等于分子阶次m，所以Gk()为零或常数。这表明，s平面上半径为无穷大的右半圆，映射到Gk(s)平面上为原点或(K，j0)点，这对于Gk(j)曲线是否包围(1，j0)点无影响。0。显然，Gk(s)G(s)H(s)的封闭曲线即为时的奈奎斯特曲线。F(s)的极点等于开环极点，所以p就是开环极点在s右半平面上的个数。因此，若s沿着奈氏回线顺时针移动一周，在Gk(s)平面上的奈奎斯特曲线绕(1，j0)点顺时针旋转Np圈，且Gk(s)在s右半平面的极点恰好为p，则系统稳定。奈氏判据：设Gk(s)在s右半平面的极点数为p，则闭环系统稳定的充要条件是：在Gk(s)平面上的幅相特性曲线Gk(j